Cho f x là hàm liên tục trên và thoả mãn f 3 x 2 f x 1 − x với mọi x ∈ giá trị của tích phân f x dx

//toanmath.com/

TÍCH PHÂN C

ỦA HÀM ẨN

BÀI T

ẬP

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \ 1

{ }

thỏa mãn

[ ]

1

1
f x

x
′ =

− ,

[ ]

0 2017

f =

, f

[ ]

2 =2018
. Tính S= f

[ ]

3 − f

[ ]

−1 .

A. S = .1 B. S =ln 2. C. S =ln 4035. D. S = . 4
Câu 2: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \ 1

2

 
 
 

 thỏa mãn

[ ]

2

2 1

f x
x

′ =

− và f

[ ]

0 =1. Giá trị của
biểu thức f

[ ]

− +1 f

[ ]

3 bằng

A. 4 ln15+ . B. 3 ln15+ . C. 2 ln15+ . D. ln15 .
Câu 3: Cho hàm số f x[ ] xác định trên \ 1

2
 
 
 

 thỏa mãn [ ] 2
2 1
f x

x
′ =

− , f[0]=1 và f[1]=2. Giá
trị của biểu thức f[ 1]− + f[3] bằng

A. 4 ln 5+ . B. 2 ln15+ . C. 3 ln15+ . D. ln15.

Câu 4: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên  thỏa mãn f′

[ ]

x =2x+1 và f

[ ]

1 =5. Phương trình

[ ]

5

f x = có hai nghiệm x , 1 x . Tính t2 ổng S =log2 x1 +log2 x2 .

A. S = .1 B. S = .2 C. S = .0 D. S = . 4
Câu 5: Cho hàm số [ ]f x xác định trên \ 1

3
 
 
 

 thỏa mãn

[ ]

3 ,

[ ]

0 1
3 1

f x f

x

′ = =

− và

2
2
3
f   = 

  .
Giá trị của biểu thức f

[ ]

− +1 f

[ ]

3 bằng

A. 3 5ln 2+ . B. − +2 5 ln 2. C. 4 5ln 2+ . D. 2 5ln 2+ .
Câu 6: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \

{

−2; 2

}

và thỏa mãn

[ ]

24 ;

[ ]

3 0

4

f x f

x

′ = − =

− ;

[ ]

0 1

f =

và f

[ ]

3 =2. Tính giá trị biểu thức P= f

[ ]

− +4 f

[ ]

− +1 f

[ ]

4 .
A. 3 ln 3

25

P= + . B. P= +3 ln 3. C. 2 ln5
3

P= + . D. 2 ln5

3

P= − .

Câu 7: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \

{

−2;1

}

thỏa mãn

[ ]

2 1
2
f x

x x

′ =

+ − ; f

[ ]

− −3 f

[ ]

3 =0
và

[ ]

0 1

3

f = . Giá trị của biểu thức f

[ ]

− +4 f

[ ]

− −1 f

[ ]

4 bằng
A. 1 1ln 2

3+3 . B. 1 ln 80+ . C.

1 4
1 ln 2 ln

3 5

+ + . D. 1 1ln8
3 5

+ .

Câu 8: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \

{

−1;1

}

và thỏa mãn

[ ]

21
1
f x

x
′ =

− ; f

[ ]

− +3 f

[ ]

3 =0

và 1 1 2

2 2

f − + f   =

    . Tính giá trị của biểu thức P= f

[ ]

0 + f

[ ]

4 .
A. 2 ln3

5

P= + . B. 1 ln3

5

P= + . C. 1 1ln3

2 5

P= + . D. 1ln3

2 5

P= .

Câu 9: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên \

{ }

±1 thỏa mãn

[ ]

21
1
f x

x
′ =

− . Biết f

[ ]

− +3 f

[ ]

3 =0

và 1 1 2

2 2

f − + f   =

//toanmath.com/

A. 2 1ln5
2 9

T = + . B. 1 1ln9

2 5

T = + . C. 3 1ln9

2 5

T = + . D. 1ln9

2 5

T = .

Câu 10: Cho hàm số f x

[ ]

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

[

0;+∞

]

thỏa mãn

[ ]

2 1
15

f =

và f′

[ ] [

x + 2x+4

] [ ]

f2 x =0. Tính f

[ ]

1 + f

[ ]

2 + f

[ ]

3 .
A. 7

15. B.

11

15. C.

11

30. D.

7
30.

Câu 11: Cho hàm số f x

[ ]

xác định và liên tục trên  . Biết f6

[ ] [ ]

x f. ′ x =12x+13 và f

[ ]

0 =2.
Khi đó phương trình f x

[ ]

=3 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1.

Câu 12: Cho hàm số f x

[ ]

xác định trên  thỏa mãn f′

[ ]

x = ex+e−x− , 2 f

[ ]

0 =5 và
1

ln 0
4
f   =

  . Giá trị của biểu thức S= f

[

−ln16

]

+ f

[ ]

ln 4 bằng
A. 31

2

S = . B. 9

2

S = . C. 5

2

S = . D. f

[ ] [ ]

0 .f 2 =1.

Câu 13: Cho hàm số f x

[ ]

liên tục, không âm trên đoạn 0;
2
π
 
 

 , thỏa mãn f

[ ]

0 = 3và

[ ] [ ]

2

[ ]

. cos . 1

f x f′ x = x + f x , 0;

2
x  π

∀ ∈  . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M
của hàm số f x

[ ]

trên đoạn ;

6 2
π π

 

 

 .

