Cho hai số thực \[a\], \[b\] đều lớn hơn \[1\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\] bằng
A. \[\frac{4}{9}\].
B. \[\frac{9}{4}\].
C. \[\frac{9}{2}\].
D. \[\frac{1}{4}\].
Lời giải
Chọn B
Ta có \[S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\]\[ = {\log _a}\left[ {ab} \right] + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\]
\[ = 1 + {\log _a}b + \frac{1}{4}\left[ {{{\log }_b}a + 1} \right]\]\[ = {\log _a}b + \frac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \frac{5}{4}\].
Đặt \[x = {\log _a}b\]. Do \[a\], \[b > 1\] nên \[x > 0\]. Khi đó \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\].
Cách 1.
Ta có \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\]\[ \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}\] [Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \[x\] và \[\frac{1}{4}x\]].
Dấu xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{4x}}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{2}\].
Vậy \[\min S = \frac{9}{4}\] tại \[{\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \].
Cách 2.
Ta có \[S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\]
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\], ta có
\[f’\left[ x \right] = 1 – \frac{1}{{4{x^2}}}\]\[ = \frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\]; \[f’\left[ x \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = – \frac{1}{2} \notin \left[ {0; + \infty } \right]\] hoặc \[x = \frac{1}{2} \in \left[ {0; + \infty } \right]\].
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,\,; + \infty } \right]} f\left[ x \right] = \frac{9}{4}\] khi \[x = \frac{1}{2}\].
Vậy \[\min S = \frac{9}{4}\] tại \[{\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \].
Lời giải của GV Vungoi.vn
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left[ {{a^3}b} \right]\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left[ 1 \right]\end{array}\]
Đặt \[x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\], khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}\]
Thay \[x,\,\,y\] vào [1] ta có:
\[\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {x - P} \right]^2} = x\left[ {x - P} \right] - 2\left[ {x - P} \right] - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {P - 3} \right]x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left[ 2 \right]\end{array}\]
Để tồn tại các số \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình [2] phải có nghiệm.
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {P - 3} \right]^2} - 4\left[ {{P^2} - 2P + 1} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}\]
Vậy \[m = - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}\] \[ \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left[ { - 1} \right]^2} + 9.{\left[ {\dfrac{5}{3}} \right]^2} = 27\].
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức
[{log _a}left[ {xy} right] = {log _a}x + {log _a}y,,left[ {0 0} right]]
[{log _{{a^n}}}{b^m} = dfrac{m}{n}{log _a}b,,left[ {0 0} right]]
[{log _a}b = dfrac{1}{{{{log }_b}a}},,left[ {0 < a,b ne 1} right]]
Từ giả thiết tính [{log _a}b].
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay [{log _a}b] vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
[begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left[ {asqrt[3]{b}} right] = {log _{sqrt {ab} }}left[ {sqrt[3]{{ab}}.sqrt[3]{{{a^2}}}} right]\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{a^2}}}\ = {log _{{{left[ {ab} right]}^{dfrac{1}{2}}}}}{left[ {ab} right]^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{a^{dfrac{2}{3}}}}}{{left[ {ab} right]}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}2.{log _{ab}}left[ {ab} right] + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_a}left[ {ab} right]}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left[ {1 + {{log }_a}b} right]}}\ Rightarrow dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left[ {1 + {{log }_a}b} right]}} = 3\ Rightarrow {log _a}b = - dfrac{3}{7}end{array}]
Khi đó ta có:
[begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left[ {bsqrt[3]{a}} right] = {log _{sqrt {ab} }}left[ {sqrt[3]{{ab}}sqrt[3]{{{b^2}}}} right]\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{b^2}}}\ = {log _{{{left[ {ab} right]}^{dfrac{1}{2}}}}}{left[ {ab} right]^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{b^{dfrac{2}{3}}}}}{{left[ {ab} right]}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}.2.{log _{ab}}left[ {ab} right] + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_b}left[ {ab} right]}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left[ {{{log }_b}a + 1} right]}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{4}{3}.dfrac{1}{{ - dfrac{7}{3} + 1}} = - dfrac{1}{3}end{array}]
Chọn B.
Cho \[a,\,\,\,b\] là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn \[{\log _a}b = 3\]. Tính giá trị của biểu thức \[T = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }}.\]
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức
\[{\log _a}\left[ {xy} \right] = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left[ {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right]\]
\[{\log _{{a^n}}}{b^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}b\,\,\left[ {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right]\]
\[{\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\,\,\left[ {0 < a,b \ne 1} \right]\]
Từ giả thiết tính \[{\log _a}b\].
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay \[{\log _a}b\] vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left[ {a\sqrt[3]{b}} \right] = {\log _{\sqrt {ab} }}\left[ {\sqrt[3]{{ab}}.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right]\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{a^2}}}\\ = {\log _{{{\left[ {ab} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left[ {ab} \right]^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{a^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left[ {ab} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}2.{\log _{ab}}\left[ {ab} \right] + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_a}\left[ {ab} \right]}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left[ {1 + {{\log }_a}b} \right]}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left[ {1 + {{\log }_a}b} \right]}} = 3\\ \Rightarrow {\log _a}b = - \dfrac{3}{7}\end{array}\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left[ {b\sqrt[3]{a}} \right] = {\log _{\sqrt {ab} }}\left[ {\sqrt[3]{{ab}}\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right]\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{b^2}}}\\ = {\log _{{{\left[ {ab} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left[ {ab} \right]^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{b^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left[ {ab} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}.2.{\log _{ab}}\left[ {ab} \right] + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_b}\left[ {ab} \right]}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left[ {{{\log }_b}a + 1} \right]}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{ - \dfrac{7}{3} + 1}} = - \dfrac{1}{3}\end{array}\]
Chọn B.