//bomongiaitich.wordpress.com/2011/04/11/d%E1%BB%8Bnh-ly-fermat-d%E1%BB%8Bnh-ly-ham-ng%C6%B0%E1%BB%A3c/
lại nhìn các Định lý này qua con mắt hình học.
Dưới đây ta sẽ nhìn các Định lý này qua con mắt Đại số tuyến tính nhờ phép tính vi phân và đạo hàm hàm hợp.
Trước hết ta xem lại Định lý hàm ngược trong hàm một biến.
Xét hàm khả vi, .
Ta có vi phân của hàm tại
hay viết
Nếu thì
.
Viết như trên nghĩa là ta coi như một hàm theo . Hơn thế hàm còn là hàm khả vi tại
.
Đây chính là nội dung của Định lý hàm ngược.
Định lý hàm ngược trong trường hợp một biến chẳng qua là trường hợp riêng của Định lý hàm ẩn trong trường hợp hai biến theo nghĩa sau:
Tích phân hàm ẩn là một dạng toán mà các em được học trong chương trình Toán học Giải tích 12. Mặc dù đã được học qua nhưng khi giải dạng toán này rất nhiều em học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn. Để giúp các em tự tin hơn khi học nội dung này, Marathon Education sẽ chia sẻ đến các em những kiến thức về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải chi tiết các dạng toán liên quan.
Tích phân hàm ẩn là gì?
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà hàm số đã bị ẩn đi. Đề bài sẽ không cho các em thấy hàm số cần tính là gì mà chỉ hiển thị một số điều kiện có sẵn. Để giải được dạng toán này, các em cần phải tư duy nhiều hơn trong quá trình giải toán và nắm vững những phương pháp giải cơ bản.
Các dạng toán tích phân hàm ẩn và phương pháp giải
Dạng 1: Phương pháp sử dụng quy tắc và đạo hàm của hàm hợp
Quy tắc 1:
Nếu u = u[x] và v = v[x] thì [uv]’ = u’v + uv’
Nếu [f[x].g[x]]’ = h[x] thì f[x].g[x] = ∫h[x]dx.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số f[x] có đạo hàm liên tục trên khoảng [0; +∞] và thỏa mãn điều kiện f[1] = 3, x[4 – f’[x]] = f[x] – 1 với mọi x > 0. Các em hãy tính giá trị của f[2].
Bài giải:
x[4 – f’[x]] = f[x] – 1 ⟹ xf’[x] + f[x] = 4x + 1
⟹ [xf[x]]’ = 4x + 1
⟹ xf[x] = ∫[4x + 1]dx
⟹ xf[x] = 2x2 + x + C
Ta có: f[1] = 3 ⟹ C = 0
⟹ f[x] = 2x+1
⟹ f[2] = 5
Quy tắc 2:
\footnotesize \text{Nếu }u=u[x] \text{ và }v=v[x] \text{ thì }\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ với }v\not=0. \text{ Nếu} \left[\frac{f[x]}{g[x]}\right]'=h[x]\text{ thì }\frac{f[x]}{g[x]}=\int h[x]dx.
Ví dụ minh họa:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
Bài giải:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Ta có:}\ &\footnotesize f'[x]=2x[f[x]]^2\ &\footnotesize \Leftrightarrow\frac{f'[x]}{[f[x]]^2}=2x\ &\footnotesize \Leftrightarrow\left[\frac{1}{f[x]}\right]'=-2x\ &\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f[x]}=-\int2xdx\ &\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f[x]}=-x^2+C\ &\footnotesize \text{Lại có:}\ &\footnotesize f[2]=\frac29\Rightarrow C=-\frac12 \Rightarrow \frac{1}{f[x]}=-x^2-\frac12 \Rightarrow f[1]=-\frac23 \end{aligned}
Quy tắc 3:
\footnotesize \text{Nếu }u=u[x] \text{ thì } [\sqrt{u}]'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\text{ với }u>0.\text { Nếu } \left[\sqrt{f[x]}\right]'=h[x] \text{ thì } \sqrt{f[x]}=\int h[x]dx.