A. 21

2

m= , M =2 2. B. 5
2

m= , M = .3

C. 5

2

m= , M = 3. D. m= 3, M =2 2.

Câu 14: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f x

[ ]

>0, ∀ ∈  . Biết x f

[ ]

0 =1
và

[ ]

[ ]

'

2 2
f x

x

f x = − . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x

[ ]

=m có hai
nghiệm thực phân biệt.

A. m>e. B. 0< ≤ .m 1 C. 0< < .m e D. 1 m< < . e
Câu 15: Cho hàm số f x

[ ]

liên tục trên  và f x

[ ]

≠0 với mọi x∈ .

[ ] [

] [ ]

2

2 1

f′ x = x+ f x và

[ ]

1 0, 5

f = − . Biết rằng tổng f

[ ]

1 f

[ ]

2 f

[ ]

3 ... f

[

2017

]

a
b

+ + + + = ;

[

a∈,b∈

]

với a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a b+ = − .1 B. a∈ −

[

2017; 2017

]

. C. a 1

b < − . D. b a− =4035.
Câu 16: Cho hàm số f x

[ ]

≠0 thỏa mãn điều kiện f '

[ ] [

x = 2x+3 .

] [ ]

f2 x và

[ ]

0 1

2

f =− . Biết tổng

[ ]

1

[ ]

2 ...

[

2017

]

[

2018

]

a

f f f f

b

+ + + + = với a∈,b∈ và * a

b là phân số tối giản. Mệnh
đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b < − . B. 1
a
b > .

//toanmath.com/

Câu 17: Cho hàm số y= f x

[ ]

, ∀ ≥ , thỏa mãn x 0

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 3

. 2 0

0 0; 0 1

f x f x f x xf x

f f

 ′′ −  ′  + =

  



′ = =

 . Tính

[ ]

1

f .

A. 2

3. B.

3

2. C.

6

7 . D.

7
6 .
Câu 18: Giả sử hàm số f x[ ] liên tục, dương trên  ; thỏa mãn f

[ ]

0 =1 và

[ ]

[ ]

2

1

f x x

f x x
′

=

+ . Khi đó
hiệu T = f

[ ]

2 2 −2f

[ ]

1 thuộc khoảng

A.

[ ]

2;3 . B.

[ ]

7;9 . C.

[ ]

0;1 . D.

[

9;12

]

.
Câu 19: Khi đó

[

]

[ ]

1
4

2

0 0

tan

d d

cos

f t

t f x x

t
π

=

∫

∫

. Vậy

[ ]

1

0

d 6
f x x=

∫

.Cho hàm số y= f x

[ ]

đồng biến trên

[

0;+∞

]

; y= f x

[ ]

liên tục, nhận giá trị dương trên

[

0;+∞

]

và thỏa mãn

[ ]

3 2
3
f = và

[ ]

2

[

] [ ]

' 1 .

f x = x+ f x

 

  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2613< f2

[ ]

8 0
, ∀ ∈  ; x

[ ]

2

[ ]

.

x

f′ x = −e f x , ∀ ∈  và x

[ ]

0 1
2

f = . Tính giá trị của f

[ ]

ln 2 .
A.

[ ]

ln 2 2

9

f = . B.

[ ]

ln 2 2

9

f = − . C.

[ ]

ln 2 2

3

f = . D.

[ ]

ln 2 1

3

f = .

Câu 67: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đồ thị

[ ]

C , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f x

[ ]

> ∀ ∈ 0 x , f′

[ ]

x =

[

x f x.

[ ]

]

2,∀ ∈  và x f

[ ]

0 =2. Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hồnh độ x= của đồ thị 1

[ ]

C là.

A. y=6x+30. B. y= − +6x 30. C. y=36x−30. D. y= −36x+42.
Câu 68: Cho hàm số y= f x

[ ]

>0 xác định, có đạo hàm trên đoạn

[ ]

0;1 và thỏa mãn:

[ ]

[ ]

0

1 2018 dt

x

g x = +

∫

f t ,

[ ]

2

[ ]

g x = f x . Tính

[ ]

1

0

d
g x x

∫

.

A. 1011

2 . B.

1009

2 . C.

2019

2 . D. 505 .

Câu 69: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

[

−1;1

]

, thỏa mãn f x

[ ]

> ∀ ∈ 0, x
và f '

[ ]

x +2f x

[ ]

=0. Biết f

[ ]

1 =1, tính f

[ ]

−1 .

A. f

[ ]

− =1 e−2. B. f

[ ]

− =1 e3. C. f

[ ]

− =1 e4. D. f

[ ]

− =1 3.
Câu 70: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 đồng thời thỏa mãn f ′

[ ]

0 =9 và

[ ]

[ ]

2

9f′′ x +f′ x −x =9. Tính T = f

[ ]

1 − f

[ ]

0 .

A. T = +2 9 ln 2. B. T = .9 C. 1 9 ln 2
2

T = + . D. T = −2 9 ln 2.
Câu 71: Cho hàm số y= f x

[ ]

thỏa mãn

[ ] [ ]

4 2

' .

f x f x =x +x

. Biết f

[ ]

0 =2. Tính

[ ]

2

2
f

.
A. 2

[ ]

2 313

15

f = . B. 2

[ ]

2 332

15

f = . C. 2

[ ]

2 324

15

f = . D. 2

[ ]

2 323

15

f = .

Câu 72: Cho f x[ ] xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên

[ ]

1; 4 thỏa mãn

[ ]

[ ]

2

[ ]

[ ]

3

2 , 1; 4 , 1

2

x+ xf x =f′ x  ∀ ∈x f = . Giá trị f

[ ]

4 bằng:
A. 391

18 B.

361

18 C.

381

18 D.

371

18

Câu 73: Cho hàm số y= f x

[ ]

có f′

[ ]

x liên tục trên nửa khoảng

[

0;+∞

]

thỏa mãn

[ ]

[ ]

2

//toanmath.com/

A. 3

[ ]

[ ]

2

1 1

e 1 0

2
e 3

f − f = −

+ . B.

[ ]

[ ]

3

2

1 1

e 1 0

4
2 e 3

f − f = −

+ .

C.

[ ]

[ ]

[

]

2 2

3 e 3 e 3 8

e 1 0

3

f − f = + + − . D. 3

[ ]

[ ]

[

2

]

2

e f 1 − f 0 = e +3 e + −3 8.
Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f x

[ ]

> −1, f

[ ]

0 =0 và thỏa

[ ]

2

[ ]

1 2 1

f′ x x + = x f x + . Tính

[ ]

3

f .

A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 .

Câu 75: Cho hàm số f x

[ ]

≠0 thỏa mãn điều kiện f′

[ ] [

x = 2x+3

] [ ]

f2 x và

[ ]

0 1
2

f = − . Biết rằng
tổng f

[ ]

1 f

[ ]

2 f

[ ]

3 ... f

[

2017

]

f

[

2018

]

a

b

+ + + + + = với

[

*

]

,

a∈ b∈ và a

b là phân số
tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b < − . B. 1

a

b > . C. a b+ =1010. D. b a− =3029.
Câu 76: Biết ln có hai số a và b để

[ ]

4
ax b
F x

x
+
=

+

[

4a b− ≠0

]

là nguyên hàm của hàm số f x

[ ]

và thỏa mãn: 2f2

[ ]

x =F x

[ ]

−1 f′

[ ]

x .

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a= , 1 b= .4 B. a= , 1 b= − .1 C. a= , 1 b∈ \ 4

{ }

. D. a∈  , b∈ .
Câu 77: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên

[ ]

1; 2 thỏa mãn f

[ ]

1 =4 và

[ ]

[ ]

3 2

2 3

f x =xf′ x − x − x

. Tính f

[ ]

2

A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 .

Câu 78: Cho

[ ]

2
cos

x
f x

x

= trên ;

2 2
π π
− 

 

  và F x

[ ]

là một nguyên hàm của xf′

[ ]

x thỏa mãn

[ ]

0 0

F = . Biết ;

2 2
a∈ − π π 

  thỏa mãn tana= . Tính 3

[ ]

2

10 3
F a − a + a.
A. 1ln10

2

− . B. 1ln10

4

− . C. 1ln10

2 . D. ln10 .

Câu 79: Cho hàm số y= f x

[ ]

xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

[ ]

0

f x > , ∀ ∈  , x

[ ]

2

[ ]

e .x

f′ x = − f x ∀ ∈  và x

[ ]

0 1
2

f = . Phương trình tiếp tuyến của
đồ thị tại điểm có hoành độ x0 =ln 2 là

A. 2x+9y−2 ln 2 3− =0. B. 2x−9y−2 ln 2 3+ =0.
C. 2x−9y+2 ln 2 3− =0. D. 2x+9y+2 ln 2 3− =0.

Câu 80: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 , f x

[ ]

và f′

[ ]

x đều nhận giá trị
dương trên đoạn

[ ]

0;1 và thỏa mãn f

[ ]

0 =2,

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 ′   +  = ′

 

∫

∫

. Tính

[ ]

1

3
0

d

f x x

 

 

∫

.

A. 15

4 . B.

15

2 . C.

17

2 . D.

//toanmath.com/

Câu 81: Cho f x[ ]không âm thỏa mãn điều kiện f x f x[ ]. '[ ]=2x f2[ ] 1x + và f[0]=0. Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x[ ]trên

[ ]

1;3 là

A. 22 B. 4 11+ 3 C. 20+ 2 D. 3 11+ 3

Câu 82: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f

[ ]

0 =1 và

[ ]

[

]

2

[ ]

,

x

f′ x =e f x ∀ ∈  . Tính tích phân x

[ ]

1

0

f x dx

∫

bằng

A. e− .2 B. e− .1 C. e2−2. D. e2−1.

Câu 83: Cho hàm sốy= f x

[ ]

xác định và liên tục trên \ 0

{ }

thỏa mãn

[ ] [

] [ ]

[ ]

2 2

2 1 1

x f x + x− f x =xf′ x −

với ∀ ∈ x \ 0

{ }

và f

[ ]

1 = −2. Tính

[ ]

2

1

f x dx

∫

.

A. 1 ln 2
2

− − . B. 3 ln 2

2

− − . C. 1 ln 2
2

− − . D. 3 ln 2

2 2
− − .
Câu 84: Cho hàm số y= f x

[ ]

. Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f

[ ]

1 =e và

[

] [ ]

[ ]

3

2

x+ f x =xf′ x −x , ∀ ∈  . Tính x f

[ ]

2 .
A. 2

4e −4e 4+ . B. 2

4e −2e 1+ . C. 3

2e −2e+2. D. 2

4e +4e 4− .
Câu 85: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 và thỏa mãn f

[ ]

0 =0. Biết

[ ]

1
2
0

9
d

2
f x x=

∫

và

[ ]

1

0

3
cos d

2 4

x

f′ x π x= π

∫

. Tích phân

[ ]

1

0

d
f x x

∫

bằng

A. 1

π . B.

4

π . C.

6

π . D.

2
π .
Câu 86: Cho hàm số y= f x

[ ]

liên tục trên đoạn

[ ]

0; 1 , thỏa mãn

[ ]

[ ]

1 1

0 0

d d 1

f x x= xf x x=

∫

∫

và

[ ]

1

2
0

d 4

f x x=

 

 

∫

. Giá trị của tích phân

[ ]

1

3
0

d

f x x

 

 

∫

bằng

A. 1. B. 8 . C. 10 . D. 80 .

Câu 87: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x

[ ]

>0 khi x∈

[ ]

1, 2 .
Biết 2

[ ]

1

' 10

f x dx=

∫

và

[ ]

[ ]

2

1
'

ln 2
f x

dx
f x =

∫

. Tính f

[ ]

2 .

A. f

[ ]

2 = −10. B. f

[ ]

2 =20. C. f

[ ]

2 =10. D. f

[ ]

2 = −20.
Câu 88: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

[ ]

4;8 và f

[ ]

0 ≠0 với ∀ ∈x

[ ]

4;8 . Biết

rằng

[ ]

[ ]

2
8

4
4

1
f x

dx
f x

′

 

  =

 

 

∫

và

[ ]

4 1,

[ ]

8 1

4 2

f = f = . Tính f

[ ]

6 .
A. 5

8. B.

2

3. C.

3

8. D.

1
3.

//toanmath.com/

Câu 90: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm cấp 2 liên tục trên  thoả

[ ]

[ ]

[ ]

2 2

0, ,

0 0 1,

, .

f x x

f f

xy y yy x

> ∀ ∈




′

= =



 + ′ = ′′ ∀ ∈





.
Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1 ln

[ ]

1 1

2< f < . B.

[ ]

1
0 ln 1

2
f

< < . C. 3 ln

[ ]

1 2

2< f < . D.

[ ]

3
1 ln 1

2
f

< < .

Câu 91: Cho ,f g là hai hàm liên tục trên

[ ]

1;3 thỏa mãn điều kiện

[ ]

[ ]

3

1

3 d 10

f x + g x x=

 

 

∫

đồng

thời 3

[ ] [ ]

1

2f x −g x dx=6

 

 

∫

. Tính

[ ]

[ ]

3

1

d
f x +g x x

 

 

∫

.

A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .

Câu 92: Cho hàm số y= f x

[ ]

liên tục trên

[ ]

a b; , nếu

[ ]

d 5

d

a

f x x=

∫

và

[ ]

d 2

d

b

f x x=

∫

[với a d b< .e B. 0< ≤ .m 1 C. 0< < .m e D. 1 m< < . e
Hươngd dẫn giải

Chọn C
Ta có

[ ]

[ ]

2 2

f x

x
f x

′

= −

[ ]

[ ]

d

[

2 2

]

d

f x

x x x

f x
′

⇒

∫

=

∫

− .

[ ]

2

ln f x 2x x C

⇔ = − +

[ ]

2 2

. x x
f x A e −

⇔ = . Mà f

[ ]

0 =1 suy ra f x

[ ]

=e2 x x− 2.

Ta có 2

[

2

]

2x−x = −1 x −2x+1 = −1

[

x−1

]

2 ≤1. Suy ra 0 −1, f

[ ]

0 =0 và thỏa

[ ]

2

[ ]

1 2 1

f′ x x + = x f x + . Tính

[ ]

3

f .

A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 .

Hươngd dẫn giải
Chọn B

Ta có

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

2

1 2 1

1 1

f x x

f x x x f x

f x x

′

′ + = + ⇔ =

+ +

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

3 3 3 3 3

2

2 0 0 0

0 0

2

d d 1 1 1 1

1 1

f x x

x x f x x f x

f x x

′

⇔ = ⇔ + = + ⇔ + =

+ +

∫

∫

[ ]

3 1

[ ]

0 1 1

[ ]

3 1 2

[ ]

3 3

f f f f

⇔ + − + = ⇔ + = ⇔ = .

Câu 75: Cho hàm số f x

[ ]

≠0 thỏa mãn điều kiện

[ ] [

] [ ]

2

2 3

f′ x = x+ f x và

[ ]

0 1
2

f = − . Biết rằng
tổng f

[ ]

1 f

[ ]

2 f

[ ]

3 ... f

[

2017

]

f

[

2018

]

a

b

+ + + + + = với

[

*

]

,

a∈ b∈ và a

b là phân
số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b < − . B. 1
a

b> . C. a b+ =1010. D. b a− =3029.
Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có f′

[ ] [

x = 2x+3

] [ ]

f2 x

[ ]

[ ]

2 2 3

f x
x
f x

′

⇔ = +

[ ]

[ ]

d

[

2 3 d

]

f x

x x x

f x
′

⇔

∫

=

∫

+

[ ]

2

1

3

x x C

f x

⇔ − = + + .

Vì

[ ]

0 1 2
2

f = − ⇒ =C .
Vậy

[ ]

[

1

][

1 2

]

12 11

f x

x x x x

= − = −

+ + + + .

Do đó

[ ]

1

[ ]

2

[ ]

3 ...

[

2017

]

[

2018

]

1 1 1009
2020 2 2020

f + f + f + + f + f = − = − .

Vậy a= −1009; b=2020. Do đó b a− =3029.
Câu 76: Biết ln có hai số a và b để

[ ]

4
ax b
F x

x
+
=

+

[

4a b− ≠0

]

là nguyên hàm của hàm số f x

[ ]

và thỏa mãn: 2f2

[ ]

x =F x

[ ]

−1 f′

[ ]

x .

Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A. a= , 1 b= .4 B. a= , 1 b= − .1 C. a= , 1 b∈ \ 4

{ }

. D. a∈  , b∈ .
Hươngd dẫn giải

//toanmath.com/

Ta có

[ ]

4
ax b
F x

x
+
=

+ là nguyên hàm của f x

[ ]

nên

[ ]

[ ]

[

]

2

4
4
a b

f x F x

x
−
′

= =

+ và

[ ]

[

]

3

2 8
4

b a

f x
x

−
′ =

+ .
Do đó: 2

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

2f x = F x −1 f′ x

[

]

[

]

[

]

2

4 3

2 4 2 8

1
4

4 4

a b ax b b a

x

x x

−  +  −

⇔ = − 

+

 

+ +

[

]

4a b ax b x 4

⇔ − = − + − − ⇔

[

x+4 1

][

−a

]

= ⇔ =0 a 1 [do x+ ≠ ] 4 0
Với a= mà 41 a b− ≠ nên 0 b≠ . 4

Vậy a= , 1 b∈ \ 4

{ }

.

Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:

+ Vì 4a b− ≠ nên loại được ngay phương án A: 0 a= , 1 b= và phương án D: a ∈ , b∈ . 4
+ Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy b= , 0 a= . Khi đó, ta có 1

[ ]

4
x
F x

x
=

+ ,

[ ]

[

]

2

4
4
f x

x
=

+ ,

[ ]

[

]

3

8
4
f x

x
′ = −

+ .
Thay vào 2

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

2f x = F x −1 f′ x thấy đúng nên
Chọn C

Câu 77: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên

[ ]

1; 2 thỏa mãn f

[ ]

1 =4 và

[ ]

[ ]

3 2

2 3

f x =xf′ x − x − x

. Tính f

[ ]

2

A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 .

Hươngd dẫn giải
Chọn B

Do x∈

[ ]

1; 2 nên f x

[ ]

xf

[ ]

x 2x3 3x2 xf

[ ]

x 2 f x

[ ]

2x 3 f x

[ ]

2x 3

x x

′

′ −  

′

= − − ⇔ = + ⇔  = +

 

[ ]

2

3
f x

x x C

x

⇔ = + + .

Do f

[ ]

1 =4 nên C= ⇒0

[ ]

3 2

3
f x =x + x .
Vậy f

[ ]

2 =20.

Câu 78: Cho

[ ]

2
cos

x
f x

x

= trên ;

2 2
π π
− 

 

  và F x

[ ]

là một nguyên hàm của xf′

[ ]

x thỏa mãn

[ ]

0 0

F = . Biết ;

2 2
a∈ − π π 

  thỏa mãn tana= . Tính 3

[ ]

2

10 3
F a − a + a.
A. 1ln10

2

− . B. 1ln10

4

− . C. 1ln10

2 . D. ln10 .

Hươngd dẫn giải
Chọn C

Ta có: F x

[ ]

=

∫

xf′

[ ]

x dx =

∫

x f xd

[ ]

=xf x

[ ]

−

∫

f x

[ ]

dx
Ta lại có:

[ ]

d 2 d

cos
x

f x x x

x

=

∫

∫

=

∫

xd tan

[

x

]

=xtanx−

∫

tan dx x tan sin d
cos

x

x x x

x

= −

∫

[

]

1

tan d cos

cos

x x x

x

= +

∫

=xtanx+ln cosx +C ⇒F x

[ ]

=xf x

[ ]

−xtanx−ln cosx +C
Lại có: F

[ ]

0 =0⇒ = , do đó: C 0 F x

[ ]

=xf x

[ ]

−xtanx−ln cosx .

[ ]

[ ]

tan ln cos

F a af a a a a

//toanmath.com/

Khi đó

[ ]

2
cos

a
f a

a

=

[

2

]

1 tan

a a

= + =10a và 2

2

1

1 tan

cos a = + a =10

2 1

cos

10
a

⇔ =

1
cos

10
a

⇔ = .

Vậy

[ ]

2

10 3

F a − a + a 10 2 3 ln 1 10 2 3

10

a a a a

= − − − + 1ln10

2

= .

Câu 79: Cho hàm số y= f x

[ ]

xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

[ ]

0

f x > , ∀ ∈  , x

[ ]

2

[ ]

e .x

f′ x = − f x ∀ ∈  và x

[ ]

0 1
2

f = . Phương trình tiếp tuyến của
đồ thị tại điểm có hồnh độ x0 =ln 2 là

A. 2x+9y−2 ln 2 3− =0. B. 2x−9y−2 ln 2 3+ =0.
C. 2x−9y+2 ln 2 3− =0. D. 2x+9y+2 ln 2 3− =0.

Hươngd dẫn giải
Chọn A

Ta có

[ ]

2

[ ]

e .x

f′ x = − f x

[ ]

[ ]

2 e

x

f x
f x

′

⇔ − =

[ ]

[ ]

ln 2 ln 2

2

0 0

d e dx
f x

x x

f x

 ′ 

⇒ −  =

 

∫

∫

[ ]

[ ]

ln 2

ln 2
0
0

1

ex
f x

 

⇒  =

 

[ ]

ln 21 1

[ ]

0 1

f f

⇒ − =

[ ]

ln 2 1

3

f

⇒ = .

