Thế nào là hai phương trình tương đương
a. Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
b. Hai quy tắc biến đổi tương đương các phương trình:
2. Phép biến đổi tương đương
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau
- Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức.
- Chuyển một số hoặc biểu thức từ vế này sang vế kia và đổi dấu.
- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0.
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương trình tương đương
3. Phương trình hệ quả
Gọi S1,S2 lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình [1] và [2]. Ta nói phương trình [2] là phương trình hệ quả của phương trình [1] khi S1 ⊂S2. Ta viết [1]⇒[2].
Ví dụ 1. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Chú ý. Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà chỉ là phép biến đổi hệ quả.
Ví dụ 2. Cho hai phương trình:
Hai phương trình trên có tương đương không? Phương trình này có là phương trình hệ quả của phương trình kia không?
Khi hai vế của phương trình đều không âm, phương hai vế của phương trình ta được một phương trình tương đương.
Công thức
4. Phương trình bậc nhất một ẩn:
5. Cách giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 [a ≠ 0] [không có ẩn ở mẫu]:
- Quy đồng mẫu thức 2 vế
- Khử mẫu thức.
- Thực hiện các phép tính và chuyển vế [chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế bên kia], đưa phương trình về dạng Ax = B
Ví dụ 1.
Giải phương trình:
Thí dụ 1. Các cặp bất phương trình sau có tương đương không ? Vì sao ?
a. x$^2$ – 2 > x và x$^2$ > x + 2. b. $x + \frac{1}{x} < 1 + \frac{1}{x}va \,x < 1$.a. Với bất phương trình: x$^2$ – 2 > x
cộng 2 vào hai vế của bất phương trình, ta được: x$^2$ – 2 + 2 > x + 2 ⇔ x$^2$ > x + 2.
Vậy, hai bất phương trình đã cho tương đương. b. Nhận xét rằng, số 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình đầu.
Vậy, hai bất phương trình đã cho không tương đương.
Thí dụ 2. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
Ta thấy T$_1$ = T$_2$.
Vậy, hai bất phương trình tương đương. b. Ta có: $\sqrt {x - 1} $ ≥ x có tập xác định x ≥ 1 [1]
Với x ≥ 1 ⇒ 2x + 1 > 0 [2]
Nhân cả hai vế của [1] với [2], ta được: [2x + 1]$\sqrt {x - 1} $ ≥ x[2x + 1].
Vậy, hai bất phương trình tương đương.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Cặp bất phương trình tương đương, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Cặp bất phương trình tương đương: Cặp bất phương trình tương đương. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Bất phương trình 2x + 2x – 4. Điều kiện: x = 2. Bất phương trình tương đương với: 2x 0 và [4 – 1]x – a + 3 > 0 tương đương: Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình. Bài tập trắc nghiệm.
Câu 2: Bất phương trình 2x = 1 > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? Nếu ta cộng vào hai vế bất phương trình 2x – 1 > 0 thì điều kiện của bất phương trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai. Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x – 2018 thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 1 > 0.Câu 5: Bất phương trình tương đương với bất phương trình x – 1 > x. Câu 6: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình [m + 2]x + 5m + 1 và 3m [x – 1] tương đương: Thay m = -2 thì hệ số của x ở [1] bằng 0, hệ số của x ở [2] khác 0. Không thỏa mãn. Thay m = -1 thì hệ số của x ở [1] dương, hệ số của x ở [2] âm. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D.
Một số bài tập về Bất phương trình một ẩn và bất phương trình tương đương
Một số bài tập về Bất phương trình một ẩn và bất phương trình tương đương
1. Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn x là hệ thức A[x] > B[x] hoặc A[x] < B[x] hoặc A[x] ≥ B[x] hoặc A[x] ≤ B[x].
Trong đó: A[x] gọi là vế trái; B[x] gọi là vế phải.
Nghiệm của bất phương trình là giá tri của ẩn thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.
2. Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
3. Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm,
Kí hiệu:
Bài Tập
Bài 19 - 26 trang 47 sgk toán 8 tập 2
Giải các bất phương trình theo quy tắc chuyển vế:
a] x - 5 > 3; b] x - 2x < -2x + 4;
c] -3x > -4x + 2; d] 8x + 2 < 7x - 1.
Hướng dẫn giải:
a] x - 5 > 3 x > 5 + 3 x > 8
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8
b] x - 2x < -2x + 4 x - 2x + 2x < 4 x < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4
c] -3x > -4x + 2 -3x + 4x > 2 x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2
d] 8x + 2 < 7x - 1 8x - 7x < -1 -2 x < -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3
Bài 21. Giải thích sự tương đương sau:
a] x - 3 > 1 x + 3 > 7; b] -x < 2 3x > -6
Hướng dẫn giải:
a] x - 3 > 1 x + 3 > 7
Hai bất phương trình tương đương vì cộng 6 vào cả hai vế.
b] -x < 2 3x > -6
Hai bất phương trình tương đương vì nhân -3 vào cả hai vế và đổi dấu bất phương trình.
Bài 24. Giải các bất phương trình:
a] 2x - 1 > 5; b] 3x - 2 < 4;
c] 2 - 5x ≤ 17; d] 3 - 4x ≥ 19.
Hướng dẫn giải:
a] 2x - 1 > 5 2x > 6 x > 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 3
b] 3x - 2 < 4 3x < 6 x < 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x < 2
c] 2 - 5x ≤ 17 -5x ≤ 15 -x ≤ 3 x ≥ -3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≥ -3
d] 3 - 4x ≥ 19 -4x ≥ 16 x ≤ -4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≤ -4