Bài tập áp dụng quy tắc lhospital

Nếu $\lim_{x \to x_0} g[x] \neq 0$ thì $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f[x]}{g[x]} $ không phải dạng vô định nên giới hạn tính được một cách bình thường không cần gì $L'Hospital$ . Tuy nhiên, dùng $L'Hospital$ cũng chẳng sai nếu $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]} $ tồn tại hữa hạn.

Nói chung Hospital là sử dụng đạo hàm thoải mái cho đến kh ra đáp số! He he

Nó còn áp dụng cho cả các dạng $0^0, 1^{\infty}$

Còn bài em hỏi không thuộc dùng Hos do $x \to \infty$ ______________ Đi nấu cơm cái, có gì lát anh giải bài giới hạn này dùm cho!

Đây là cái lỗi mà rất rất nhiều sinh viên mắc phải, thậm chí nhiều em học sinh PT cũng ham hố xài cho bằng được khi không hiểu rõ định lý. Cứ đạo hàm..rồi đạo hàm là sẽ ra? Không !

Ví dụ:

Xét bài làm:

$\lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+sin[x]}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+cos[x]} = ? $

Rõ ràng $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+cos[x]} $ không tồn tại ! Nhưng lại có :

$\lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+sin[x]}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+\frac{\sin x}{x}}=1 $

Để vận dụng định lý rất hữu dụng $L'Hospital $ , ta cần nắm rõ bản chất của nó.

Như phát biểu của haiphong08 .

Xét $f[x],g[x]$ liên tục trên $U_{\epsilon x_0}$ là một $\epsilon$ lân cận của $x_0$ và khả vì trên $U_{\epsilon x_0}-\{x_0\}$

Theo định lý Cauchy, cho x cố định, luôn tồn tại $\eta_x$ nằm giữa $x $và $x_0$ sao cho

$\dfrac{f[x]-f[x_0]}{g[x]-g[x_0]}=\dfrac{f'[\eta_x]}{g'[\eta_x]}$

Vậy : $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f[x]-f[x_0]}{g[x]-g[x_0]}=\lim_{\eta_x \to x_0}\dfrac{f'[\eta_x]}{g'[\eta_x]} $

Do đó, nếu $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]} =l$ hữu hạn thì.. $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]}=\lim_{\eta_x \to x_0}\dfrac{f'[\eta_x]}{g'[\eta_x]}$

$\lim_{x \to x_0} \dfrac{f[x]-f[x_0]}{g[x]-g[x_0]}=\lim_{\eta_x \to x_0}\dfrac{f'[\eta_x]}{g'[\eta_x]} =\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]}=l$

Nếu $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]} $ không tồn tại, thì có thể $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'[x]}{g'[x]} \neq \lim_{\eta_x \to x_0}\dfrac{f'[\eta_x]}{g'[\eta_x]} $ nên không thể kết luận được

Đối với giới hạn hàm số dạng vô định chúng ta thường gặp nhiều hơn là 2 dạng: 0/0 và vô cùng/vô cùng. Hai dạng vô định này thầy đã hướng dẫn các bạn làm trong hai bài giảng trước, nếu bạn nào chưa xem thì ghé thăm tại đây nhé. Trong bài giảng hôm nay thầy muốn hướng dẫn các bạn cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital.

Quy tắc L’Hopital

Cho hai hàm số $f[x]$ và $g[x] \neq 0$.

• Nếu $\lim \limits_{x \to c}{f[x]}=\lim \limits_{x \to c}{g[x]}=0$ và $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}=L$ thì $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f[x]}{g[x]}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}$. L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
• Nếu $\lim \limits_{x \to c}{f[x]}=\lim \limits_{x \to c}{g[x]}=\pm\infty$ và $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}=L$ thì $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f[x]}{g[x]}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}$. L có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

c ở đây có thể là 1 số $x_0$ hoặc có thể là $\pm\infty$

Điều kiện để áp dụng được quy tắc L’Hopital

Để áp dụng được quy tắc L’Hopital thì giới hạn $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}$ phải tồn tại. Nếu giới hạn $\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}$ mà không tồn tại thì không thể áp dụng được nhé.

Khi đó ta không thể kết luận được :$\lim \limits_{x \to c}{\frac{f[x]}{g[x]}}=\lim \limits_{x \to c}{\frac{f'[x]}{g'[x]}}$

Với bài toán mà áp dụng được quy tắc L’Hopital, nếu những bước tiếp theo vẫn tồn tại giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ hoặc là $\frac{\infty}{\infty}$ thì các bạn vẫn cứ áp dụng quy tắc L’Hopital cho tới khi hết dạng vô định.

Quy tắc L’Hopital ở đây vận dụng rất nhiều tới đạo hàm, vì vậy các bạn cần phải nhớ được hết các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số.

