Chú ý công thức ||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|.
II. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ Tìm môđun của số phức $w= M+mi$.
Bài giải:
Ta có $|z-3-4i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow [x-3]^2+[y-4]^2=5 ; [C]$
Tính toán ta được $P=|z+2|^2-|z-i|^2= 4x+2y+3.$ Xét đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$
Đường thẳng d và đường tròn [C] có điểm chung khi và chỉ khi
$d[I; d]\leq R \Leftrightarrow |23-P|\leq 10 \Leftrightarrow 13\leq P\leq 33.$
Vậy $M=33$; $m=13.$ Khi đó $w=33+13i$ nên $|w|=\sqrt{1248}.$
Bài tập 2: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z^2-2z+5|=|[z-1+2i][z+3i-1]|$. Tính $\min |w|$ với số phức $w=z-2+2i.$
Bài giải:
Ta có $z^2-2z+5=[z-1]^2+4=[z-1]^2-[2i]^2 =[z-1+2i][z-1-2i].$
Khi đó, giả thiết $ \Leftrightarrow |[z-1+2i][z-1-2i]|=|[z-1+2i][z+3i-1]|$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z=1-2i \\|z-1-2i|=|z+3i-1|\end{array}\right.$
TH1: Với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy $|w|=1$.
TH2: Với $|z-1-2i|=|z+3i-1|$ [*], đặt z=x+yi, ta có
$[*]\Leftrightarrow |x-1+[y-2]i|=|x-1+[y+3]i|$
$\Leftrightarrow [x-1]^2+[y-2]^2=[x-1]^2+[y+3]^2 \Leftrightarrow y=\frac{-1}{2}$
Do đó $w=z-2+2i=x-\frac{1}{2}i-2+2i=x-2+\frac{3}{2}i \Rightarrow |w|=\sqrt{[x+2]^2+\frac{9}{4}}\geq \frac{3}{2}.$
Vậy $\min |w|=\frac{3}{2}.$
Bài tập 3: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$T=|z+1|+2|z-1|$.
Bài giải:
Gọi $z=x+yi \Rightarrow M[x; y].$
Và $A[-1; 0], B[1;0]$. Ta có $|z|=1 \Rightarrow |x+yi|=1 \Leftrightarrow x^2+y^2=1.$
$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính AB.
$\Rightarrow MA^2+MB^2=AB^2=4.$ Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có
$T=MA + 2MB \leq \sqrt{[1^2+2^2][MA^2+MB^2]}=\sqrt{5.4}=2\sqrt{5}$.
Vậy $Max T= 2\sqrt{5}.$
Bài tập 4: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=\sqrt{5}.$ Tìm Max $|z|$; $\min |z|$.
Bài giải:
Vì $|z-2-4i|=\sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm $M[z]$ là đường tròn $[C]$ có tâm $I[2;4]$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$
Vậy $Max |z|=OM=OI+R=\sqrt{2^2+4^2}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$
$\min |z|=ON=OI-R=sqrt{2^2+4^2}-\sqrt{5}=\sqrt{5}.$
Bài tập 5: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-5i|\leq 3.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Bài giải:
Tập hợp các điểm $M[z]$ là hình tròn $[C]$ tâm $I[0;5]$ và bán kính R=3.
Vậy số phức z có môđun nhỏ nhất là $z=2i.$
18/06/2021 3,928
Đáp án chính xác
Đáp án D.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho z1,z2,z3 là các số phức thỏa mãn z1+z2+z3=0 và z1=z2=z3=1 Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Xem đáp án » 18/06/2021 5,090
Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+1+z2-z+1. Giá trị của M.m bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 4,719
Cho số phức z thỏa mãn z=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=1+z+21-z bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 2,341
Xét các số phức z=a+bi, [a,b∈R] thỏa mãn 4[z-z¯]-15i=i[z+z¯-1]2. Tính F=-a+4b khi z-12+3i đạt giá trị nhỏ nhất
Xem đáp án » 18/06/2021 2,154
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P=z+iz, với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z≥2. Tính tỷ số Mm
Xem đáp án » 18/06/2021 1,914
Cho các số phức w, z thỏa mãn w+i=355 và 5w=[2+i][z-4]. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=z-1-2i+z-5-2i bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 1,767
Cho z1,z2,z3 là các số phức thỏa mãn z1=z2=z3=1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án » 18/06/2021 1,738
Cho số phức z thỏa mãn z-1+2i=3. Tìm môđun lớn nhất của số phức z-2i
Xem đáp án » 18/06/2021 1,711
Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=z5+z¯3+6z-2z4+1. Tính M-m.
Xem đáp án » 18/06/2021 1,123
Cho các số phức z,z1, z2 thỏa mãn |z1-4-5i|=|z2-1| và z¯+4i=z-8+4i. Tính M=|z1-z2| khi P=|z-z1|+|z-z2| đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem đáp án » 18/06/2021 1,120
Cho hai số phức z,z' thỏa mãn |z+5|=5 và |z'+1-3i|=|z'-3-6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z-z'|.
Xem đáp án » 18/06/2021 1,009
Cho số phức z thỏa mãn |[z+2]i+1|+|[z¯-2]i-1|=10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính tổng S=M+m.
Xem đáp án » 18/06/2021 870
Cho số phức z thỏa mãn z-1-i=1, số phức w thỏa mãn w¯-2-3i=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của z-w.
Xem đáp án » 18/06/2021 851
Tìm số phức z thỏa mãn |z-1-i|=5 và biểu thức T=|z-7-9i|+2|z-8i| đạt giá trị nhỏ nhất
Xem đáp án » 18/06/2021 709
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z-3-4i=5 và biểu thức M=|z+2|2-|z-i|2 đạt giá tri lớn nhất. Tính môđun của số phức z+i
Xem đáp án » 18/06/2021 694