Từ đó ta có

[ ]

ln 2 2

[ ]

ln 2 e ln 2

f′ = − f

2

1
2.

3
 
= −    2

9
= − .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 2

[

ln 2

]

1

9 3

y= − x− + ⇔2x+9y−2 ln 2 3− =0.

Câu 80: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 , f x

[ ]

và f′

[ ]

x đều nhận giá trị
dương trên đoạn

[ ]

0;1 và thỏa mãn f

[ ]

0 =2,

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 ′   +  = ′

 

∫

∫

. Tính

[ ]

1

3
0

d
f x x

 

 

∫

.

A. 15

4 . B.

15

2 . C.

17

2 . D.

19
2 .
Hươngd dẫn giải

Chọn D

Theo giả thiết, ta có

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d

f x f x x f x f x x

 ′   +  = ′

 

∫

∫

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

1 1

2

0 0

. 1 d 2 . d 0

f x f x x f x f x x

 ′  ′

⇔

∫

   +  −

∫

=

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

1

2
0

. 2 . 1 d 0

f x f x f x f x x

 ′ ′ 

⇔

∫

   − +  =

[ ] [ ]

2
1

0

. 1 d 0

f x f x x

 ′ 

⇔

∫

 −  =

[ ] [ ]

. 1 0
f′ x f x

⇒ − = 2

[ ] [ ]

. 1

f x f′ x

⇒ =

[ ]

3

3
f x

x C

⇒ = + . Mà

[ ]

0 2 8

3
f = ⇒ =C .
Vậy 3

[ ]

3 8
f x = x+ .

Vậy

[ ]

[

]

1

1 1 2

3

0 0 0

3 19

d 3 8 d 8

2 2

x

f x x= x+ x= + x =

   

 

 

//toanmath.com/

Câu 81: Cho f x[ ]không âm thỏa mãn điều kiện f x f x[ ]. '[ ]=2x f2[ ] 1x + và f[0]=0. Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x[ ]trên

[ ]

1;3 là

A. 22 B. 4 11+ 3 C. 20+ 2 D. 3 11+ 3

Hươngd dẫn giải
Chọn D

Biến đổi:

2

2 2

[ ]. '[ ] [ ]. '[ ]

[ ]. '[ ] 2 [ ] 1 2 2

[ ] 1 [ ] 1

f x f x f x f x

f x f x x f x x dx xdx

f x f x

= + ⇔ = ⇒ =

+

∫

+

∫

2 2

[ ] 1

f x x C

⇔ + = +

Với 2 2 2 4 2

[0] 0 1 [ ] 1 1 [ ] 2 [ ]

f = ⇒ = ⇒C f x + =x + ⇒ f x =x + x =g x

Ta có: 3

[ ]

'[ ] 4 4 0, 1;3

g x = x + x> ∀ ∈x . Suy ra g x[ ]đồng biến trên

[ ]

1;3

Suy ra: g[1]≤g x[ ]= f2[ ]x ≤g

[ ]

3 ⇒ ≤3 f2[ ]x ≤99→f x[ ] 0≥ 3≤ f x[ ]≤3 11

[ ]1;3

3

min [ ] 3
[ ] 3 11
f x

Max f x

 =


⇒ 

=


Chú ý: Nếu khơng tìm được ra ln 2
2

[ ]. '[ ]

[ ] 1
[ ] 1

f x f x

dx f x C

f x

= + +

+

∫

thì ta có thể sử dụng kĩ thuật

vi phân hoặc đổi biến [bản chất là một]

+] Vi phân:

[

]

[

] [

]

1

2 2 2 2

2 2

[ ]. '[ ] [ ] 1

[ ] [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1

2

[ ] 1 [ ] 1

f x f x f x

dx d f x f x d f x f x C

f x f x

−

= = + + = + +

+ +

∫

∫

∫

+ Đổi biến: Đặt 2 2 2

[ ] 1 [ ] 1 [ ] '[ ]

t= f x + ⇒ =t f x + ⇒tdt= f x f x dx

Suy ra: 2

2

[ ]. '[ ]

[ ] 1
[ ] 1

f x f x tdt

dx dt t C f x C

t
f x

= = = + = + +

+

∫

∫

∫

Câu 82: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn f

[ ]

0 =1 và

[ ]

[

]

2

[ ]

,

x

f′ x =e f x ∀ ∈  . Tính tích phân x

[ ]

1

0

f x dx

∫

bằng

A. e− .2 B. e− .1 C. e2−2. D. e2−1.
Hươngd dẫn giải

Chọn B

Biến đổi

[

f′

[ ]

x

]

2 =e f xx

[ ]

[

[ ]

]

[ ]

2

x

f x
e
f x

′

⇔ =

[ ]

[ ]

x

f x

e
f x

′

⇔ =

[ ]

[ ]

x

f x

dx e dx

f x
′

⇒

∫

=

∫

[ ]

[

]

12

[ ]

