Bài tập cấp số cộng cấp số nhân tự luận

3/24. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một CSC, ba số hạng sau thành lập CSN. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36. Tìm bốn số đó.

LỜI GIẢI

Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d.

Theo đề bài có a, b, c là ba số hạng liên tiếp của CSC. Ta có:

Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của CSN. Ta có:

Theo giả thuyết đề bài ta có hệ phương trình:

Từ [4] có:

thay vào [1] được , thay a vào [3] được:

.

Thay b, d vào [2] được:

Với

.

Với

.

4/25. Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một CSC. Tìm các số đó.

LỜI GIẢI

Gọi

là ba số hạng liên tiếp của CSN, với công bội là q.

Theo đề bài

, với là các số hạng của một cấp số cộng với công sai d.

Ta có

. Lấy phương trình được:

Vì

khác nhau nên chọn .

Theo đề bài có:

Kết luận ba số cần tìm:

.

6/25. Ba số khác nhau có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một CSN hoặc là các số hạng thứ 2 thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC để tổng của chúng là 820?

LỜI GIẢI

Gọi

là ba số hạng liên tiếp của CSN, với công bội là q.

Theo đề bài

, với là các số hạng của một cấp số cộng với công sai d.

Ta có

. Lấy phương trình được:

Vì

khác nhau nên chọn .

Theo đề bài có:

Suy ra

.

Ta có

Theo đề bài ta có

Kết luận phải lấy 20 số hạng đầu tiên để tổng của chúng bằng 820.

7/25. Một CSN và CSN đều có số hạng đầu tiên là bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 của hai cấp số thì bằng nhau. Tìm cấp số đó.

LỜI GIẢI

Gọi

là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của CSC, với công sai d.

Gọi

là ba số hạng đầu tiên liên tiếp của CSN, với công bội q.

Theo đề bài ta có:

Thế [2] vào [3] được:

Với

. Vậy và .

Với

. Vậy và .

9/25. 1]. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN với công bội

, đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự đó lập thành một CSC với công sai . Hãy tìm q và d.

LỜI GIẢI

Ta có

.

3]. Các số

theo thứ tự đó thành lập một CSC. Đồng thời các số theo thứ tự đó lập thành CSN. Hãy tìm x và y.

LỜI GIẢI

Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình:

Thay [1] vào [2] được:

4]. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN. Ba số x, y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành CSN. Đồng thời các số x, y – 4 , z – 9 theo thứ tự đó lập thành CSC. Tìm x, y, z?

LỜI GIẢI

Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình:

Từ [1] và [2] ta có

Thay y = 2 vào [3] được:

. Có và suy ra giá trị của x và z là nghiệm của phương trình

Có 2 bộ [x,y,z] thỏa yêu cầu là [1,2,4] và [4,2,1].

3.24:Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời

LỜI GIẢI

Theo đề bài ta có:

Thay[1] vào [3] được

thay

vào [1] và [2]:

Kết luận:

1. Ba số dương a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và đồng thời

LỜI GIẢI

Theo đề:

Lấy

đươc:

Với

thay vào được:

Với

a và q trái dấu.

Nếu

[loại]

Vì a, b, c phải là 3 số dương.

Nếu

[loại]

5]a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời

LỜI GIẢI

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, nên có:

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có:

Ta có hệ phương trình:

Thay [2] vào [3] được:

Thay

vào [1] và [2]:

Vậy:

hoặc

1. a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và
   là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời
   là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

LỜI GIẢI

Có

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên:

Có

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, nên:

Có

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên:

Ta có hệ phương trình:

Thay [1] vào [3]:

Thay vào [2] được:

Thay b và c theo a vào [1] được:

Với

Với

1. a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và
   là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời
   là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

LỜI GIẢI

Vì

là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên có:

Vì

là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, có:

Vì

là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân,có:

Ta có hệ phương trình:

Thay [1] vào [3] được:

thay

vào [1] và [2] được: .Vậy a, c là nghiệm của phương trình:

Tìm m để phương trình

[i] có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

LỜI GIẢI

● Đặt

thì

● Để

có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt:

● Theo Viét:

. Khi đó bốn nghiệm của được xếp theo thứ tự tăng dần là: .

● Theo đề

lập thành cấp số cộng

[thỏa ]

Tìm m để phương trình

[i] có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân ?

LỜI GIẢI

.

có ba nghiệm phân biệt . Do các nghiệm này lập thành cấp số nhân và ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:

lập thành cấp số nhân .

lập thành cấp số nhân .

lập thành cấp số nhân .

● So với

các giá trị m cần tìm là: .

Tìm tham số m để phương trình

[i] có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

LỜI GIẢI

●

có ba nghiệm phân biệt

● Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng nên ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:

• lập thành cấp số cộng
  [thỏa
  ].
• lập thành cấp số cộng
  [thỏa
  ].
• lập thành cấp số cộng
  [thỏa
  ].

● Vậy

là các giá trị cần tìm.

@ Lưu ý

Trong bài giải trên, ta đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình bằng nguyên tắc nhẩm nghiệm. Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét hai bài tập nhỏ sau: