Bài toán tồn tại trong toán rời rạc năm 2024

Toán rời rạc là môn cơ sở ngành của hầu hết các môn có dính dáng tới máy tính, và nó là một môn cũng rất quan trọng cho các bạn nào theo ngành IT. Toán rời rạc cung cấp cho mọi người những kiến thức cơ bản về tổ hợp và lý thuyết đồ thị.

Phần tổ hợp thì khá là quen thuộc vì hầu hết mọi người đều được làm quen từ hồi học THPT. Các bài toán đề cập đến như là : bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tồn tại, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn. Sau đó còn có tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, số Sterling, số Catalan,... Các lý thuyết tổ hợp là nền tảng cho lý thuyết tính toán, độ phức tạp, những bài toán kinh điển như P = NP, ...

Lý thuyết đồ thị là phần mới. Toán rời rạc sẽ đề cập tới khái niệm đồ thị, những loại đồ thị khác nhau, các thuật toán trên đồ thị [ DFS, BFS, Djikstra, ...] và những bài toán có thể giải trên đồ thị [ hay mô hình hóa chúng bằng đồ thị để giải quyết]...

Tại trường ĐH Bách Khoa Hà Nội, ngoài các sinh viên viện CNTT thì sinh viên viện Toán cũng phải học toán rời rạc, và theo mình biết thì toán rời rạc của sinh viên viện toán khó hơn một tí so với viện CNTT. Toán rời rạc của viện toán được dạy bởi các thầy/cô viện toán và toán rời rạc của viện CNTT được giảng dạy bởi các thầy/cô viện CNTT. Về phần tài liệu thì mỗi thầy/cô đều có slide khác nhau, nhưng đa số dựa trên giáo trình toán rời rạc của thầy Nguyễn Đức Nghĩa. Nhưng mình khuyên các bạn là không nên học theo giáo trình mà học theo các slide của thầy/cô, các slide của các thầy/cô đều đã được chắt lọc những kiến thức trọng tâm nhất.

Mình chia sẻ một số tài liệu toán rời rạc để mọi người tham khảo :

BÀI GIẢNG - GIÁO TRÌNH [TRƯỜNG KHÁC]

• Sách hướng dẫn học tập toán rời rạc - PTIT : TẢI VỀ TÀI LIỆU
• Bài giảng toán rời rạc - PTIT : TẢI VỀ BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC 1 TẢI VỀ BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC 2
• Bài giảng toán rời rạc - Phạm Thị Thuận [ Đại học kinh doanh và công nghệ] : TẢI VỀ BÀI GIẢNG
• Bộ đề toán rời rạc - Đại học Quảng Ngãi : TẢI VỀ BỘ ĐỀ

SLIDE BÀI GIẢNG [HUST]

• Giáo trình toán rời rạc - Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành : TẢI VỀ GIÁO TRÌNH
• Slide bài giảng toán rời rạc thầy Nguyễn Đức Nghĩa [ slide bài giảng + đề thi] : TẢI VỀ SLIDE BÀI GIẢNG
• Toán rời rạc thầy Trần Vĩnh Đức :
  • Slide bài giảng : TẢI VỀ SLIDE BÀI GIẢNG
  • Bài tập toán rời rạc : TẢI VỀ BÀI TẬP
  • Bài tập lập trình về phần đồ thị : TẢI VỀ BÀI TẬP
  • Đề thi toán rời rạc : TẢI VỀ ĐỀ THI
  • Tải về các file bài tập, slide đã gộp thành 1 file [ để in] : SLIDE ĐÃ GỘP BÀI TẬP ĐÃ GỘP

Mình thì mình thích đọc bài giảng của thầy Trần Vĩnh Đức Hơn, thầy viết rất đơn giản nhưng đủ ý và dễ hiểu, tuy nhiên tài liệu của thầy về phần đồ thị nhiều hơn [ kể cả khi học thầy trên lớp thì đa số thầy cũng giảng về phần đồ thị nhiều hơn].

• 1. NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG - - - - - - - - - - - - - - SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN RỜI RẠC Biên soạn : Ths. NGUYỄN DUY PHƯƠNG Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 2. rời rạc là một lĩnh vực nghiên cứu và xử lý các đối tượng rời rạc dùng để đếm các đối tượng, và nghiên cứu mối quan hệ giữa các tập rời rạc. Một trong những yếu tố làm Toán rời rạc trở nên quan trọng là việc lưu trữ, xử lý thông tin trong các hệ thống máy tính về bản chất là rời rạc. Chính vì lý do đó, Toán học rời rạc là một môn học bắt buộc mang tính chất kinh điển của các ngành Công nghệ thông tin và Điện tử Viễn thông. Tài liệu hướng dẫn môn học Toán học rời rạc được xây dựng cho hệ đào tạo từ xa Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông được xây dựng dựa trên cơ sở kinh nghiệm giảng dạy môn học và kế thừa từ giáo trình “Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học” của Kenneth Rossen. Tài liệu được trình bày thành hai phần: Phần I trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp thông qua việc giải quyết bốn bài toán cơ bản đó là: Bài toán đếm, Bài toán tồn tại, Bài toán liệt kê và Bài toán tối ưu. Phần II trình bày những kiến thức cơ bản về Lý thuyết đồ thị: khái niệm, định nghĩa, các thuật toán trên đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton. Một số bài toán có ứng dụng thực tiễn quan trọng khác của lý thuyết đồ thị cũng được chú trọng giải quyết đó là Bài toán tô màu đồ thị, Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và Bài toán luồng cực đại trong mạng. Trong mỗi phần của tài liệu, chúng tôi cố gắng trình bày ngắn gọn trực tiếp vào bản chất của vấn đề, đồng thời cài đặt hầu hết các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình C nhằm đạt được hai mục tiêu chính cho người học: Nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán và rèn luyện kỹ năng lập trình với những thuật toán phức tạp. Mặc dù đã rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, tuy nhiên tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi rất mong được sự góp ý quí báu của tất cả đọc giả và các bạn đồng nghiệp. Mọi góp ý xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông. Hà Nội, tháng 05 năm 2006 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 3. kiến thức cơ bản PHẦN I: LÝ THUYẾT TỔ HỢP CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chính của chương này đề cập đến những kiến thức cơ bản về logic mệnh đề và lý thuyết tập hợp. Bao gồm: 9 Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tổ hợp. 9 Những kiến thức cơ bản về logic. 9 Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập hợp. 9 Một số ứng dụng của logic và lý thuyết tập hợp trong tin học. Bạn đọc có thể tìm thấy những kiến thức sâu hơn và chi tiết hơn trong các tài liệu [1] và [2] của tài liệu tham khảo. 1.1. GIỚI THIỆU CHUNG Tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng của toán học rời rạc đề cập tới nhiều vấn đề khác nhau của toán học. Lý thuyết Tổ hợp nghiên cứu việc phân bố các phần tử vào các tập hợp. Thông thường các phần tử của tập hợp là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó tuỳ theo yêu cầu của bài toán nghiên cứu. Mỗi cách phân bố được coi là một “cấu hình của tổ hợp”. Nguyên lý chung để giải quyết bài toán tổ hợp được dựa trên những nguyên lý cơ sở đó là nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và một số nguyên lý khác, nhưng một đặc thù không thể tách rời của toán học tổ hợp đó là việc chứng minh và kiểm chứng các phương pháp giải quyết bài toán không thể tách rời máy tính. Những dạng bài toán quan trọng mà lý thuyết tổ hợp đề cập đó là bài toán đếm, bài toán liệt kê, bài toán tồn tại và bài toán tối ưu. Bài toán đếm: đây là dạng bài toán nhằm trả lời câu hỏi “có bao nhiêu cấu hình thoả mãn điều kiện đã nêu?”. Bài toán đếm được áp dụng có hiệu quả vào những công việc mang tính chất đánh giá như xác suất của một sự kiện, độ phức tạp thuật toán. Bài toán liệt kê: bài toán liệt kê quan tâm đến tất cả các cấu hình có thể có được, vì vậy lời giải của nó được biểu diễn dưới dạng thuật toán “vét cạn” tất cả các cấu hình. Bài toán liệt kê thường được làm nền cho nhiều bài toán khác. Hiện nay, một số bài toán tồn tại, bài toán tối ưu, bài toán đếm vẫn chưa có cách nào giải quyết ngoài phương pháp liệt kê. Phương pháp liệt kê càng trở nên quan trọng hơn khi nó được hỗ trợ bởi các hệ thống máy tính. 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 4. kiến thức cơ bản Bài toán tối ưu: khác với bài toán liệt kê, bài toán tối ưu chỉ quan tâm tới cấu hình “tốt nhất” theo một nghĩa nào đó. Đây là một bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn và lý thuyết tổ hợp đã đóng góp một phần đáng kể trong việc xây dựng các thuật toán để đưa ra được những mô hình tối ưu. Bài toán tồn tại: nếu như bài toán đếm thực hiện đếm bao nhiêu cấu hình có thể có, bài toán liệt kê: liệt kê tất cả các cấu hình có thể có, bài toán tối ưu chỉ ra một cấu hình tốt nhất thì bài toán tồn tại giải quyết những vấn đề còn nghi vấn nghĩa là ngay kể cả vấn đề có hay không một cấu hình cũng chưa biết. Những bài toán này thường là những bài toán khó, việc sử dụng máy tính để chứng tỏ bài toán đó tồn tại hay không tồn tại ít nhất [hoặc không] một cấu hình càng trở nên hết sức quan trọng. 1.2. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LOGIC Các qui tắc cơ bản của Logic cho ta ý nghĩa chính xác của các mệnh đề. Những qui tắc này được sử dụng giữa các lập luận toán học đúng và không đúng. Vì mục tiêu cơ bản của giáo trình này là trang bị cho sinh viên hiểu và xây dựng được những phương pháp lập luận toán học đúng đắn, nên chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu toán học rời rạc bằng những kiến thức cơ bản của môn logic học. Hiểu được phương pháp lập luận toán học có ý nghĩa hết sức quan trọng trong tin học. Những qui tắc của logic chính là công cụ cơ sở để chúng ta có thể xây dựng nên các ngôn ngữ lập trình, các mạng máy tính, kiểm chứng tính đúng đắn của chương trình và nhiều ứng dụng quan trọng khác. 1.2.1. Định nghĩa & phép toán Đối tượng nghiên cứu của logic học là những mệnh đề. Một mệnh đề được hiểu là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai chứ không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ: Những câu khẳng định sau đây là một mệnh đề: ƒ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.” ƒ 1 + 1 = 2 ƒ 2 + 2 = 3 Các mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”, “1 +1 =2 “là những mệnh đề đúng, mệnh đề “2 +2 =3” là sai. Nhưng những câu trong ví dụ sau sẽ không phải là một mệnh đề vì nó những câu đó không cho ta khẳng định đúng cũng chẳng cho ta khẳng định sai. ƒ “Bây giờ là mấy giờ ?” ƒ “Hãy suy nghĩ điều này cho kỹ lưỡng” ƒ x +1 =2 ƒ x + y = z 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 5. kiến thức cơ bản Ta ký hiệu những chữ cái A, B, C, D, p, q, r, s . . . là những mệnh đề. Giá trị của một mệnh đề đúng được ký hiệu là T, giá trị mệnh đề sai được ký hiệu là F. Tập giá trị { T, F } còn được gọi là giá trị chân lý của một mệnh đề. Định nghĩa 1. Mệnh đề p tuyển với mệnh đề q [ký hiệu p ∨ p] là một mệnh mà nó chỉ nhận giá trị T khi và chỉ khi ít nhất một trong hai mệnh đề p, q nhận giá trị T. Mệnh đề p ∨ q nhận giá trị F khi và chỉ khi cả p, q đều nhận giá trị F. Định nghĩa 2. Mệnh đề p hội mệnh đề q [ký hiệu p ∧ q ] là một mệnh đề mà nó chỉ nhận giá trị T khi và chỉ khi p, q nhận giá trị T. Mệnh đề p ∧ q nhận giá trị F khi và chỉ khi hoặc p, q, hoặc cả hai nhận giá trị F. Định nghĩa 3. Phủ định mệnh đề p [kí hiệu ¬p] là một mệnh đề nhận giá trị F khi và chỉ khi mệnh đề p nhận giá trị T, nhận giá trị F khi và chỉ khi p nhận giá trị T. Định nghĩa 4. Mệnh đề tuyển loại của p và q, được ký hiệu là p⊕q, là một mệnh đề chỉ đúng khi một trong p hoặc q là đúng và sai trong các trường hợp khác còn lại. Định nghĩa 5. Mệnh đề p suy ra mệnh đề q [ký hiệu p → q] nhận giá T khi và chỉ khi p nhận giá trị F hoặc p và q cùng nhận giá trị T. Mệnh đề p→q nhận giá trị F khi và chỉ khi p nhận giá trị T và q nhận giá trị F. Định nghĩa 6. Hai mệnh đề p, q được gọi là kéo theo nhau [ký hiệu: p ⇔ q] có giá trị đúng khi p và q có cùng giá trị chân lý và sai trong các trường hợp khác còn lại. Các phép toán: ∨, ∧, ¬, ⊕,→ ,⇔ có thể được định nghĩa thông qua bảng giá trị chân lý sau: Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý của các phép toán ∨, ∧, ¬, ⊕, →,⇔ p q p∨q p∧q ¬p p⊕q p→q p⇔q T T T T F F T T T F T F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T 1.2.2. Sự tương đương giữa các mệnh đề Một vấn đề hết sức quan trọng trong lập luận toán học là việc thay thế này bằng một mệnh đề khác có cùng giá trị chân lý. Hai mệnh đề có cùng một giá trị chân lý chúng ta có thể hiểu theo cách thông thường là chúng tương đương nhau về ngữ nghĩa. Do vậy, ta sẽ tiếp cận và phân loại các mệnh đề phức hợp thông qua các giá trị chân lý của chúng. Định nghĩa 1. Một mệnh đề phức hợp mà luôn luôn đúng với bất kể các giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần của nó được gọi là hằng đúng [tautology]. Một mệnh đề luôn luôn sai với mọi giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần của nó được gọi là mâu thuẫn. 7 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 6. kiến thức cơ bản Ví dụ: mệnh đề phức hợp p ∨¬q là hằng đúng, p ∧ ¬q là mâu thuẫn vì giá trị chân lý của các mệnh đề trên luôn luôn đúng, hoặc luôn luôn sai như được chỉ ra trong bảng 1.2. Bảng 1.2. Ví dụ về mệnh đề hằng đúng & mệnh đề mâu thuẫn p ¬p p ∨¬q p∧¬q T F F T T T F F Định nghĩa 2. Hai mệnh đề p, q được gọi là tương đương logic với nhau [ký hiệu: p ≡ q] khi và chỉ khi các cột cho giá trị chân lý của chúng giống nhau. Hay mệnh đề p→q là hằng đúng. Ví dụ: hai mệnh đề ¬ [p ∨ q] và ¬p ∧ ¬q là tương đương logic vì các cột giá trị chân lý của chúng được thể hiện qua bảng sau: Bảng 1.3. Bảng giá trị chân lý đối với ¬[p ∨ q] và ¬p∧¬q p q p∨q ¬[p∨q] ¬p ¬q ¬p∧¬q T T F F T F T F T T T F F F F T F F T T F T F T F F F T Dùng bảng giá trị chân lý để chứng minh tính tương đương logic giữa hai mệnh đề phức hợp cho ta một phương pháp trực quan dễ hiểu. Tuy nhiên, với những mệnh đề logic phức hợp có k mệnh đề thì cần tới 2k giá trị chân lý để biểu diễn bảng giá trị chân lý. Trong nhiều trường hợp chúng ta có thể chứng minh tính tương logic bằng việc thay thế một mệnh đề phức hợp bằng những tương đương logic có trước. Bằng phương pháp bảng chân lý, dễ dàng chứng minh được sự tương đương của các công thức dưới đây: p→ q ≡ ¬p∨ q p⇔q ≡ [p→q]∧[q→p] ¬[¬p] ≡ p 8 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 7. kiến thức cơ bản Bảng 1.4. Bảng các tương đương logic TƯƠNG ĐƯƠNG TÊN GỌI p ∧ T ≡ p p ∨ F ≡ p Luật đồng nhất p ∨ T ≡ T p ∧ F ≡ F Luật nuốt p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p Luật luỹ đẳng ¬[¬p] ≡ p Luật phủ định kép p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p Luật giao hoán [p ∨ q] ∨ r ≡ p ∨ [ q ∨ r] [p ∧ q] ∧ r ≡ p ∧[ q ∧ r] Luật kết hợp p ∨ [ q ∧ r] ≡ [p ∨ q ] ∧ [p ∨ r] p ∧ [ q ∨ r] ≡ [p ∧ q] ∨ [p ∧ r] Luật phân phối ¬[p ∧ q ] ≡ ¬p ∨ ¬q ¬[p ∨ q ] ≡ ¬p ∧ ¬q Luật De Morgan Ví dụ: Chứng minh rằng ¬[ p ∧ [¬q ∧ q ] là tương đương logic với ¬p ∧ ¬q. Chứng minh: ¬[ p ∧ [¬q ∧ q ] ≡ ¬p ∧ ¬[¬p ∧ q ] theo luật De Morgan thứ 2 ≡ ¬p ∧ [ ¬[¬p] ∨ ¬q theo luật De Morgan thứ 2 ≡ ¬p ∧ [ p ∨ ¬q ] theo luật phủ định kép ≡ [¬p ∧ p ] ∨ [¬p ∧ ¬q] theo luật phân phối ≡ F ∨ [¬p ∧ ¬q] vì ¬p ∧ p ≡ F ≡ ¬p ∧ ¬q Mệnh đề được chứng minh. 1.2.3. Dạng chuẩn tắc Các công thức [mệnh đề] tương đương được xem như các biểu diễn khác nhau của cùng một mệnh đề. Để dễ dàng viết các chương trình máy tính thao tác trên các công thức, chúng ta cần 9 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 8. kiến thức cơ bản chuẩn hóa các công thức, đưa chúng về dạng biểu diễn chuẩn được gọi là dạng chuẩn hội. Một công thức được gọi là ở dạng chuẩn hội nếu nó là hội của các mệnh đề tuyển. Phương pháp để biến đổi một công thức bất kỳ về dạng chuẩn hội bằng cách áp dụng các thủ tục sau: ƒ Bỏ các phép kéo theo [→] bằng cách thay [p→q] bởi [¬p→q]. ƒ Chuyển các phép phủ định [¬] vào sát các ký hiệu mệnh đề bằng cách áp dụng luật De Morgan và thay ¬[¬p] bởi p. ƒ Áp dụng luật phân phối thay các công thức có dạng [p∨[q∧r]] bởi [p∨q]∧[p∨r]. Ví dụ: Ta chuẩn hóa công thức [p→q]∨¬[r∨¬s]: [p→q]∨¬[r∨¬s] ≡ [¬p∨q] ∨[¬r∧s] ≡ [[¬p∨q]∨¬r] ∧[[¬p∨q]∨s] ≡ [¬p∨q∨¬r]∧[¬p∨q∨s] Như vậy công thức [p→q]∨¬[r∨¬s] được đưa về dạng chuẩn hội [¬p∨q∨¬r]∧[¬p∨q∨s] 1.3. VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ Trong toán học hay trong các chương trình máy tính chúng ta rất hay gặp những khẳng định chưa phải là một mệnh đề. Những khẳng định đó đều có liên quan đến các biến. Chẳng hạn khẳng định: P[x] = “x > 3” không phải là một mệnh đề nhưng tại những giá trị cụ thể của x = x0 nào đó thì P[x0] lại là một mệnh đề. Hoặc trong những đoạn chương trình gặp câu lệnh: if [ x > 3 ] then x:= x +1; thì chương trình sẽ đặt giá trị cụ thể của biến x vào P[x], nếu mệnh đề P[x] cho giá trị đúng x sẽ được tăng lên 1 bởi câu lệnh x:=x+1, P[x] có giá trị sai giá trị của x được giữ nguyên sau khi thực hiện câu lệnh if. Chúng ta có thể phân tích mỗi khẳng định thành hai phần chủ ngữ và vị ngữ [hay vị từ], trong câu “x lớn hơn 3” ta có thể coi x là chủ ngữ, “lớn hơn 3” là vị ngữ, hàm P[x] được gọi là hàm mệnh đề. Một hàm mệnh đề có thể có một hoặc nhiều biến, giá trị chân lý của hàm mệnh đề tại những giá trị cụ thể của biến được xác định như những mệnh đề thông thường. Ví dụ: Cho Q[x, y, z] là hàm mệnh đề xác định câu x2 = y2 +z2 hãy xác định giá trị chân lý của các mệnh đề Q [3, 2, 1], Q [ 5, 4, 3]. Giải: Đặt giá trị cụ thể của x , y , z vào Q[x,y,z] ta có: Q[3,2,1] là mệnh đề “32 = 22 + 12 ” là sai do đó Q[3,2,1] là mệnh đề sai. Trong đó, Q [5, 4, 3] là mệnh đề “52 = 42 + 32 ” đúng, do đó Q[5,4,3] là mệnh đề đúng. 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 9. kiến thức cơ bản Tổng quát, giả sử M là một tập hợp các phần tử nào đó. M thường được gọi là trường hay miền xác định của các phẩn tử thuộc M. Khi đó, biểu thức P[x] gọi là vị từ xác định trên trường M nếu khi thay x bởi một phần tử bất kỳ của trường M thì P[x] sẽ trở thành một mệnh đề trên trường M. Khi tất cả các biến của hàm mệnh đề đều được gán những giá trị cụ thể, thì mệnh đề tạo ra sẽ xác định giá trị chân lý. Tuy nhiên, có một phương pháp quan trọng khác để biến một hàm mệnh đề thành một mệnh đề mà không cần phải kiểm chứng mọi giá trị chân lý của hàm mệnh đề tương ứng với các giá trị của biến thuộc trường đang xét. Phương pháp đó gọi là sự lượng hoá hay lượng từ. Chúng ta xét hai lượng từ quan trọng là lượng từ với mọi [ký hiệu:∀], lượng từ tồn tại [ký hiệu:∃ ]. Định nghĩa 1. Lượng từ với mọi của P[x] ký hiệu là ∀x P[x] là một mệnh đề “P[x] đúng với mọi phần tử x thuộc trường đang xét”. Ví dụ: Cho hàm mệnh đề P[x] = X2 + X + 41 là nguyên tố. Xác định giá trị chân lý của mệnh đề ∀ P[x] với x thuộc không gian bao gồm các số tự nhiên [0..39]. Giải: vì P[x] đúng với mọi giá trị của x ∈ [0..39] ⇒ ∀ P[x] là đúng. Ví dụ: Cho P[x] là hàm mệnh đề “x + 1 > x”. Xác định giá trị chân lý của mệnh đề ∀ x P[x], trong không gian các số thực. Giải: vì P[x] đúng với mọi số thực x nên ∀x P[x] là đúng. Định nghĩa 2. Lượng từ tồn tại của hàm mệnh đề P[x] [được ký hiệu là:∃ x P[x] ] là một mệnh đề “Tồn tại một phần tử x trong không gian sao cho P[x] là đúng “. Ví dụ: Cho P[x] là hàm mệnh đề “x > 3”. Hãy tìm giá trị chân lý của mệnh đề ∃ x P[x] trong không gian các số thực. Giải: vì P[4] là “4 > 3” đúng nên ∃ x P[x] là đúng. Ví dụ: Cho Q[x] là “x + 1 > x”. Hãy tìm giá trị chân lý của mệnh đề ∃ x Q[x] trong không gian các số thực. Giải: vì Q[x] sai với mọi x ∈ R nên mệnh đề ∃ x Q[x] là sai. Bảng 1.5: Giá trị chân lý của lượng từ ∀, ∃ ∀x P[x] P[x] đúng với mọi x Có một giá trị của x để P[x] sai ∃x P[x] Có một giá trị của x để P[x] đúng P[x] sai với mọi x Dịch những câu thông thường thành biểu thức logic: Dịch một câu được phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên [câu hỏi thông thường] thành một biểu thức logic có vai trò hết sức quan trọng trong xây dựng các ngôn ngữ lập trình, chương trình dịch và xử lý ngôn ngữ tự nhiên. Quá trình dịch một câu từ ngôn ngữ tự nhiên thành một biểu thức sẽ làm mất đi tính tự nhiên của ngôn ngữ 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 10. kiến thức cơ bản vì đa số các ngôn ngữ đều không rõ ràng, nhưng một biểu thức logic lại rất rõ ràng chặt chẽ từ cú pháp thể hiện đến ngữ nghĩa của câu. Điều này dẫn đến phải có một tập hợp các giả thiết hợp lý dựa trên một hàm xác định ngữ nghĩa cuả câu đó. Một khi câu đã được chuyển dịch thành biểu thức logic, chúng ta có thể xác định được giá trị chân lý của biểu thức logic, thao tác trên biểu thức logic, biến đổi tương đương trên biểu thức logic. Chúng ta sẽ minh hoạ việc dịch một câu thông thường thành biểu thức logic thông qua những sau. Ví dụ dịch câu “Bạn không được lái xe máy nếu bạn cao dưới 1.5 mét trừ phi bạn trên 18 tuổi” thành biểu thức logic. Giải: Ta gọi p là câu : Bạn được lái xe máy. q là câu : Bạn cao dưới 1.5m. r là câu : Bạn trên 18 tuổi. Khi đó: Câu hỏi trên được dịch là: [q ∧ ¬r] → ¬p Ví dụ: Dịch câu “Tất cả các sinh viên học tin học đều học môn toán học rời rạc” Giải: Gọi P[x] là câu “x cần học môn toán học rời rạc” và x được xác định trong không gian của các sinh viên học tin học. Khi đó chúng ta có thể phát biểu: ∀ x P[x] Ví dụ: Dịch câu “Có một sinh viên ở lớp này ít nhất đã ở tất cả các phòng của ít nhất một nhà trong ký túc xá”. Giải: Gọi tập sinh viên trong lớp là không gian xác định sinh viên x, tập các nhà trong ký túc xá là không gian xác định căn nhà y, tập các phòng là không gian xác định phòng z. Ta gọi P[z,y] là “z thuộc y”, Q[x,z] là “x đã ở z”. Khi đó ta có thể phát biểu: ∃ x ∃ y ∀ z [P[z,y] → Q[x,z]]; 1.4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRÊN MÁY TÍNH Các phép toán bít: Các hệ thống máy tính thường dùng các bit [binary digit] để biểu diễn thông tin. Một bít có hai giá trị chân lý hoặc 0 hoặc 1. Vì giá trị chân lý của một biểu thức logic cũng có hai giá trị hoặc đúng [T] hoặc sai [F]. Nếu ta coi giá trị đúng có giá trị 1 và giá trị sai là 0 thì các phép toán với các bít trong máy tính được tương ứng với các liên từ logic. Một xâu bít [hoặc xâu nhị phân] là dãy không hoặc nhiều bít. Chiều dài của xâu là số các bít trong xâu đó. Ví dụ: Xâu nhị 101010011 có độ dài là 9. Một số nguyên đuợc biểu diễn như một xâu nhị phân có độ dài 16 bít. 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 11. kiến thức cơ bản Các phép toán với bít được xây dựng trên các xâu bít có cùng độ dài, bao gồm: AND bít [phép và cấp bít], OR [phép hoặc cấp bít], XOR [phép tuyển loại trừ cấp bít]. Ví dụ: cho hai xâu bít 01101 10110 và 11000 11101 hãy tìm xâu AND bít, OR bít, XOR bít. Phép AND 01101 10110 11000 11101 01000 10100 Phép OR 01101 10110 11000 11101 11101 11111 Phép XOR 01101 10110 11000 11101 10101 01011 Thuật toán các phép tính số nguyên: Các thuật toán thực hiện các phép tính với các số nguyên khi dùng khai triển nhị phân là hết sức quan trọng trong bộ xử lý số học của máy tính. Như chúng ta đã biết, thực chất các số nguyên được biểu diễn trong máy tính là các xâu bít nhị phân, do vậy chúng ta có thể sử dụng biểu diễn nhị phân của các số để thực hiện các phép tính. Giả sử khai triển nhị phân của các số nguyên a và b tương ứng là: a = [an-1an-2 . . .a1a0]2 , b = [bn-1bn-2 . . .b1b0]2 . Khai triển của a và b có đúng n bít [chấp nhận những bít 0 ở đầu để làm đặc n bít]. Xét bài toán cộng hai số nguyên viết ở dạng nhị phân. Thủ tục thực hiện việc cộng cũng giống như làm trên giấy thông thường. Phương pháp này tiến hành bằng cách cộng các bít nhị phân tương ứng có nhớ để tính tổng hai số nguyên. Sau đây là mô tả chi tiết cho quá trình cộng hai xâu bít nhị phân. Để cộng a với b, trước hết ta cộng hai bít phải nhất, nghĩa là: a0 + b0 = c0*2 + s0; trong đó s0 là bít phải nhất của số nguyên tổng a + b, c0 là số cần để nhớ nó có thể bằng 0 hoặc 1. Sau đó ta cộng hai bít tiếp theo và số nhớ: a1 + b1 + c0 = c1*2 + s1; s1 là bít tiếp theo của số a + b, c1 là số nhớ. Tiếp tục quá trình này bằng cách cộng các bít tương ứng trong khai triển nhị phân và số nhớ, ở giai đoạn cuối cùng: an-1 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 12. kiến thức cơ bản + bn-1 + cn-2 = cn-1 * 2 + sn-1. Bít cuối cùng của tổng là cn-1. Khi đó khai triển nhị phân của tổng a + b là [snan-1 . . .s1s0]2. Ví dụ: cộng a =[1110]2, b = [1011]2 Giải: Trước hết lấy: a0 + b0 = 0 + 1 = 0 * 2 + 1 ⇒ c0=0, s0 = 1 Tiếp tục: a1 + b1 + c0 = 1 + 1 + 0 = 1 * 2 + 0 ⇒ c1=1, s1 = 0 a2 + b2 + c1 = 1 + 0 + 1 = 1 * 2 + 0 ⇒ c2=1, s2 = 0 a3 + b3 + c2 = 1 + 1 + 1 = 1 * 2 + 1 ⇒ c3=1, s3 = 1 Cuối cùng: s4 = c3 = 1 ⇒ a + b = [11001]2 Thuật toán cộng: void Cong[a , b: positive integer] { /*a = [an-1an-2 . . .a1a0]2 , b = [bn-1bn-2 . . .b1b0]2 */ c=0; for [j=0 ; j≤ n-1; j++] { d= [[ aj + bj + c]/ 2]; sj = aj + bj + c – 2d; c = d; } sn = c; /*khai triển nhị phân của tổng là [snan-1 . . .s1s0]2; } Thuật toán nhân: Để nhân hai số nguyên n bít a, b ta bắt đầu từ việc phân tích: a = [an-1an-2. . .a1a0], b = [bn-1bn-2. . .b1b0] ⇒ ∑ ∑ − = − = = = 1 0 1 0 ] 2 [ n j n j j b j a 2 j b j a ab Ta có thể tính a.b từ phương trình trên. Trước hết, ta nhận thấy abj = a nếu bj=1, abj=0 nếu bj=0. Mỗi lần tính ta nhân với 2j hay dịch chuyển sang trái j bít 0 bằng cách thêm j bít 0 vào bên 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 13. kiến thức cơ bản trái kết quả nhận được. Cuối cùng, cộng n số nguyên abj 2j [j=0..n-1] ta nhận được a.b. Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho thuật toán nhân: Ví dụ: Tìm tích của a = [110]2, b= [101]2 Giải: Ta nhận thấy: ab020 = [110]2*1*20 = [110]2 ab121 = [110]2*0*21 = [0000]2 ab222 = [110]2*1*22 = [11000]2 Sử dụng thuật toán tính tổng hai số nguyên a, b có biểu diễn n bít ta nhận được[ta có thể thêm số 0 vào đầu mỗi toán hạng]: [0110]2 + [0000]2 = [0110]2 ; [00110]2 + [11000]2 = [11110]2 = ab. Thuật toán nhân hai số nguyên n bít có thể được mô phỏng như sau: void Nhan[ a, b: Positive integer]{ /* khai triển nhị phân tương ứng của a = [an-1an-2. . .a1a0], b = [bn-1bn-2. . .b1b0] */ for [j=0; j≤ n-1; j++] { if [ [ bj==1] cj = a * 2j ; /* a được dịch trái j bít 0 */ else cj =0; } /*c0, c1.., cn-1 là những tích riêng của abj 2j [j=0..n-1 */ p=0; for [ j=0 ; j≤ n-1; j++] p= p + cj; /* p là giá trị của tích ab */ } 1.5. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP 1.5.1. Khái niệm & định nghĩa Các tập hợp dùng để nhóm các đối tượng lại với nhau. Thông thường, các đối tượng trong tập hợp có các tính chất tương tự nhau. Ví dụ, tất cả sinh viên mới nhập trường tạo nên một tập hợp, tất cả sinh viên thuộc khoa Công nghệ thông tin là một tập hợp, các số tự nhiên, các số thực.. 15 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 14. kiến thức cơ bản . cũng tạo nên các tập hợp. Chú ý rằng, thuật ngữ đối tượng được dùng ở đây không chỉ rõ cụ thể một đối tượng nào, sự mô tả một tập hợp nào đó hoàn toàn mang tính trực giác về các đối tượng. Định nghĩa 1. Tập các đối tượng trong một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Các tập hợp thường được ký hiệu bởi những chữ cái in hoa đậm như A, B, X, Y..., các phần tử thuộc tập hợp hay được ký hiệu bởi các chữ cái in thường như a, b, c, u, v... Để chỉ a là phần tử của tập hợp A ta viết a ∈A, trái lại nếu a không thuộc A ta viết a ∉A. Tập hợp không chứa bất kỳ một phần tử nào được gọi là tập rỗng [kí hiệu là φ hoặc { }] Tập hợp A được gọi là bằng tập hợp B khi và chỉ khi chúng có cùng chung các phần tử và được kí hiệu là A=B. Ví dụ tập A={ 1, 3, 5 } sẽ bằng tập B = { 3, 5, 1 }. Định nghĩa 2. Tập A được gọi là một tập con của tập hợp B và ký hiệu là A⊆B khi và chỉ khi mỗi phần tử của A là một phần tử của B. Hay A ⊆ B khi và chỉ khi lượng từ: ∀ x [x∈ A → x ∈ B] cho ta giá trị đúng. Từ định nghĩa trên chúng ta rút ra một số hệ quả sau: ƒ Tập rỗng φ là tập con của mọi tập hợp. ƒ Mọi tập hợp là tập con của chính nó. ƒ Nếu A⊆ B và B ⊆ A thì A=B hay mệnh đề: x [x∈ A → x∈B ] ∨ ∀ x [x∈B → x ∈ A] cho ta giá trị đúng. ƒ Nếu A⊆ B và A≠B thì ta nói A là tập con thực sự của B và ký hiệu là A⊂B. Định nghĩa 3. Cho S là một tập hợp. Nếu S có chính xác n phần tử phân biệt trong S, với n là số nguyên không âm thì ta nói S là một tập hữu hạn và n được gọi là bản số của S. Bản số của S được ký hiệu là |S |. Định nghĩa 4. Cho tập hợp S. Tập luỹ thừa của S ký hiệu là P[S] là tập tất cả các tập con của S. Ví dụ S = { 0, 1, 2 } ⇒ P[S] ={ φ, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0, 2}, {1, 2} {0, 1, 2}}. Định nghĩa 5. Dãy sắp thứ tự [a1, a2,.., an] là một tập hợp sắp thứ tự có a1 là phần tử thứ nhất, a2 là phần tử thứ 2, .., an là phần tử thứ n. Chúng ta nói hai dãy sắp thứ tự là bằng nhau khi và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng là bằng nhau. Nói cách khác [a1, a2,.., an] bằng [b1, b2,.., bn] khi và chỉ khi ai = bi với mọi i =1, 2, ..n. Định nghĩa 6. Cho A và B là hai tập hợp. Tích đề các của A và B được ký hiệu là A×B, là tập hợp của tất cả các cặp [a,b] với a∈A, b ∈B. Hay có thể biểu diễn bằng biểu thức: A × B = { [a, b] | a∈ A ∧ b ∈B } 16 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 15. kiến thức cơ bản Định nghĩa 7. Tích đề các của các tập A1, A2, . ., An được ký hiệu là A1×A2×..×An là tập hợp của dãy sắp thứ tự [a1, a2,.., an] trong đó ai∈Ai với i = 1, 2,..n. Nói cách khác: A1×A2×..×An = { [a1, a2,.., an] | ai∈Ai với i = 1, 2,..n } 1.5.2. Các phép toán trên tập hợp Các tập hợp có thể được tổ hợp với nhau theo nhiều cách khác nhau thông qua các phép toán trên tập hợp. Các phép toán trên tập hợp bao gồm: Phép hợp [Union], phép giao [Intersection], phép trừ [Minus]. Định nghĩa 1. Cho A và B là hai tập hợp. Hợp của A và B được ký hiệu là A∪B, là tập chứa tất cả các phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B. Nói cách khác: A∪B = { x | x ∈ A ∨ x∈ B } Định nghĩa 2. Cho A và B là hai tập hợp. Giao của A và B được ký hiệu là A∩B, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc A và thuộc B. Nói cách khác: A∪B = { x | x ∈ A ∧ x∈ B } Định nghĩa 3. Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập rỗng [A∩B = φ ]. Định nghĩa 4. Cho A và B là hai tập hợp. Hiệu của A và B là tập hợp đuợc ký hiệu là A-B, có các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B. Hiệu của A và B còn được gọi là phần bù của B đối với A. Nói cách khác: A – B = { x | x∈ A ∧ x ∉B } Định nghĩa 5. Cho tập hợp A. Ta gọi A là phần bù của A là một tập hợp bao gồm những phần tử không thuộc A. Hay: { } A x x A ∉ = | Định nghĩa 6. Cho các tập hợp A1, A2, . ., An. Hợp của các tập hợp là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong số các tập hợp Ai [ i=1, 2, . ., n]. Ký hiệu: Αn Α Α n i Αι ∪ ∪ ∪ ∪ 2 1 1 = = Định nghĩa 7: Cho các tập hợp A1, A2, . ., An. Giao của các tập hợp là tập hợp chứa các phần tử thuộc tất cả n tập hợp Ai [ i=1, 2, . ., n]. ∪ n i An A A Ai 1 .. 