2

x

f x − df x e dx

⇔

∫

=

∫

2

[ ]

2 2

x

f x e C

⇔ = +

Vì f

[ ]

0 = ⇒ =1 C 0

[ ]

2

x

f x e

⇒ =

[ ]

x

f x e

⇔ =

Suy ra

[ ]

1

1 1

0 0 0

1

x

f x dx= edx=e = −e

∫

∫

Câu 83: Cho hàm sốy= f x

[ ]

xác định và liên tục trên \ 0

{ }

thỏa mãn

[ ] [

] [ ]

[ ]

2 2

2 1 1

x f x + x− f x =xf′ x − với ∀ ∈ x \ 0

{ }

và f

[ ]

1 = −2. Tính

[ ]

2

1

f x dx

//toanmath.com/

A. 1 ln 2

2

− − . B. 3 ln 2

2

− − . C. 1 ln 2

2

− − . D. 3 ln 2

2 2
− − .
Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có x f2 2

[ ] [

x + 2x−1

] [ ]

f x =xf′

[ ]

x −1⇔

[

xf x

[ ]

+1

]

2 = f x

[ ]

+xf′

[ ][ ]

x *
Đặt h x

[ ]

= f x

[ ]

+xf′

[ ]

x ⇒h x′

[ ]

= f x

[ ]

+xf′

[ ]

x , khi đó

[ ]

* có dạng

[ ]

[ ]

2

h x =h x′

[ ]

[ ]

2 1

h x
h x

′

⇒ =

[ ]

[ ]

2 1

h x

dx dx

h x
′

⇒

∫

=

∫

[ ]

[ ]

2
dh x

x C

h x

⇒

∫

= +

[ ]

1 x C

h x

⇔ − = +

[ ]

1

h x

x C

⇒ = −

+

[ ]

1
1

xf x

x C

⇒ + = −

+

Vì f

[ ]

1 = −2 nên 2 1 1

1 C
− + = −

+ ⇒ = C 0
Khi đó xf x

[ ]

1 1

x

+ = − f x

[ ]

12 1

x x

⇒ = − −

Suy ra:

[ ]

2 2

2

1 1

1 1

f x dx dx

x x

 

= − − 

 

∫

∫

2

1

1
ln x
x

 

= − 

 

1
ln 2
2
= − −

Câu 84: Cho hàm số y= f x

[ ]

. Có đạo hàm liên tục trên  . Biết f

[ ]

1 =e và

[

] [ ]

[ ]

3

2

x+ f x =xf′ x −x , ∀ ∈  . Tính x f

[ ]

2 .

A. 4e2−4e 4+ . B. 4e2−2e 1+ . C. 2e3−2e+2. D. 4e2+4e 4− .
Hươngd dẫn giải

Chọn D

Ta có:

[

] [ ]

[ ]

3

2

x+ f x =xf′ x −x xf

[ ] [

x x3 2

] [ ]

f x 1

x

′ − +

⇔ = e 2

[ ]

e

x

x

f x
x
−

−
′

 

⇔  =

 

Suy ra

[ ]

2 2

2

1 1

e

d e d

x

x

f x

x x

x
−

−
′

 

=

 

 

∫

∫

[ ]

[ ]

2 1

2 1

2 2

e 2 e 1

e e

2 1

f f

− −

− −

 

⇔ − = − − 

[ ]

[ ]

2 1

1 2

e 2 e 1

e e

4 1

f f

− −

− −

⇔ − = −

[ ]

2 4 e

[ ]

1 e 1

f f

⇔ =  + −  2

4e 4e 4
= + − .

Câu 85: Cho hàm số y= f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 và thỏa mãn f

[ ]

0 =0. Biết

[ ]

1
2
0

9
d

2
f x x=

∫

và

[ ]

1

0

3
cos d

2 4

x

f′ x π x= π

∫

. Tích phân

[ ]

1

0

d
f x x

∫

bằng

A. 1

π . B.

4

π . C.

6

π . D.

2
π .

Hươngd dẫn giải

Chọn C

Ta có

[ ]

[

[ ]

]

1 1

0 0

cos d cos d

2 2

x x

f′ x π x= π f x

∫

∫

[ ]

1 1

[ ]

0
0

cos . sin . d

2 2 2

x x

f x f x x

π π π

= +

∫

[ ]

1

0

sin . d

2 2

x

f x x

π π

//toanmath.com/

Suy ra

[ ]

1

0

3
sin . d

2 2

x

f x x
π

=

∫

Mặt khác

[

]

2

1 1

0 0

1 1

sin d 1- cos d

2 2 2

x

x x x

π π

  = =

 

 

∫

∫

.

Do đó

[ ]

[ ]

2

1 1 1

2

0 0 0

d 2 3sin d 3sin d 0

2 2

x x

f x x− π f x x+  π  x=

 

∫

∫

∫

.

hay

[ ]

2
1

0

3sin d 0
2

x

f x π x

 −  =

 

 

∫

suy ra

[ ]

3sin

2
x

f x = π .

Vậy

[ ]

1

1 1

0

0 0

6 6

d 3sin d cos

2 2

x x

f x x π x π

π π

= = − =

∫

∫

.

