Các bài toán giải hệ phương trình lớp 10

1. Ta có \[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\], \[{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\]

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right] = \left[ { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right]\]

1. Ta có \[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\], \[{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\]

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right] = \left[ {4;3} \right]\]

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

1. \[\left\{ \begin{array}{l}[x + 3]y - 5] = xy\\[x - 2][y + 5] = xy\end{array} \right.\]

1. \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\]

1. \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3[x + y]}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\]

Hướng dẫn:

1. Hệ phương trình tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {12;25} \right]\]

1. Hệ phương trình tương đương với\[\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\] [1] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\] [2]

Ta có \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\]

\[\left[ 2 \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left[ {x;y} \right]\] là \[\left[ { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right]\] và \[\left[ { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right]\]

1. ĐKXĐ: \[x \ne y\]

Hệ phương trình tương đương với \[\left\{ \begin{array}{l}3[x + y] = - 7\left[ {x - y} \right]\\3\left[ {5x - y} \right] = 5\left[ {y - x} \right]\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\] [không thỏa mãn]

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \[D,\,{D_x},\,{D_y}\]

\[ \bullet \] Nếu \[D \ne 0\] thì hệ có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right]\]

\[ \bullet \] Nếu \[D = 0\] thì ta xét \[{D_x},\,{D_y}\]

Với \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\] khi đó phương trình vô nghiệm

Với \[{D_x} = {D_y} = 0\] thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\]

Hướng dẫn:

Ta có \[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left[ {2 - m} \right]\left[ {2 + m} \right]\]

\[{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left[ {2 - m} \right]\left[ {2m + 3} \right]\] \[{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m\left[ {m - 2} \right]\]

• Với \[{\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\]: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right] = \left[ {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right]\]
• Với \[{\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m = \pm 2\]:

+ Khi \[m = 2\] ta có \[{\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\] nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \[2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\]. Do đó hệ phương trình có nghiệm là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {t;2t - 4} \right],\,\,t \in R\].

+ Khi \[m = - 2\] ta có \[D = 0,\,{D_x} \ne 0\] nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\[m \ne 2\] và \[m \ne - 2\] hệ phương trình có nghiệm duy nhất\[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right]\]

\[m = 2\]hệ phương trình có nghiệm là \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {t;2t - 4} \right],\,\,t \in R\].