2 1 = ∩ ∩ = 17 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 16. kiến thức cơ bản 1.5.3. Các hằng đẳng thức trên tập hợp Mỗi tập con của tập hợp tương ứng với một tính chất xác định trên tập hợp đã cho được gọi là mệnh đề. Với tương ứng này, các phép toán trên tập hợp được chuyển sang các phép toán của logic mệnh đề: ƒ Phủ định của A, ký hiệu A [hay NOT A] tương ứng với phần bù A ƒ Tuyển của A và B, ký hiệu A ∨ B [hay A or B] tương ứng với A ∪ B ƒ Hội của A và B, ký hiệu A ∧ B [hay A and B] tương ứng với A ∩ B Các mệnh đề cùng với các phép toán trên nó lập thành một đại số mệnh đề [hay đại số logic]. Như thế, đại số tập hợp và đại số logic là hai đại số đẳng cấu với nhau [những mệnh đề phát biểu trên đại số logic tương đương với mệnh đề phát biểu trên đại số tập hợp]. Với những trường hợp cụ thể, tuỳ theo tình huống, một bài toán có thể được phát biểu bằng ngôn ngữ của đại số logic hay ngôn ngữ của đại số tập hợp. Bảng 1.5 thể hiện một số hằng đẳng thức của đại số tập hợp. Ta gọi U là tập hợp vũ trụ hay tập hợp của tất cả các tập hợp. Bảng 1.5: Một số hằng đẳng thức trên tập hợp HẰNG ĐẲNG THỨC TÊN GỌI A ∪ φ = A A ∩ U = A [U là tập vũ trụ] Luật đồng nhất A ∪ U = U A ∩ φ = A Luật nuốt A∩A = A A ∪ A = A Luật luỹ đẳng A = A Luật bù A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A Luật giao hoán A ∪ [B ∪ C] = [A ∪B]∪C A∩ [B ∩ C] = [A∩B] ∩ C Luật kết hợp A ∪ [B ∩ C] = [A ∪ B] ∪ [A ∩ C ] A ∩ [B ∪ C] = [A ∪ B] ∩ [A ∪ C] Luật phân phối B A B A B A B A ∪ = ∩ ∩ = ∪ Luật De Morgan 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 17. kiến thức cơ bản 1.6. BIỂU DIỄN TẬP HỢP TRÊN MÁY TÍNH Có nhiều cách khác nhau để biểu diễn tập hợp trên máy tính, phương pháp phổ biến là lưu trữ các phần tử của tập hợp không sắp thứ tự. Với việc lưu trữ bằng phương pháp này, ngoài những lãng phí bộ nhớ không cần thiết, thì quá trình tính hợp, giao, hiệu các tập hợp gặp nhiều khó khăn và mất nhiều thời gian vì mỗi phép tính đòi hỏi nhiều thao tác tìm kiếm trên các phần tử. Một phương pháp lưu trữ các phần tử bằng cách biểu diễn có thứ tự của các phần tử của một tập vũ trụ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều trong quá trình tính toán. Giả sử tập vũ trụ U là hữu hạn gồm n phần tử[hữu hạn được hiểu theo nghĩa các phần tử của U lưu trữ được trong bộ nhớ máy tính]. Giả sử ta muốn biểu diễn tập hợp A⊆ U. Trước hết ta chọn một thứ tự tuỳ ý nào đó đối với các phần tử của tập vũ trụ U, giả sử ta được bộ có thứ tự a1,a2, . ., an. Sau đó xây dựng một xâu bít nhị phân có độ dài n, sao cho nếu bít thứ i có giá trị 1 thì phần tử ai∈A, nếu ai =0 thì ai∉A [i=1,2..,n]. Ví dụ sau sẽ minh họa kỹ thuật biểu diễn tập hợp bằng xâu bít nhị phân. Ví dụ: Giả sử U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Hãy biểu diễn tập hợp A ⊆ U là 1. Tập các số nguyên lẻ A ⊆ U. 2. Tập các số nguyên chẵn B ⊆U. 3. Tập các số nguyên nhỏ hơn 5 C ⊆ U. 4. Tìm A ∪ B 5. Tìm A∩C . . . Giải: Trước hết ta coi thứ tự các phần tử được sắp xếp theo thứ tự tăng dần tức ai=i [i=1,2,..,10]. Khi đó: 1- Xâu bít biểu diễn các số lẻ trong U [ {1, 3, 5, 7, 9 } ] là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 1, 3, 5, 7, 9 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp A là: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0. 2- Xâu bít biểu diễn các số chẵn trong U [ {2, 4, 6, 8, 10 } ] là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 2, 4, 6, 8, 10 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp B là: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1. 3- Xâu bít biểu diễn các số nhỏ hơn 5 trong U [ {1, 2, 3, 4 } ] là xâu có độ dài n = 10 trong đó các bít ở vị trí thứ 1, 2, 3, 4 có giá trị là 1, các bít còn lại có giá trị là 0. Từ đó ta có xâu bít biểu diễn tập hợp C là: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0. 4- Xâu bít biểu diễn tập hợp A ∪ B là: [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ∨ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1] là xâu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Như vậy, A ∪ B = U. 5- Tương tự như vậy với A ∩ C Ù [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ∧ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0] là xâu: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0. Như vậy A ∩ C = { 1, 3 } 19 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 18. kiến thức cơ bản NHỮNG NỘI DUNG CẦN GHI NHỚ Cần hiểu và nắm vững được những nội dung sau: 9 Các phép toán hội, tuyển, tuyển loại, suy ra, kéo theo của logic mệnh đề. 9 Các phương pháp chứng minh định lý dùng bảng chân lý và các tương đương locgic. 9 Phương pháp biểu diễn các câu hỏi thông thường bằng logic vị từ. 9 Định nghĩa và các phép toán trên tập hợp. 9 Phương pháp biểu diễn tập hợp trên máy tính BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1. Lập bảng giá trị chân lý cho các mệnh đề phức hợp sau: a] [p → q] ↔ [¬q→¬p] b] [p →q] →[q →p] c] [p ↔ q] ∨ [p ⊕ ¬q] d] [p ⊕ q] → [p ⊕¬q] e] [p ↔q] ∨ [p ⊕ ¬q] f] [¬p ↔ ¬q] ↔ [p↔q] g] [ p ∨ q] ∧ ¬r h] [p ∧ q] ∨ ¬r i] [p ↔ q] ∨ [¬q ↔r] j] [¬p ↔¬q] ↔[q↔r] Bài 2. Dùng bảng chân lý chứng minh luật giao hoán: p ∨ q ⇔ q ∨ p p ∧ q ⇔ q ∧ p Bài 3. Dùng bảng chân lý chứng minh luật kết hợp: [p ∨ q] ∨ r ⇔ p ∨ [ q ∨ r] [ p ∧ q] ∧ r ⇔ p ∧[q ∧ r] Bài 4. Dùng bảng chân lý chứng minh luật phân phối: p ∧ [q ∨ r] ⇔ [p ∧ q] ∨ [p ∧ r] Bài 5. Chứng minh các công thức sau đây là đồng nhất đúng bằng cách lập bảng giá trị chân lý: a] [ X→[Y→Z]] →[[X →Y]→[X→Z]]; b] [X→Y]→[[X→Z]→[X→[Y∧Z]]]; c] [X→Z] →[[Y→Z]→[[X∨Y]→Z]]. Bài 6. Chứng minh các công thức sau đây là tương đương logic: 20 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 19. kiến thức cơ bản n n n n n n n n X X X X X X d X X X X X X c Y X Y X Y X Y Y Y X b Y X Y X Y X Y Y Y X a ∨ ∨ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⇔ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ] [ ] ] [ ... ] [ ] [ ... [ ] ] [ ... ] [ ] [ ... [ ] Bài 7. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng: ] [ ] [ ] [ C B C A C B A − − − = − − Bài 8. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng: A C B A C A B − ∪ = − ∪ − ] [ ] [ ] [ Bài 9. Chứng minh rằng nếu A, B là các tập hợp thì: A B A B A = ∩ ∪ ∩ ] [ ] [ Bài 10. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng: A B A B A g B A B A f A C B A C A B e B C C A d C A C B A c B A C B A b C B A C B A a = ∩ ∪ ∩ ∩ = − − ∪ = − ∪ − Φ = − ∩ − − ⊆ − − ∩ ⊆ ∩ ∩ ∪ ∪ = ∩ ∩ [ ] [ ] ] ] [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ ] ] [ ] [ ] ] [ ] [ ] ] 21 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 20. toán đếm và bài toán tồn tại CHƯƠNG II: BÀI TOÁN ĐẾM VÀ BÀI TOÁN TỒN TẠI Đếm các đối tượng có những tính chất nào đó là một bài toán quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Giải quyết tốt bài toán đếm giúp ta giải nhiều bài toán khác nhau trong đánh giá độ phức tạp tính toán của các thuật toán và tìm xác suất rời rạc các biến cố. Phương pháp chung để giải bài toán đếm được dựa trên các nguyên lý đếm cơ bản [nguyên lý cộng, nguyên lý nhân]. Một số bài toán đếm phức tạp hơn được giải bằng cách qui về các bài toán con để sử dụng được các nguyên lý đếm cơ bản hoặc tìm ra hệ thức truy hồi tổng quát. Nội dung chính được đề cập trong chương này bao gồm: 9 Các nguyên lý đếm cơ bản 9 Nguyên lý bù trừ 9 Hoán vị và tổ hợp 9 Hệ thức truy hồi 9 Qui về các bài toán con 9 Giới thiệu bài toán tồn tại 9 Phương pháp phản chứng giải quyết bài toán tồn tại. 9 Nguyên lý Dirichlet giải quyết bài toán tồn tại. Bạn đọc có thể tìm hiểu nhiều kỹ thuật đếm cao cấp hơn trong tài liệu [1], [2] trong phần tham khảo của tài liệu này. 2.1. NHỮNG NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 2.1.1. Nguyên lý cộng Giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể tiến hành bằng n1 cách, việc thứ hai có thể tiến hành bằng n2 cách và nếu hai việc này không thể tiến hành đồng thời. Khi đó sẽ có n1 + n2 cách để giải giải quyết một trong hai việc trên. Chúng ta có thể mở rộng qui tắc cộng cho trường hợp nhiều hơn hai công việc. Giả sử các việc T1, T2,.., Tm có thể làm tương ứng bằng n1, n2,.., nm cách và giả sử không có hai việc Ti, Tj nào làm việc đồng thời [i,j = 1, 2,.., m ; i ≠ j ]. Khi đó, có n1 + n2 +.. +nm cách thực hiện một trong các công việc T1, T2,.., Tm. Qui tắc cộng được phát biểu dưới dạng của ngôn ngữ tập hợp như sau: ƒ Nếu A và B là hai tập rời nhau [A ∩ B = φ] thì: N[A∪B] = N[A] + N[B]. 