- LG a
- LG b
LG a
Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a2+ b2= 7ab thì
\[{\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}[\log_7a + \log _7b]\]
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương đẳng thức càn CM đưa về đẳng thức luôn đúng.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\log _7}{{a + b} \over 3} = {1 \over 2}[\log_7a + \log _7b] \cr
& \Leftrightarrow 2\log _7{{a + b} \over 3} = {\log _7}[ab] \cr
& \Leftrightarrow {[{{a + b} \over 3}]^2} = ab \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = 9ab \cr &\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 7ab\,\,[đpcm] \cr} \]
LG b
Biết a và b là hai số dương, a 1 sao cho \[\log _ab = \sqrt 3 \]. Hãy tính \[{\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}
{\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\\
{\log _a}\left[ {bc} \right] = {\log _a}b + {\log _a}c
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\\
{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& {\log _{a\sqrt b }}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }} \cr &= {{{{\log }_a}{{\root 3 \of a } \over {\sqrt {{b^3}} }}} \over {{{\log }_a}a\sqrt b }} = {{{{\log }_a}\root 3 \of a - {{\log }_a}\sqrt {{b^3}} } \over {{{\log }_a}a + {{\log }_a}\sqrt b }} \cr
& = \frac{{{{\log }_a}{a^{\frac{1}{3}}} - {{\log }_a}{b^{\frac{3}{2}}}}}{{1 + {{\log }_a}{b^{\frac{1}{2}}}}}\cr &= {{{1 \over 3} - {3 \over 2}{{\log }_a}b} \over {1 + {1 \over 2}{{\log }_a}b}} = {{{1 \over 3} - {3 \over 2}\sqrt 3 } \over {1 + {1 \over 2}\sqrt 3 }} \cr
& = {{2 - 9\sqrt 3 } \over {6 + 3\sqrt 3 }} \cr} \]