Cho các điểm phân biệt \[A,B,C\]. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
Cho hình bình hành \[ABCD\],với giao điểm hai đường chéo là \[I\]. Khi đó:
Cho 6 điểm $A,B,C,D,E,F$. Đẳng thức nào sau đây đúng.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lý 2 đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Áp dụng định lý 2 đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
Lời giải chi tiết:
a] Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
Xét hình thang ABCD ta có:
M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của hình thang ABCD.
\[ \Rightarrow MN//AB//CD\] [tính chất] [1]
Xét \[\Delta ADB\] ta có:
M, Q lần lượt là trung điểm của AD và BD
\[ \Rightarrow MQ\] là đường trung bình của \[\Delta ADB\] [định nghĩa].
\[ \Rightarrow MQ//AB\] [tính chất] [2]
Xét \[\Delta ABC\] ta có:
N, P lần lượt là trung điểm của BC và AC
\[ \Rightarrow NP\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\] [định nghĩa]
\[ \Rightarrow NP//AB\] [tính chất] [3]
Từ [1], [2] và [3] ta có: \[MN//MQ//NP//AB\]
\[ \Rightarrow M,\,\,N,\,\,P,\,\,\,Q\] thẳng hàng. [đpcm]
b] Giả sửa \[AB < CD.\] Chứng minh \[PQ = \frac{{DC - AB}}{2}.\]
Ta có: \[MQ\] là đường trung bình của \[\Delta ADB\]
\[ \Rightarrow MQ = \frac{1}{2}AB.\]
\[NP\] là đường trung bình của \[\Delta ABC\]
\[ \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB.\]
\[ \Rightarrow MQ + NP = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AB = AB.\]
\[MN\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD\]
\[ \Rightarrow MN = \frac{{AB + CD}}{2}.\]
Lại có: \[PQ = MN - \left[ {MQ + PN} \right]\]
\[ \Rightarrow PQ = \frac{{AB + CD}}{2} - AB = \frac{{CD - AB}}{2}\,\,\,\left[ {dpcm} \right]\]
Page 2
| Quảng cáo |
Với Cách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Phương pháp giải.
Sử dụng:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính chiều cao của hình thang cân ABCD [AB//CD], biết rằng cạnh bên AD = 5cm, các cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.
Giải
Kẻ
Áp dụng nhận xét về hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABKH, ta được: AH = BK, HK = AB = 6cm.
Xét hai tam giác vuông ADH và BCK có:
AH = BK [cmt]
AD = BC [ABCD là hình thang cân]
Do đó: ΔADH= ΔBCK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Áp dụng định lí Py –ta–go vào tam giác ADH vuông tại H, thu được:
Vậy chiều cao hình thang cân là 3 cm.
Ví dụ 2. Một hình thang cân có đáy lớn dài 2,7 m. Cạnh bên dài 1 m, góc tạo bởi cạnh bên và đáy lớn bằng 600 . Tính độ dài đáy nhỏ.
Giải
Giả sử ta có hình thang cân ABCD có đáy lớn DC = 2,7m, cạnh bên BC = 1m và
Kẻ BE//AD ta được hình thang ABED có hai cạnh bên BE, AD song song nên
AB = DE.
Áp dụng nhận xét hình thang có hai cạnh bên song song vào hình thang ABED, tính chất về cạnh, giả thiết vào hình thang cân ABCD ta được:
Suy ra ΔBCE là tam giác đều có cạnh EC = 1m.
Vậy đáy nhỏ AB = DE = DC – EC = 2,7 – 1 = 1,7 m.
Ví dụ 3. Cho hình thang cân MNPQ [MN//PQ] có góc
Giải
Kẻ
Tứ giác MNKH có MN//HK nên MNKH là hình thang, lại có MH//NK
⇒ MN = HK; MH = NK [vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau]
Xét 2 tam giác vuông MQH và NPK có:
MQ = NP [vì MNPQ là hình thang cân]
MH = NK [cmt]
Do đó: ΔMQH =ΔNPK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Mà HK = MN = 12cm nên
Mà
Vậy
Ví dụ 4. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm, đường cao AH = 6cm và
A. 12cm.
B. 16cm.
C. 18cm.
D. 20cm.
Giải
Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì
Mà
Suy ra CD = 2DH + AB = 2.6 + 4 = 16[cm].
Vậy CD = 16cm.
Đáp án: B.
Ví dụ 5. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm, đáy lớn CD = 10cm, cạnh bên BC = 5cm thì đường cao AH bằng?
Giải
Kẻ
Hình thang ABKH có hai cạnh bên AH//BK [cùng vuông góc với CD] nên AH = BK;
AB = HK [vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau].
Xét 2 tam giác vuông AHD và BKC có
AH = BK [cmt]
AD = BC [ABCD là hình thang cân]
Do đó: ΔAHD=ΔBKC [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra
Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 5cm
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có:
Vậy AH = 4cm.
Ví dụ 6. Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC và DB là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 4cm.
Giải
Gọi I là giao điểm của AD và BC thu được tam giác IDC.
Ta có AB//CD nên:
Mà
Mà IA + AD = ID; IB + BC = IC, suy ra ID = IC.
Theo giả thiết DB vừa là tia phân giác của góc D vừa là đường cao nên tam giác IDC cân tại D mà ID = IC suy ra nó là tam giác đều cạnh DC = CI = 2BC = 8cm.
Ta có
Vậy chu vi hình thang cân là AB + BC + CD + AD = 4 + 4 + 8 + 4 = 20 cm.