Bài tập tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau:

1. $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}$ $\hspace{1.5cm}$ b. $\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}$ $\hspace{1.5cm}$ c. $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}$

Hướng dẫn giải:

1. Các bạn thấy khi $x \to 0$ thì giới hạn trên có dạng $\frac{0}{0}$. Do đó ta sẽ áp dụng quy tắc L’Hopital cho giới hạn này như sau:

$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{[tanx-x]’}{[x-sinx]’}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{cos^2x}-1}{1-cosx}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{1-cos^2x}{[1-cosx].cos^2x}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{[1-cosx][1+cosx]}{[1-cosx].cos^2x}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{1+cosx}{cos^2x}}$

$=\frac{1+1}{1}=2$

Vậy : $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{tanx-x}{x-sinx}}=2$

1. Các bạn thấy khi $x \to 1$ thì giới hạn trên cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}$

$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{[1+cos\pi x]’}{[x^2-2x+1]’}}$

$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-[\pi x]’.sin\pi x}{2x-2}}$

$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.sin\pi x}{2x-2}}$ [tới đây vẫn dạng 0/0, áp dụng tiếp]

$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.[\pi x]’.cos\pi x}{2}}$

$=\lim \limits_{x\to 1}{\frac{-\pi.\pi.cos\pi x}{2}}$

$=\frac{-\pi^2.[-1]}{2}=\frac{\pi^2}{2}$

Vậy: $\lim \limits_{x\to 1}{\frac{1+cos\pi x}{x^2-2x+1}}=\frac{\pi^2}{2}$

1. Các bạn thấy khi $x \to 1$ thì giới hạn trên cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}$

$\lim \limits_{x\to 0}{\frac{[x^3]’}{[x-sinx]’}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{3x^2}{1-cosx}}$

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{3x^2}{1-cosx}}$ [tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp]

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{6x}{sinx}}$ [tới đây vẫn có dạng 0/0 nên áp dụng tiếp]

$=\lim \limits_{x\to 0}{\frac{6}{cosx}}$

$=\frac{6}{1}=6$

Vậy : $\lim \limits_{x\to 0}{\frac{x^3}{x-sinx}}=6$

Bài tập 1 vừa rồi gồm toàn bộ là giới hạn vô định dạng lượng giác, bài tập 2 ngay sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn bài tập giới hạn vô định dạng căn thức, giới hạn hàm số mũ, giới hạn hàm số lũy thừa và giới hạm của hàm logarit.

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:

1. $\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}$ $\hspace{1cm}$ b. $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}$ $\hspace{1cm}$ c. $\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}$ $\hspace{1cm}$ d. $\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}$

Hướng dẫn giải:

1. Ta thấy ý [a] là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:

$\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}$

$=\lim \limits_{x\to a}{\frac{[a^x-x^a]’}{[x-a]’}}$

$=\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x.lna-a.x^{a-1}}{1}}$

$=a^a.lna-a.a^{a-1}$

$=a^a.lna-a.\frac{a^a}{a}$

$=a^a.lna-a^a$

Vậy $\lim \limits_{x\to a}{\frac{a^x-x^a}{x-a}}=a^a.lna-a^a$

1. Ta thấy ý [b] là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:

$\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}$

$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{[\sqrt{1+x^2}-1]’}{x’}}$

$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\frac{2x}{2.\sqrt{1+x^2}}}{1}}$

$=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$

$=\frac{0}{\sqrt{1+0}}$

$=0$

Vậy $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}}=0$

1. Ta thấy ý [c] là trường hợp $\frac{0}{0}$, áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:

$\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}$

$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{[\sqrt{1+2x}-3]’}{[\sqrt{5+x}-3]’}}$

$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\frac{2}{2.\sqrt{1+2x}}}{\frac{1}{2.\sqrt{5+x}}}}$

$=\lim \limits_{x \to 4}{\frac{2.\sqrt{5+x}}{\sqrt{1+2x}}}$

$=\frac{2\sqrt{9}}{\sqrt{9}}$

$=2$

Vậy $\lim \limits_{x \to 4}{\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{5+x}-3}}=2$

1. ý [d] này cũng thuộc giới hạn dạng $\frac{0}{0}$, nên áp dụng quy tắc L’Hopital ta có:

$\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}$

$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{[lnx]’}{[x^2-1]’}}$

$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{\frac{1}{x}}{2x}}$

$=\frac{1}{2}$

Vậy $\lim \limits_{x \to 1}{\frac{lnx}{x^2-1}}=\frac{1}{2}$

Qua hai bài tập trên hẳn các bạn đã rõ nhiều về cách tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc LHopital. Thông thường hay áp dụng cho dạng bài tập tìm giới hạn hàm số dạng $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty}{\infty}$.

Nhưng nếu gặp bài toán dạng $0.\infty$ hay $\infty – \infty$ thì các bạn cứ việc chuyển nó về dạng vô định không trên không hoặc vô cùng trên vô cùng rồi áp dụng .L’Hopital. Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết tiếp theo.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Bạn hãy đặt câu hỏi và thảo luận đúng chuyên mục bài giảng.Thảo luận lịch sự, có văn hóa, gõ đầy đủ ý nghĩa bằng tiếng việt có dấu để tránh trường hợp thảo luận của bạn bị xóa mà không rõ lý do. Xin cám ơn!