22 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 21. toán đếm và bài toán tồn tại ƒ Nếu A1, A2,.., An là những tập hợp rời nhau thì: N[A1 ∪ A2 ∪.. ∪An ] = N[A1] + N[A2] +..+ N[An]. Ví dụ 1. Giả sử cần chọn hoặc một cán bộ hoặc một sinh viên tham gia một hội đồng của một trường đại học. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu như có 37 cán bộ và 63 sinh viên. Giải: Gọi việc thứ nhất là chọn một cán bộ từ tập cán bộ ta có 37 cách. Gọi việc thứ hai là chọn một sinh viên từ tập sinh viên ta có 63 cách. Vì tập cán bộ và tập sinh viên là rời nhau, theo nguyên lý cộng ta có tổng số cách chọn vị đại biểu này là 37 + 63 = 100 cách chọn. Ví dụ 2. Một đoàn vận động viên gồm môn bắn súng và bơi được cử đi thi đấu ở nước ngoài. Số vận động viên nam là 10 người. Số vận động viên thi bắn súng kể cả nam và nữ là 14 người. Số nữ vận động viên thi bơi bằng số vận động viên nam thi bắn súng. Hỏi đoàn có bao nhiêu người. Giải: Chia đoàn thành hai tập, tập các vận động viên nam và tập các vận động viên nữ. Ta nhận thấy tập nữ lại được chia thành hai: thi bắn súng và thi bơi. Thay số nữ thi bơi bằng số nam thi bắn súng, ta được số nữ bằng tổng số vận động viên thi bắn súng. Từ đó theo nguyên lý cộng toàn đoàn có 14 + 10 = 24 người. Ví dụ 3. giá trị của biến k sẽ bằng bao nhiêu sau khi thực hiện đoạn chương trình sau: k:= 0 for i1:= 1 to n1 k:=k+1 for i2:= 1 to n2 k:=k+1 .......... .......... for im:= 1 to nm k:=k+1 Giải: Coi mỗi vòng for là một công việc, do đó ta có m công việc T1, T2,.., Tm. Trong đó Ti thực hiện bởi ni cách [i= 1, 2,.., m]. Vì các vòng for không lồng nhau hay các công việc không thực hiện đồng thời nên theo nguyên lý cộng tổng tất cả các cách để hoàn thành T1, T2,.., Tm là k= n1 + n2 +.. + nm. 2.1.2. Nguyên lý nhân Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra hai công việc. Việc thứ nhất được thực hiện bằng n1 cách, việc thứ hai được thực hiện bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã được làm, khi đó sẽ có n1.n2 cách thực hiện nhiệm vụ này. Nguyên lý nhân có thể được phát biểu tổng quát bằng ngôn ngữ tập hợp như sau: 23 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 22. toán đếm và bài toán tồn tại Nếu A1, A2,.., Am là những tập hợp hữu hạn, khi đó số phần tử của tích đề các các tập này bằng tích số các phần tử của mỗi tập thành phần. Hay đẳng thức: N [A1× A2×.. Am ] = N [A1] N [A2]... N [Am]. Nếu A1 = A2 =.. Am thì N[Ak ] = N[A]k Ví dụ 1. Giá trị của k sẽ bằng bao nhiêu sau khi ta thực hiện đoạn chương trình sau: k:=0 for i1 = 1 to n1 for i2 = 1 to n2 ……… for in =1 to nm k:=k +1 Giải: Giá trị khởi tạo k=0. Mỗi vòng lặp kồng nhau đi qua giá trị của k được tăng lên 1 đơn vị. Gọi Ti là việc thi hành vòng lặp thứ i. Khi đó, số lần vòng lặp là số cách thực hiện công việc. Số cách thực hiện công việc Tj là nj [j=1,2,.., n]. Theo qui tắc nhân ta vòng lặp kép được duyệt qua n1 +n2 +..+nm lần và chính là giá trị của k. Ví dụ 2. Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế của một giảng đường bằng một chữ cái và sau đó là một số nguyên nhỏ hơn 100. Bằng cách như vậy hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế có thể ghi nhãn khác nhau. Giải: Có nhiều nhất là 26 x 100 = 2600 ghế được ghi nhãn. Vì kí tự gán nhãn đầu tiên là một chữ cái vậy có 26 cách chọn các chữ cái khác nhau để ghi kí tự đầu tiên, tiếp theo sau là một số nguyên dương nhỏ hơn 100 do vậy có 100 cách chọn các số nguyên để gán tiếp sau của một nhãn. Theo qui tắc nhân ta nhận được 26 x 100 = 2600 nhãn khác nhau. Ví dụ 3. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7. Giải: một xâu nhị phân có độ dài 7 gồm 7 bít, mỗi bít có hai cách chọn [hoặc giá trị 0 hoặc giá trị 1], theo qui tắc nhân ta có 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128 xâu bít nhị phân độ dài 7. Ví dụ 4. Có bao nhiêu hàm đơn ánh xác định từ một tập A có m phần tử nhận giá trị trên tập B có n phần tử. Giải: Trước tiên ta nhận thấy, nếu m >n thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A cùng nhận một giá trị trên B, như vậy với m>n thì số các hàm đơn ánh từ A→B là 0. Nếu mSố các số nhỏ hơn 10000 cần đếm là: 1000 - N[A∪B∪C] = 7261 – 1666 + 119 = 4286. Ví dụ 5. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11. Giải: Gọi A là số xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi 00, B là số xâu nhị phân độ dài 10 kết thúc bởi 11. Dễ ràng nhận thấy, N[A] = N[B] = 256, N[A∩B] = 26 = 64. Theo nguyên lý bù trừ ta có: N[A∪B] = N[A] + N[B] – N[A∩B] = 256 + 256 – 64 = 448. Ví dụ 6. Bài toán bỏ thư. Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào các phong bì. Hỏi xác suất để xảy ra không một là thư nào bỏ đúng địa chỉ là bao nhiêu? Giải: Có tất cả n! cách bỏ thư. Vấn đề đặt ra là đếm số cách bỏ thư sao cho không lá thư nào đúng địa chỉ. Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ thư và Ak là tính chất lá thư k bỏ đúng địa chỉ. Khi đó theo nguyên lý bù trừ ta có: n n N N N N N ] 1 [ ... 2 1 − + − + − = Trong đó N là số cần tìm, N = n!, Nk là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có k lá thư đúng địa chỉ. Nhận xét rằng, Nk là mọi cách lấy k lá thư từ n lá, với mỗi cách lấy k lá thư, có [n-k ]! cách bỏ để k lá thư này đúng địa chỉ, từ đó ta nhận được. ! ! ]! ][ , [ k n k n k n C Nk = − = và ! ] 1 [ ! 2 1 ! 1 1 1 [ ! n n N n − + − + − = Từ đó ta có xác xuất cần tìm là: 1 ! ] 1 [ ! 2 1 ! 1 1 1 − = − + − + − e n n Số được tính như trên được gọi là số mất thứ tự và được ký hiệu là Dn. Dưới đây là một vài giá trị của Dn, sự tăng nhanh của Dn một lần nữa cho ta thấy rõ sự bùng nổ tổ hợp. N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dn 1 2 9 44 265 1845 14833 133496 1334961 4890741 27 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 26. toán đếm và bài toán tồn tại 2.3. ĐẾM CÁC HOÁN VỊ TỔ HỢP 2.3.1. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử của tập đã cho. Như vậy, một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử có thể xem là phần tử của tích đề các Ak với A là tập đã cho. Theo nguyên lý nhân, số các tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n sẽ là nk . Ví dụ 1. Tính số hàm từ tập có k phần tử vào tập có n phần tử. Giải: Biểu diễn mỗi hàm bằng một bộ k thành phần, trong đó thành phần thứ i là ảnh của phần tử thứ i [1=3 và f1 = 1, f2 = 1. Ví dụ 3: Tính số mất thứ tự Dn. Giải: Đánh số thư và phong bì thư từ 1 đến n [thư i gửi đúng địa chỉ nếu bỏ vào phong bì i]. Một cách bỏ thư đuợc đồng nhất với hoán vị [a1, a2,.., an] của { 1, 2,.., n }. Một mất thứ tự được định nghĩa là là một hoán vị [a1, a2,.., an] sao cho ai≠i với mọi i. Thành phần a1 có thể chấp nhận mọi giá trị ngoài 1. Với mỗi giá trị k [k≠1] của a1, xét hai trường hợp: 1. ak =1, khi đó các thành phần còn lại được xác định như một mất thứ tự của n-2 phần tử, tức là số mất thứ tự loại này bằng Dn-2. 2. ak≠1, khi đó các thành phần từ 2 đến n được xác định như một mất thứ tự của n-1 phần tử còn lại, tức là số mất thứ tự này thuộc loại Dn-1. Từ đó ta nhận được công thức: Dn = [n-1] [Dn-1 + Dn-2], n>=3 với D1 = 0, D2 =1. 32 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 31. toán đếm và bài toán tồn tại Mọi giá trị còn lại được tính đơn giản nhờ luật kế thừa: D3 = [3 –1] [0 +1] =2 D4 = [4 –1 ][ 1 + 2] = 9 D5 = [5 –1 ][ 9 + 2] = 44 D6 = [6 –1 ][9 + 44] = 265 D7 = [7 –1 ][ 44 + 265]= 1854 D8 = [8 –1 ][ 265 + 1854] = 14833 ............................. Để công thức đúng với n = 2, ta coi D0 = 1 Có thể nhận được số mất thứ tự thông qua công thức truy hồi trên vì: ] ] 1 [ [ ] ][ 1 [ 2 1 1 2 1 − − − − − − − − = − ⇒ + − = n n n n n n n D n D nD D D D n D Đặt ta có: 1 − − = n n n nD D V . Hay ta có thể viết: n n n n n n V V V nD D ] 1 [ ] 1 [ 1 1 1 1 − = − = = − = = − − − − ! ] 1 [ ]! 