Đã gửi 26-12-2012 - 10:16
Bài toán cơ bản: Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp[v_{1},v_{2},..,v_{m}]$
Cách giải:
Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$
Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.
Bước 3: Kết luận
- Số chiều của U là r
- Một cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$
............................................................................
Bài toán tổng quát hơn là:
Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp[u_{1},u_{2},..,u_{m}]$
Cách giải:
Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều [có số chiều bằng n] đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.
+ Để xét $P_{n}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ [a_{0},a_{1},...,a_{n}]:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$
+ Để xét $M_{2}[\mathbb{R}]=\left \{ \bigl[\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr]:a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ [a,b,c,d]:a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$
Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp[u_{1},u_{2},..,u_{m}]$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp[v_{1},v_{2},..,v_{m}]$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trênVí dụ 1:
Trong $P_{2}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của $W=Sp[u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=2+6x+4x^{2},u_{3}=x+3x^{2}]$Giải:
Xét ma trận: $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$ Và $dimW=2$Ví dụ 2:
$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Giải: Ta có: $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$ Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Và $dimW=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-11-2016 - 16:09