Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 9

Bạn đang xem tài liệu "Toán 9 - Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Các phương pháp chứng minh BĐT 1 [phần 1] Các phương pháp chứng minh BĐT 2 Chương I Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó để chứng minh BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng: · Dạng 1: 2a b ab+ ³ với a,b là các số không âm · Dạng 2: 2 2 2a b ab+ ³ với mọi a,b Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là: · Hệ quả 1: 2 2 22[ ] [ ] 4a b a b ab+ ³ + ³ với mọi a,b · Hệ quả 2: 1 1 4 a b a b + ³ + với a,b dương · Hệ quả 3: 2 a b b a + ³ với a,b dương I.Các bài toán cơ bản Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] 1 11] 4 2] 8 3] 2 2 2 8 a b a b b c c a abc a b a b c b c a c a b a b b c c a æ ö+ + ³ + + + ³ç ÷ è ø + + + + + + ³ + + + Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh; [ ] [ ] [ ]22 2 23 3a b c a b c ab bc ca+ + ³ + + ³ + + Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ] [ ] [ ] 3 4 3 3 4 4 6 6 6 1] 2] 4 8 3] 32 a b a b a b a b a b a b + + + ³ + ³ + + ³ Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh: 1 1 1 2 2 21] 2] 4 a b c a b b c c a b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + ³ + + + + + + + + æ ö+ + ³ + +ç ÷+ + +è ø Các phương pháp chứng minh BĐT 3 Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh: [ ]1 1 11] 9 2] 1 1 13] bc ca aba b c a b c a b c a b c a b c bc ca ab a b c æ ö+ + + + ³ + + ³ + +ç ÷ è ø + + ³ + + Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 3 33 2 2 2 2 1] 2] 4[ ] 3] 2 2[ ] a b a ba b a b a b b a b a a b a b b a + ³ + + + + ³ + + ³ + II.Các bài toán nâng cao Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh: 2 2 2 21 1 25 1 1 251] 2] 2 2 1 1 25 1 1 253] 4] 4 4 a b a b a b b a a b a b a b b a æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + ³ + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø æ öæ ö æ öæ ö+ + ³ + + ³ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh; 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1] 2 1 1 12] 3 [ 1] 2 a b c a b c b c c a a b abc a b c a b c b c c a a b abc + + + + £ + + + + + + £ + + + = + + + Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1] 2 2 2 4 1 1 1 1 1 12] 3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 1 13] 2 2 2 4 4 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b b c c a a b c a b c b c a c a b a b c + + + + £ + + + + + + + + £ + + + + + + + £ + + + + + + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 4 Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có: 3 31] 2 3 2] 2 a b c a b c m m ma b c m m m a b c + + ³ + + ³ Với , ,a b cm m m là trung tuyến của các cạnh tam giác. Chương II Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để chứng minh Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT Cauchy bốn số và n số. I.Các bài toán cơ bản Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh: [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 11] 9 2] 16a b c a b c d a b c a b c d æ ö æ ö+ + + + ³ + + + + + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ][ ] [ ] 31] 2 2] 2 2 2 64 1 1 13] 1 1 1 64 [ 1] a b c b c a c a b a b c b c a c a b abc a b c a b c + + ³ + + + + + + + + + ³ æ öæ öæ ö+ + + ³ + + =ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1] 3 2] a b c a b b c c a abc a b c a bc b ca c ab + + ³ + + ³ + + ³ + + Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: Các phương pháp chứng minh BĐT 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1] 2] 3] a b c a b cab bc ca a b c b c a b c a a b c a b c b c a b c a + + ³ + + + + ³ + + + + ³ + + Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1] 2] a b c a b c b c a a b c a b c b c a b c a + + ³ + + + + ³ + + Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ] 3 23 1] 2] a b c a b c b c a abc a b c ab bc ca b c a abc + + + + ³ + + + + ³ Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a æ ö + + ³ç ÷ è ø II.Các bài toán nâng cao Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ] 3 23 1] d 2] d a b c a b c b c abc a b c ab bc ca b c abc + + + + ³ + + + + ³ Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a æ ö + + ³ç ÷ è ø Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh: 6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2a b c d a b c b c d c d a d a b+ + + ³ + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 6 Chương III Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép: Cho một số nguyên dương 2n ³ và hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thỏa mãn điều kiện: 1 2 ... na a a³ ³ ³ và 1 2 ... nb b b³ ³ ³ . Khi đó ta có: [ ] [ ]1 1 2 2 1 2 1 2 1... ... ...n n n na b a b a b a a a b b bn + + + ³ + + + + + + Hay [ ] [ ][ ]1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b+ + + ³ + + + + + + Bài tập: Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 9 a b c a b c + + ³ + + Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a b a + + ³ + + + [ BĐT Nesbit] Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 2 22 2 2 1] 2 3[ ] 2] 2 a b c a b c b c c a b a a b ca b c b c c a b a + + + + ³ + + + + + + + ³ + + + Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 1a b c+ + = Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2a b b c c aP b c c a a b + + + = + + + + + Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh: [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 22 2 2 3 5 a b c a b c b c a c a b + + ³ + + + + + + Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1a b c a b c abc æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷+ + + +è øè ø Các phương pháp chứng minh BĐT 7 Chương IV Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh BĐT Để chứng minh bất đẳng thức A B³ , hay 0A B- ³ , ta tìm cách biến đổi biểu thức A B- thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu thức bình phương. I.Các bài toán cơ bản Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 1] 2] 3 3] 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c a b c + + ³ + + + + ³ + + + + ³ + + Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ]2 2 2 1] 2] 3 bc ca ab a b c a b c bc ca ab a b c a b c + + ³ + + + + ³ + + Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ][ ] [ ] [ ][ ] 1] 8a 2] 9a a b b c c a bc a b c ab ba ca bc + + + ³ + + + + ³ Bài 4.4: Chứng minh 3 3 3 3aa b c bc+ + ³ với 0a b c+ + ³ Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1] 6 1 1 1 92] a b b c c a c a b a b c a b c + + + + + ³ + + ³ + + Các phương pháp chứng minh BĐT 8 II.Các bài toán nâng cao Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2a b c a b c b c a + + ³ + + Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ³ + + + Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho , ,a b c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0a b c a b c b c a b a c c a c c b a+ - - + + + - + - + + - + - ³ Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a b c³ ³ . Chứng minh: 3 2 a b c a b b c c a + + ³ + + + Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: [ ][ ][ ] [ ]33 3 31 1 1 1a b c abc- - - £ - Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác

Cập nhật lúc: 09:40 02-01-2018 Mục tin: LỚP 10

Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3
Chủ đề 2 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính
chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44
1. Sử dụng tính chất của tỉ số 45
2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54
3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. 59
Chủ đề 3 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng 68
Chủ đề 4 Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số - Phương
pháp quy nạp
86
Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 117
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang
trung bình nhân
118
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang
trung bình cộng.
141
3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 161
4. Kỹ thuật thêm bớt 175
5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191
6. Kỹ thuật đổi biến số 199
Chủ đề 6 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 220
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi 221
2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 236
3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252
4. Kỹ thuật thêm bớt 275
5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki 289

Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC
Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307
Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319
Chủ đề 9 Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR 333
Chủ đề 10 Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán 344

tìm cực trị.
1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh
điển 344
2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. 367
3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382
4. Phương pháp tiếp tuyến 389
5. Khảo sát hàm nhiều biến số 393
6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398
7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405

Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Chủ đề 11 Một số bất đẳng thức hay và khó 409
Chủ đề 12 Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và
tuyển sinh lớp 10 chuyên toán. 649

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩaGiả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó

+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.

Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng.

Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung cơ bản của chương I gồm:
· Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
· Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên.
· Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được
trình bày cụ thể.
· Giới thiệu một số bài tập tự luyện.

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.