Câu 86: Cho hàm số y= f x

[ ]

liên tục trên đoạn

[ ]

0; 1 , thỏa mãn

[ ]

[ ]

1 1

0 0

d d 1

f x x= xf x x=

∫

∫

và

[ ]

1

2
0

d 4

f x x=

 

 

∫

. Giá trị của tích phân

[ ]

1

3

0

d

f x x

 

 

∫

bằng

A. 1. B. 8 . C.10 . D. 80 .

Hươngd dẫn giải
Chọn C

Xét

[ ] [

]

1

2
0

d
f x + ax b+ x

 

 

∫

1

[ ]

2 1

[ ] [

]

1

[

]

2

0 0 0

d 2 . d d

f x x f x ax b x ax b x

=

∫

  +

∫

 +  +

∫

+

[ ]

[ ]

[

]

1

1 1

3

0 0 0

1

4 2 d 2 d

3

a xf x x b f x x ax b

a

= +

∫

+

∫

+ +

[

]

2 2

4 2

3
a

a b ab b

= + + + + + .

Cần xác định ,a b để

[

]

2

2

2 2 4 0

3
a

b a b b

+ + + + + =

Ta có: 2 4

[

2

]

4 4 2 4

3

b b b b

∆ = + + − + +

[

]

2
2

0
3

b
− −

= ≤ ⇒ = ⇒ = − . b 2 a 6
Khi đó: 1

[ ] [

]

2

0

6 2 d 0

f x + − +x x=

 

 

∫

⇒ f x

[ ]

=6x−2

Suy ra

[ ]

[

]

1 1

3 3

0 0

d 6 2 d

f x x= x− x

 

 

∫

∫

[

]

1
4

0
1

6 2 10

24 x

= − = .

Câu 87: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x

[ ]

>0 khi x∈

[ ]

1, 2 .
Biết 2

[ ]

1

' 10

f x dx=

∫

và

[ ]

[ ]

2

1

'

ln 2
f x

dx

f x =

∫

. Tính f

[ ]

2 .

A. f

[ ]

2 = −10. B. f

[ ]

2 =20. C. f

[ ]

2 =10. D. f

[ ]

2 = −20.
Hươngd dẫn giải:

Ta có:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2
1
1

' 2 1 10

f x dx= f x = f − f =

∫

[gt]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

2
1
1

' 2

ln ln 2 ln 1 ln ln 2

1

f x f

dx f x f f

f x =   =  −  = f =

//toanmath.com/

Vậy ta có hệ:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2 1 10

2 20
2

2 1 10

1

f f

f
f

f
f

 − =

=


 ⇔

 = 

=


 


Chọn B

Câu 88: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

[ ]

4;8 và f

[ ]

0 ≠0 với ∀ ∈x

[ ]

4;8 . Biết
rằng

[ ]

[ ]

2

8

4
4

1
f x

dx
f x

′

 

  =

 

 

∫

và

[ ]

4 1,

[ ]

8 1

4 2

f = f = . Tính f

[ ]

6 .
A. 5

8. B.

2

3. C.

3

8. D.

1
3.
Hươngd dẫn giải

Chọn D
+] Xét

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

8 8

2 2

4 4

8

1 1 1

2 4 2

4 8 4

f x df x

dx

f x f x f x f f

 

′

= = − = − − = − − =

 

∫

∫

.

+] Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để

[ ]

[ ]

2
8

2
4

0
f x

k dx
f x

 ′ 

+ =

 

 

 

∫

.

Ta có:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

2
2

8 8 8 8

2

2 2

4

2 2

4 4 4 4

2 1 4 4 2 1

f x

f x f x

k dx dx k dx k dx k k k

f x f x f x

′

 

 ′    ′

+ = + + = + + = +

 

   

   

∫

∫

∫

∫

.

Suy ra: 1
2

k = − thì

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

2

8 6 6

2 2 2

4 4 4

1 1 1

0

2 2 2

f x f x f x

dx dx dx

f x f x f x

 ′  ′ ′

− = ⇔ = ⇔ =

 

 

 

∫

∫

∫

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

6
2
4

6

1 1 1 1 1

1 1 1 4 1 6

4 4 6 6 3

df x

f

f x f x f f f

⇔

∫

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = .

Chú ý:

[ ]

0

b

a

f x dx=

∫

không được phép suy ra f x

[ ]

=0, nhưng 2

[ ]

0

[ ]

0

b
k
a

f x dx= ⇔ f x =

∫

.

Câu 89: Cho hàm số f x

[ ]

có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 đồng thời thỏa mãn các
điều kiện f ′

[ ]

0 = −1 và f′

[ ]

x 2 = f′′

[ ]

x . Đặt T = f

[ ]

1 − f

[ ]

0 , hãy chọn khẳng định
đúng?

A. − ≤ < − .2 T 1 B. − ≤ < .1 T 0 C. 0≤ < .T 1 D. 1≤ < . T 2
Hươngd dẫn giải

Chọn A

Ta có: T = f

[ ]

1 − f

[ ]

0

[ ]

1

0

d
f′ x x
=

∫

Lại có:

[ ]

2

[ ]

f′ x = f′′ x

 

  1

[ ]

[ ]

2

f x
f x

′′
⇔ − = −

′

 

 

[ ]

1

1

f x
′

 

⇔ − =  ′ 

 

[ ]

1
x c

f x
⇔ − + =

′

[ ]

1
f x

x c
′

⇔ =

− + .

Mà f ′

[ ]

0 = −1 nên c= − . 1

Vậy

[ ]

1

0

d
T =

∫

f′ x x

1

0

1
d
1 x
x
=

− −

∫

1

0

ln x 1