1 [ ! 1 n n D n D n n n − = − − − . Cộng các hệ thức trên với n = 1, 2,.., n ta được: ! ] 1 [ ! 2 1 ! 1 1 1 ! n n D n n − + − + − = . Từ đó thu lại được công thức cũ: ] ! ] 1 [ ! 2 1 ! 1 1 1 [ ! n n D n n − + − + − = Ví dụ 3. Tính hệ số tổ hợp C[n,k]. Giải: Chọn phần tử cố định a trong n phần tử đang xét. Chia số cách chọn tập con k phần tử này thành hai lớp [lớp chứa a và lớp không chứa a]. Nếu a được chọn thì ta cần bổ xung k-1 phần tử từ n-1 phần tử còn lại, từ đó lớp chứa a gồm C[n-1, k-1] cách. Nếu a không được chọn, thì ta phải chọn k phần tử từ n-1 phần tử còn lại, từ đó lớp không chứa a gồm C[n-1, k] cách. Theo nguyên lý cộng ta được công thức truy hồi: C[n, k] = C[n-1, k-1] + C[n-1,k] với các giá trị biên được suy ra trực tiếp: C[n,0] = C[n,n] = 1. Phương pháp này được gọi là phương pháp khử. Không phải lúc nào cũng dễ dàng khử được công thức truy hồi để đưa về công thức trực tiếp. Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt ta có thể đưa ra phương pháp tổng quát để giải công thức truy hồi. 33 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 32. toán đếm và bài toán tồn tại 2.4.2. Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số Định nghĩa 1. Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số là hệ thức truy hồi có dạng: k n k n n n a c a c a c a − − − + + + = 2 1 1 1 [1], trong đó c1,c2,.., ck là các số thực và ck ≠0 Ta cần tìm công thức trực tiếp cho số hạng an của dãy số {an} thoả mãn công thức [1]. Theo nguyên lý thứ hai của qui nạp toán học thì dãy số thoả mãn định nghĩa trên được xác định duy nhất nếu như nó thoả mãn k điều kiện đầu: a0 = C0, a1 = C1,.., ak-1 = Ck-1, trong đó C1, C2,.., Ck-1 là các hằng số. Ví dụ 1. Hệ thức truy hồi Pn=[1.11]Pn-1 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 1. Hệ thức truy hồi fn = fn-1 + fn-2 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 2. Hệ thức truy hồi an = an- 5 là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 5. Hệ thức truy hồi Bn=nBn-1 không phải là hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất vì nó không có hệ số hằng số. Phương pháp cơ bản để giải hệ thưc truy hồi tuyến tính thuần nhất là tìm nghiệm dưới dạng an = rn , trong đó r là hằng số. Cũng cần chú ý rằng an = rn là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2 an-2 +..+ ckan-k nếu và chỉ nếu: an = c1rn-1 + c2rn-2 +..+ ckrn-k. Chia cả hai vế cho rn-k ta nhận được: rk – c1rk-1 – c2rk-2 -.. – ck-1r –ck =0 [2] Vậy dãy {an} với an=rn là nghiệm nếu và chỉ nếu r là nghiệm của [2]. Phương trình 2 còn được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi, nghiệm của nó là nghiệm đặc trưng của hệ thức truy hồi. Nghiệm của phương trình đặc trưng dùng để biểu diễn công thức tất cả các nghiệm của hệ thức truy hồi. Chúng ta sẽ trình bày các kết quả với hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc hai. Sau đó ta sẽ nêu ra những kết quả tương tự cho trường hợp tổng quát khi bậc lớn hơn hai. Định lý 1. Cho c1, c2 là các hằng số thực. Giả sử r2 – c1r + c2 =0 có hai nghiệm phân biệt r1, r2. Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 khi và chỉ khi an = α1r1 n + α2rn 2 với n =1, 2,..., α1, α2 là các hằng số. Chứng minh: Để chứng minh định lý này ta cần thực hiện hai việc. Đầu tiên ta cần chỉ ra rằng nếu r1, r2 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng và α1, α2 là hai hằng số thì dãy {an} với là nghiệm của hệ thức truy hồi. Ngược lại, cần phải chứng minh rằng nếu {a n n n r r a 2 2 1 1 α α + = n} là nghiệm thì với α n n n r r a 2 2 1 1 α α + = 1, α2 là các hằng số nào đó. [⇒]: Giả sử r1 và r2 là hai nghiệm phân biệt của r2 – c1r + c2=0, khi đó đồng thời ta thực hiện dãy các phép biến đổi sau: 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ; c r c r c r c r + = + = 34 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 33. toán đếm và bài toán tồn tại n n n n n n n n n n n n n a r r r r r r c r c r c r c r r r c r r c a c a c = + = + = + + + = + + + = + − − − − − − − − − − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ] [ ] [ ] [ ] [ α α α α α α α α α α Điều này chứng tỏ dãy {an} với là nghiệm của hệ thức truy hồi đã cho. n n n r r a 2 2 1 1 α α + = [⇐]:Để chứng minh ngược lại, ta giả sử dãy {an} là một nghiệm bất kỳ của hệ thức truy hồi. Ta chọn α1, α2 sao cho dãy {an} với thoả mãn các điều kiện đầu a n n n r r a 2 2 1 1 α α + = 0 =C0, a1 = C1. Thực vậy, 2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 r r C a C a α α α α + = = + = = Từ phương trình đầu ta có α2 = C0 - α1 thế vào phương trình thứ hai ta có: 2 0 2 1 1 2 1 0 1 1 1 ] [ ] [ r C r r r C r C − + − = − + = α α α ; Từ đây suy ra: 2 1 1 1 0 2 1 2 0 1 0 1 0 2 2 1 2 0 1 1 ] [ ] [ ; ] [ r r C r C r r r C C C C r r r C C − − = − − − = − = − − = α α α . Như vậy, khi chọn những giá trị trên cho α1, α2 dãy {an} với thoả mãn các điều kiện đầu. Vì hệ thức truy hồi và các điều kiện đầu được xác định duy nhất nên . Định lý được chứng minh. n n n r r a 2 2 1 1 α α + = n n n r r a 2 2 1 1 α α + = Ví dụ 1. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = an-1 +2an-2 với a0 = 2, a1 = 7. Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi có dạng r2 - r - 2 =0. Nghiệm của nó là r=2 và r = -1. Theo định lý 1, dãy {an } là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu và chỉ nếu: an = α12n +α2[-1]n với α1, α2 là các hằng số nào đó. Từ các điều kiện đầu suy ra: a0 = 2 = α1 +α2 a1 = 7 = α12 +α2[-1] Giải ra ta được α1=3, α2=-1. Vậy nghiệm của biểu thức truy hồi với điều kiện đầu là dãy {an} với an = 3.2n –[-1]n . Ví dụ 2. Tìm công thức hiển của các số fibonaci. Giải: Các số fibonaci thoả mãn hệ thức fn = fn-1 + fn-2 và các điều kiện đầu f0 = 0, f1=1. Các nghiệm của phương trình đặc trưng là: 35 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 34. toán đếm và bài toán tồn tại ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 5 1 ; 2 5 1 2 1 r r theo định lý 1 ta suy ra số fibonaci được cho bởi công thức sau: n n n f ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 5 1 2 5 1 2 1 α α với α1, α2 là hai hằng số. Các điều kiện đầu f0=0, f1=1 được dùng để xác định các hằng số α1, α2. 1 2 5 1 2 5 1 0 2 1 1 2 1 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = + = α α α α f f Từ hai phương trình này ta suy ra 5 1 ; 5 1 2 1 − = = α α do đó các số fibonaci được cho bằng công thức dạng hiển như sau: n n n f ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 5 1 5 1 2 5 1 5 1 Định lý 1 không dùng được trong trường hợp nghiệm của phương trình đặc trưng là nghiệm bội. Khi phương trình đặc trưng có nghiệm bội ta sử dụng định lý sau. Định lý 2. Cho c1, c2 là các hằng số thực, c2≠0. Giả sử r2 –c1r –c2 = 0 chỉ có một nghiệm r0. Dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 khi và chỉ khi với n = 1, 2,.. trong đó α n n n nr r a 0 2 0 1 α α + = 1, α2 là những hằng số. Chứng minh tương tự như định lý 1. Ví dụ 3. Tìm nghiệm của công thức truy hồi an = 6an-1 –9an-2 với các điều kiện đầu a0=1, a1 = 6. Giải: Phương trình đặc trưng r2 – 6r –9 =0 có nghiệm kép r=3. Do đó nghiệm của hệ thức truy hồi có dạng: n n n n a 3 3 2 1 α α + = với α1, α2 là các hằng số nào đó. Từ các điều kiện đầu ta suy ra: a0 = 1=α1 a1 = 6 = α13+α23 ⇒ α1 =1, α2=1 vậy nghiệm của hệ thức truy hồi và các điều kiện đầu đã cho là: an = 3n +n3n Bây giờ ta phát biểu kết quả tổng quát về nghiệm các hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất với các hệ số hằng số. 36 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 35. toán đếm và bài toán tồn tại Định lý 3. Cho c1, c2,.., ck là các số thực. Giải sử phương trình đặc trưng: rk – c1rk-1 -..