Edusmart.vn giới thiệu tới quý vị thầy cô và các em học sinh chuyên đề Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Đẳng Cấp. Nội dung Đề kiểm tra bao gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khách quan thời gian làm bài 20 phút giúp đánh giá năng lực học sinh sau khi kết thúc bài học.
Tuyển tập đề kiểm tra, đề thi và bài tập chuyên đề toán 10
Danh sách các đề kiểm tra 15 phút toán 10 theo từng bài, kiểm tra 1 tiết [45 phút] toán 10 theo từng chương, kiểm tra học kỳ 1 toán 10, kiểm tra học kỳ 2 toán 10, kiểm tra khảo sát toán 10 cả năm, các chuyên đề toán lớp 10 tất cả đều có lời giải chi tiết phục vụ cho công việc giảng dạy của quý thầy cô và việc tự học cảu các em học sinh, link danh sách tài liệu được để bên dưới bài viết.
Dưới đây là chuyên đề Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Đẳng Cấp
Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Đẳng Cấp
Để tải các tài liệu file word [có đáp án và lời giải chi tiết] quý thầy cô vui lòng liên hệ số hotline 0979263759 [Call, Zalo], hoặc địa chỉ mail
Nội dung chuyên đề được biên soạn bao gồm lý thuyết, bài tập ví dụ, bài tập luyện tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, qua đó giúp các em hệ thống được kiến thức cốt lõi trong chương học và phân dạng phương pháp giải bài tập, hình thành phản xạ có thể giải quyết các dạng bài tập tương tự tiếp theo.
Quý thầy cô đóng góp đề thi của trường mình cho nguồn tài liệu thêm phong phú xin gửi về địa chỉ mail: . Edusmart Xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của quý thầy cô.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 CỰC HAY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 TOÁN 10
ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN 10 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 TOÁN 10
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 10 CÁC TRƯỜNG THPT TRÊN TOÀN QUỐC CÓ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT TOÁN 10 THEO CHỦ ĐIỂM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 CÁC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRÊN TOÀN QUỐC
TỔNG HỢP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TOÁN 10 CÓ GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG 6 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 1 VEC TO
ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA VECTO
ĐỀ KIỂM TRA HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC OXY
Phương pháp áp dụng
Để giải và biện luận hệ đẳng cấp bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\,\,\,\,[2]\end{array} \right.$
ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: Xét At$^2$ + Bt + C = 0, nếu có nghiệm t0 thì thế x = t$_0$y vào hệ để xét hệ với một ẩn y.
* Chú ý: Với bài toán chứa tham số ta thường lựa chọn cách 2.
Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{x^2} + xy + 2{y^2} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.$.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Khử số hạng tự do từ hệ ta được: x$^2$ + 9xy-22y$^2$ = 0 [3] Đặt x = ty, khi đó: [3] y$^2$[t$^2$ + 9t-22] = 0 $\left[ \begin{array}{l}y = 0\\t = 2\\t = - 11\end{array} \right.$. Ta lần lượt:
- Với y = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = 15\\{x^2} = 8\end{array} \right.$ vô nghiệm..
- Với t = 2 ta được x = 2y, [2] y$^2$ = 1 $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
- Với t = -11 ta được x = -11y, [2] y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Cách 2: Nhận xét rằng: nếu [x, y] là nghiệm của hệ thì y ≠ 0.
Khử số hạng x$^2$ từ hệ ta được: xy-3y$^2$ = -1 x = $\frac{{3{y^2} - 1}}{y}$ [4] Thay [4] vào [2], ta được: 14y$^4$-15y$^2$ + 1 = 0. [5] Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: [5] 14t$^2$-15t + 1 = 0 $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1/14\end{array} \right.$.- Với t = 1, ta được: y$^2$ = 1 $\left[ \begin{array}{l}{y_1} = 1\\{y_2} = - 1\end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\,\,\& \,\,{y_1} = 1\\{x_2} = - 2\,\,\& \,\,{y_2} = - 1\end{array} \right.$.