Ví dụ minh họa:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{ Cho hàm số }f[x]\text{ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn: }\ &\footnotesize f'[x]=2\sqrt{f[x]} \ \forall x\in[0;1] \text{ và } f[0]=1\ &\footnotesize \text{Các em hãy tính tích phân của hàm số:} \intop_0^1f[x]dx\ \end{aligned}
Bài giải:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Ta có:}\ &\footnotesize f'[x]=2\sqrt{f[x]} \ &\footnotesize\Leftrightarrow\frac{f'[x]}{2\sqrt{f[x]}}=1\ &\footnotesize\Leftrightarrow\left[\sqrt{f[x]}\right]'=1 \ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{f[x]}=\int dx \Leftrightarrow \sqrt{f[x]}=x+C\ &\footnotesize \text{Lại có:}\ &\footnotesize f[0]=1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow f[x]=[x+1]^2 \Rightarrow \intop_0^1[x+1]^2dx=\left.\frac13[x+1]^2\right|^1_0=\frac73 \end{aligned}
Quy tắc 4:
Nếu u = u[x] thì thì [eu]’ = u’.eu
Nếu [ef[x]]’ = g[x] thì ef[x] = ∫g[x]dx
Ví dụ minh họa:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Cho hàm số } f[x] \text{ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn }f[0]=1 \text{ và } f'[x].e^{f[x]-x^2-1}=2x \ \forall x\in[0;1].\ &\footnotesize \text{Tính giá trị của }\intop^1_0f[x]dx. \end{aligned}
Bài giải:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Ta có: }\ &\footnotesize f'[x].e^{f[x]-x^2-1}=2x\ \Leftrightarrow &\footnotesize f'[x]e^{f[x]}=2x.e^{x^2+1}\ \Leftrightarrow &\footnotesize\left[e^{f[x]}\right]'=2x.e^{x^2+1}\ \Leftrightarrow &\footnotesize e^{f[x]}=\int 2x.e^{x^2+1}\ \Leftrightarrow &\footnotesize e^{f[x]}=e^{x^2+1}+C\ &\footnotesize \text{Lại có:} f[0]=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow e^{f[x]}=e^{x^2+1} \Rightarrow f[x]=x^2+1\ &\footnotesize \text{Do vậy:}\intop_0^1f[x]dx=\intop_0^1[x^2+1]dx=\left.\left[\frac13x^3+x\right]\right|^1_0=\frac43 \end{aligned}
Quy tắc 5:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Nếu }u=u[x] \text{ nhận giá trị dương trên K thì }[lnu]'=\frac{u,}{u} \text{ trên K. }\ &\footnotesize \text{Nếu } [ln[f[x]]]'=g[x] \text{ thì } ln[f[x]]=\int g[x]dx. \end{aligned}
Ví dụ minh họa:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Cho hàm số }y=f[x] \text{ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn }f[x]>0\ \forall x\in\R \text{ và } f'[x]+2f[x]=0.\ &\footnotesize \text{Biết }f[1]=1, \text{ tính }f[-1]. \end{aligned}
Bài giải:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
0
Dạng 2: Phương pháp sử dụng định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
Dạng toán này của tích phân hàm ẩn xuất phát từ tính chất sau đây của nguyên hàm:
∫f’[x]dx = f[x] + C
Trong công thức này, các em sẽ biết f’[x] [hàm số bị ẩn trong f’[x]] và chưa biết hệ số C nhưng đã biết một vài giá trị của f[x]. Lúc này, bài toán sẽ yêu cầu các em tính một số giá trị của f[x].
Để giải dạng toán tích phân hàm ẩn này, các em có thể áp dụng một trong 2 cách sau:
- Cách 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm để xác định f[x]+C. Tiếp theo, các em hãy sử dụng những giá trị đã biết của f[x] để xác định hệ số C, cuối cùng các em tính giá trị cần tìm.
- Cách 2: Nếu hàm số đã cho có tích phân trên [a;b] thì các em hãy sử dụng công thức tích phân để tính giá trị.
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số f[x] xác định trên R và có đạo hàm thỏa mãn f’[x] = 2x + 3, f[1] = 0. Các em hãy tính f[2].
Bài giải:
Cách 1: Dùng định nghĩa nguyên hàm
Ta có: f[x] = ∫f’[x]dx = ∫[2x + 3]dx = x2 + 3x + C
Mà f[1] = 0 nên C = -4
\=> f[x] = x2 + 3x – 4
Vậy nên: f[2] = 6
Cách 2: Dùng định nghĩa tích phân
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
1
Dạng 3: Phương pháp đổi biến
Nếu trong bài tập tích phân hàm ẩn mà tích phân cần tính có cận khác với tích phân ở giả thiết thì các em hãy áp dụng phương pháp đổi biến số để giải.
Ví dụ minh họa:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
2
Bài giải:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
3
Dạng 4: Phương pháp tích phân từng phần
Nếu bài toán chứa tích phân hàm ẩn không thể sử dụng 3 phương pháp trên và trong tích phân có 2 hàm số xuất hiện với cận không đổi thì lúc này các em cần áp dụng phương pháp tích phân từng phần.
Ví dụ minh họa:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
4
Bài giải:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
5
Dạng 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'[x]+p[x].f[x]=h[x]
Phương pháp:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
6
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức: f'[x]+f[x]=h[x]
Phương pháp
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
7
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f'[x]-f[x]=h[x]
Phương pháp
\footnotesize \text{Cho hàm số }f[x]\text{ thỏa mãn }f[2]=-\frac29 \text{ và } f'[x]=2x[f[x]]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f[1].
8
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Bài viết trên của Marathon Education đã tổng hợp cho các em những kiến thức quan trọng về tích phân hàm ẩn và phương pháp giải các dạng toán liên quan. Các em chú ý học kỹ lý thuyết cũng như các ví dụ để vận dụng giải các bài tập.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!