2. Một số điều kiện tương đương
Nếu a + bx + c là một tam thức bậc hai [a ≠ 0] thì
1] a + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ = – 4ac ≥ 0;
2] a + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi c/a < 0;
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Giải
Tam thức – 9x + 14 có hai nghiệm phân biệt = 2, = 7.
Tam thức + 9x + 14 có hai nghiệm phân biệt = -7, = -2.
Lập bảng xét dấu vế trái của bất phương trình [1]
Từ bảng trên suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là
[-∞; -7] ∪ [-2; 2] ∪ [7; +∞].
Bài 2
Xét phương trình m – 2[m – 1]x + 4m – 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có
a] Hai nghiệm phân biệt;
b] Hai nghiệm trái dấu;
c] Các nghiệm tương đương
d] Các nghiệm âm
Giải
Xét Δ’ = – m[4m – 1]
= -3 – m + 1 [nếu m ≠ 0].
a] Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ’ > 0
Bài 3
Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
m – 4[m – 1]x + x – 5 ≤ 0.
Giải
a] Nếu m = 0 thì bất phương trình trở thành 4x – 5 ≤ 0, bất phương trình chỉ nghiệm đúng với x ≤ 5/4.
b] Nếu m ≠ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
Không có giá trị nào của m thỏa mãn [*].
Kết luận: Không có giá trị nào của m để bất phương trình nghiệm đúng của mọi x.
C. BÀI TẬP
4.51. Xét dấu các tam thức bậc hai sau.
| a] 2 + 5x + 2 | b] 4 – 3x – 1 |
| c] -3 + 5x + 1 | d] 3 + x + 5 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
Giải các bất phương trình sau:
4.52.
| a] – 2x + 3 | b] + 9 > 6x |
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.53.
| a] 6 – x – 2 ≥ 0; | b] +3x + 6 < 0 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình [ẩn m] sau
4.58.
| a] 2 – m – 5 > 0 | b] – + m + 9 > 0 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.59
| a] – 4[m + 1][m – 2] ≥ 0 | b] – [2m – 1][m + 1] < 0 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.62. Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau đó có dấu không đổi [không phục thuộc vào x].
a] f[x] = 2 – [m + 2]x + – m – 1.
b] f[x] = [ – m- 1] – [2m – 1]x + 1.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.63. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
a] [ – 1] + [m + 3]x + [ + m] = 0;
b] – [ + m – 2]x + + m – 5 = 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.64. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt.
a] – 2x + + m + 3 = 0;
b] [ + m + 3] + [4 + m + 2]x + m = 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.65. Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0?
⇒ Xem đáp án tại đây.
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x [các bài tập 4.66, 4,67]
4.66. 5 – x + m > 0;
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.67. m[m + 2] + 2mx + 2 > 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4. 68. Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:
5 – x + m ≤ 0.
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.69. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:
[ + m + 1] + [2m – 3] + m – 5 = 0.
⇒Xem đáp án tại đây.
Bài tập trắc nghiệm
4.70. Đồ thị hàm số y = f[x] = – 4x + 3 được cho trong hình 46. Từ hình vẽ này hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình – 4x + 3 > 0
A. x < 1
B. x ≥ 1
C. 1 < x < 3
D. [-∞; 1] ∪ [3; +∞]
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.71. Đồ thị hàm số y = f[x] = a + bx + c được cho trong hình bình 47. Kí hiệu Δ = – 4ac là biệt số của f[x]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. a, b trái dấu
B. f[x] ≤ 0, ∀x
C. a < 0, c < 0
D. Δ = 0, a < 0
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.72. Tập nghiệm của bất phương trình -3 + x + 4 ≥ 0 là:
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.73. Tìm tập xác định của hàm số
| A. x > -2; x > -1 | B. x ≤ -2; x ≥ 1 |
| C. x ≤ -2; x > -1 | D. x ≤ -2; -1 < x < 1; x > 1 |
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.74. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m + 2[2m – 1]x + m + 2 = 0 vô nghiệm
⇒ Xem đáp án tại đây.
4.75. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình m – [2m – 1]x + 1 < 0 có tập nghiệm là [-∞; +∞].
⇒ Xem đáp án tại đây.