- Với t = $\frac{1}{{14}}$, ta được: y$^2$ = $\frac{1}{{14}}$ $\left[ \begin{array}{l}{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$=> $\left[ \begin{array}{l}{x_3} = - 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_3} = 1/\sqrt {14} \\{x_4} = 1/\sqrt {14} \,\,\& \,\,{y_4} = - 1/\sqrt {14} \end{array} \right.$.
Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[*]\\2{x^2} + 4xy - 2{y^2} = m\end{array} \right.$.
a. Giải hệ với m = 14. b. Tìm m để hệ có nghiệm.Nhận xét rằng nếu [x; y] là nghiệm của hệ thì x ≠ 0 [nếu trái lại [*] mâu thuẫn]. Từ [*] suy ra: y = $\frac{{{x^2} - 2}}{x}$. [**] Thay [**] vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2x$^2$ + 4[x$^2$ - 2] - $\frac{{2{{[{x^2} - 2]}^2}}}{{{x^2}}}$ = m 4x$^4$ - mx$^2$ - 8 = 0. Đặt t = y$^2$, điều kiện t ≥ 0, ta được: f[t] = 4t$^2$ - mt - 8 = 0 [1] a. Với m = 14 thì hệ có nghiệm [2; 1] và [-2; -1]. b. Để hệ có nghiệm thì [1] phải có ít nhất một nghiệm không âm, điều này luôn đúng bởi ac = -32 < 0.Vậy, hệ có nghiệm với mọi m.
I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:
Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp [bậc của các số hạng như nhau] dạng \[ax^2+bxy+cy^2=0\]
Hoặc có thể cộng, trừ đại số để xuất hiện một phương trình đẳng cấp [làm cho hệ số tự do bằng 0]
II. Phương pháp giải:
- Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x
- Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y2, đặt t = x/y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x/y=t và kết hợp phương trình còn lại để tìm x và y
III. Các ví dụ:
1] Ví dụ1: Giải hệ pt: \[\begin{cases}x^2-2xy+3y^2=9\\2x^2-13xy+15y^2=0\end{cases}\]
Giải
Ta thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2.
- Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: \[\begin{cases}x^2=9\\2x^2=0\end{cases}\], không tồn tại x.
- Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y2, ta có:
\[2\left[\frac{x}{y}\right]^2-13\frac{x}{y}+15=0\]
Đặt t = x/y, thay vào ta có: \[2t^2-13t+15=0\], giải ra ta có t=5 hoặc t=3/2
Với t = 5 => x = 5y, thay vào pt đầu của hệ ta được \[y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\]
Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \[y^2=4\Rightarrow y=\pm2\]; \[\Rightarrow x=\pm3\]
Vậy các nghiệm của hệ là: \[\left[\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right];\left[\frac{-5\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{2}}{2}\right];\left[3;2\right];\left[-3;-2\right]\]
2] Ví dụ 2:
Cho hệ pt: \[\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17+m\end{cases}\]
a] Giai hệ khi m = 0
b] Tìm m để hệ có nghiệm
Giải: Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp đối với x và y:
\[\left[40+3m\right]x^2+2\left[6+m\right]xy+\left[m-16\right]y^2=0\] [pt3]
a] Với m = 0, giải tương tự ví dụ 1, từ [pt3] tìm được x/y = 1/2 hoặc x/y=-4/5, kết hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là:
\[\left[1,2\right];\left[-1,-2\right];\left[\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{-5\sqrt{3}}{3}\right];\left[\frac{-4\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3}\right]\]
3] Ví dụ 3:
Giải hệ: \[\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\]
Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được:
\[x^2y+2xy^2+y^3-2\left[x^3+y^3\right]=0\]
Hay là: \[-2x^3+x^2y+2xy^2-y^3=0\] [*]
pt [*] là đẳng cấp đối với x và y.
Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn [vì 0 = 2]
Với y khác 0, chia cả hai vế của [*] cho y3 và đặt t= x/y ta có:
\[-2t^3+t^2+2t-1=0\]
Hay là: \[-\left[2t-1\right]\left[t+1\right]\left[t-1\right]=0\] , Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = -1
=> x/y = 1/2 hoặc x/y = 1 hoặc x/y = -1
Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được các nghiệm là:
\[\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right];\left[\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right]\]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
phương pháp giải hệ phương trình