-ck = 0 có k nghiệm phân biệt r1, r2,.., rk. Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi: k n k n n n a c a c a c a − − − + + + = 2 2 1 1 khi và chỉ khi với n=0,1,2,.., trong đó α n k k n n n r r r a α α α + + + = 2 2 1 1 1, α2,.., αk là các hằng số. Ví dụ 4. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6an-1 –11an-2+6an-3 với điều kiện đầu a0=2, a1 =5, a2=15. Giải: Đa thức đặc trưng của hệ thức truy hồi là: r3 – 6r2 + 11r – 6 có các nghiệm là r1=1, r2 = 2, r3 = 3. Do vậy nghiệm của hệ thức truy hồi có dạng: . n n n n a 3 2 1 3 2 1 α α α + + = Để tìm các hằng số α1, α2, α3 ta dựa vào những điều kiện ban đầu: a0 = 2 = α1 + α2 + α3 a1 = 5 = α1 + α22 +α33 a2 = 15=α1 + α24 +α39 Giải: hệ phương trình này ta nhận được α1 = 1, α2 =-1, α3=2. Vì vậy nghiệm duy nhất của hệ thức truy hồi này và các điều đầu đã cho là dãy {an} với: n n n a 3 . 2 2 1 + − = 2.5. QUI TẮC VỀ CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Một trong những phương pháp giải quyết bài toán đếm phức tạp là qui bài toán đang xét về những bài toán nhỏ hơn. Sự phân chia này được thực hiện một cách liên tiếp cho tới khi nhận được lời giải của bài toán nhỏ một cách dễ dàng. Tuy nhiên điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được vì nó đòi hỏi một sự phân tích sâu sắc cấu hình cần đếm. Giả sử rằng có một thuật toán phân chia bài toán cỡ n thành a bài toán nhỏ, trong đó mỗi bài toán nhỏ có cỡ n/b[để đơn giản ta giả sử n chia hết cho b]; trong thực tế các bài toán nhỏ thường có cỡ là số nguyên gần nhất với n/b. Giả sử tổng các phép toán thêm vào khi thực hiện phân chia bài toán cỡ n thành các bài toán cỡ nhỏ hơn là g[n]. Khi đó nếu f[n] là số các phép toán cần thiết để giải bài toán đã cho thì f thoả mãn hệ thức truy hồi sau: ] [ ] [ n g b n af n f + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ; hệ thức này có tên là hệ thức chia để trị. Ví dụ 1. Xét thuật toán nhân hai số nguyên kích cỡ 2n bít. Kỹ thuật này gọi là thuật toán nhân nhanh có dùng kỹ thuật chia để trị. 37 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 36. toán đếm và bài toán tồn tại Giải: Giả sử a và b là các số nguyên có biểu diễn nhị phân là 2n bít [có thể thêm các bít 0 vào đầu để chúng có thể dài bằng nhau]. và 2 0 1 2 2 1 2 ] [ a a a a a n n − − = 2 0 1 2 2 1 2 ] [ b b b b b n n − − = Giả sử a = 2n A1 +A0, b = 2n BB 1 +B0 trong đó 2 1 2 2 1 2 1 ] [ n n n n a a a a A − − − = ; 2 0 1 2 1 0 ] [ a a a a A n n − − = 2 1 2 2 1 2 1 ] [ n n n n b b b b B − − − = ; 2 0 1 2 1 0 ] [ a a a a bA n n − − = Thuật toán nhân nhanh được dựa trên đẳng thức: 0 0 1 0 0 1 1 1 2 ] 1 2 [ ] ][ [ 2 ] 2 2 [ B A B B A A B A ab n n n n + + − − + + = Điều này chỉ ra rằng phép nhân hai số nguyên 2n bít có thể thực hiện bằng cách dùng 3 phép nhân các số nguyên n bít và các phép cộng, trừ dịch chuyển. Như vậy, nếu f[n] là tổng các phép toán nhị phân cần thiết để nhân hai số n bít thì: Cn n f n f + = ] [ 3 ] 2 [ Ba phép nhân các số nhị phân n bít cần 3f[n] phép toán nhị phân. Mỗi một phép toán cộng, trừ, dịch chuyển dùng một hằng số nhân với n lần chính là Cn. Ví dụ 2. Bài toán xếp khách của Lucas. Có một bàn tròn, xung quanh có 2n ghế. Cần sắp chỗ cho n cặp vợ chồng sao cho các ông ngồi sen kẽ các bà và không có hai cặp vợ chồng nào ngồi cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp? Giải: Gọi số phải tìm là Mn. Xếp cho các bà trước[cứ xếp một ghế thì một ghế để trống dành cho các ông], số cách xếp cho các bà là 2n! cách. Gọi số cách xếp cho các ông ứng với một cách xếp các bà là Un ta được số cách xếp là: Mn = 2n! x Un.Vấn đề còn lại là tính số Un. Đánh số các bà [đã xếp] từ 1 đến n, đánh số các ông tương ứng với các bà [ông i là chồng bà i], sau đó đánh số các ghế trống theo nguyên tắc: ghế số i nằm giữa bà i và bà i+1 [các phép cộng được hiểu lấy modul n nghĩa là n +1 = 1]. Mỗi cách xếp các ông được biểu diễn bằng một phép thế ϕ trên tập {1, 2,.., n } với qui ước ϕ[i] = j có nghĩa là ghế i được xếp cho ông j. Theo giả thiết ϕ phải thoả mãn: ϕ[i] ≠ i và ϕ[i]≠i+1 [*] Như vậy, Un là số tất cả các phép thế ϕ thoả mãn điều kiện [*]. Trong toán học gọi Un là số phân bố. Xét tập hợp tất cả các phép thế ϕ của { 1, 2,.., n }. Trên tập này ta gọi Pi là tính chất ϕ[i] = i, Qi là tính chất ϕ[i] = i+1. Đặt Pn+i = Qi, theo nguyên lý bù trừ tương ứng với 2n tính chất Pi ta có: 38 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 37. toán đếm và bài toán tồn tại ... ! 2 1 + + − = = N N n N Un trong đó Nk là tổng số tất cả các phép thế thoả mãn k tính chất lấy từ 2n tính chất đang xét. Cần chú ý rằng, không thể xảy ra đồng thời thoả mãn Pi và Qi. Do đó trong các phép lấy ra k tính chất từ 2n tính chất đang xét cần thêm vào điều kiện: Pi và Qi hoặc Pi+1 và Qi không được đồng thời có mặt. Gọi số các cách này là g[2n, k] [ nói riêng g[2n,k]=0 khi k>n]. Với mỗi cách lấy ra k tính chất như vậy [k 1. Tưởng chừng bài toán chỉ mang ý nghĩa thử thách trí tuệ con người thuần tuý như một bài toán đố. Nhưng gần đây, người ta phát hiện những ứng dụng quan trọng của vấn đề trên vào qui hoạch, thực nghiệm và hình học xạ ảnh. Bài toán 2. Bài toán 4 màu Có nhiều bài toán mà nội dung của nó có thể giải thích được với bất kỳ ai, lời giải của nó ai cũng cố gắng thử tìm nhưng khó có thể tìm được. Ngoài định lý Fermat thì bài toán bốn màu cũng là một bài toán như vậy. Bài toán có thể được phát biểu như sau: Chứng minh rằng mọi bản đồ đều có thể tô bằng 4 màu sao cho không có hai nước láng giềng nào lại bị tô bởi cùng một màu. Trong đó, mỗi nước trên bản đồ được coi là một vùng liên thông, hai nước được gọi là láng giềng nếu chúng có chung đường biên giới là một đường liên tục. 42 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/
• 41. toán đếm và bài toán tồn tại 2 1 3 4 Hình 2.2. Bản đồ tô bởi ít nhất bốn màu Con số bốn màu không phải là ngẫu nhiên. Người ta đã chứng minh được rằng mọi bản đồ đều được tô bởi số màu lớn hơn 4, còn với số màu ít hơn 4 thì không thể tô được, chẳng hạn bản đồ gồm 4 nước như trên hình 2.2 không thể tô được với số màu ít hơn 4. Bài toán này xuất hiện vào những năm 1850 từ một lái buôn người Anh là Gazri khi tô bản đồ hành chính nước Anh đã cố gắng chứng minh rằng nó có thể tô bằng bốn màu. Sau đó, năm 1852, ông đã viết thư cho De Morgan để thông báo về giả thuyết này. Năm 1878, Keli trong một bài báo đăng ở tuyển tập các công trình nghiên cứu của Hội toán học Anh có hỏi rằng bài toán này đã được giải quyết hay chưa? Từ đó bài toán trở nên nổi tiếng, trong xuốt hơn một thế kỷ qua, nhiều nhà toán học đã cố gắng chứng minh giả thuyết này. Tuy vậy, mãi tới năm 1976 hai nhà toán học Mỹ là K. Appel và W. Haken mới chứng minh được nó nhờ máy tính điện tử. Bài toán 3. Hình lục giác thần bí Năm 1890 Clifford Adams đề ra bài toán hình lục giác thần bí sau: trên 19 ô lục giác [như hình 2.3] hãy điền các số từ 1 đến 19 sao cho tổng theo 6 hướng của lục giác là bằng nhau [và đều bằng 38]. Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng Adams cũng đã tìm được lời giải. Sau đó vì sơ ý đánh mất bản thảo ông đã tốn thêm 5 năm để khôi phục lại. Năm 1962 Adams đã công bố lời giải đó. Nhưng thật không thể ngờ được đó là lời giải duy nhất. 9 11 18 14 6 1 15 8 5 13 4 2 10 12 16 17 7 3 19 Hình 2.3. Hình lục giác thần bí 43 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/