A. Các kiến thức thường sử dụng là:+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2a bab+≥; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.+ Bất đẳng thức: [ ][ ] [ ]22 2 2 2ac bd a b c d+ ≤ + +[BĐT: Bunhiacopxki];Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a bc d=.+ a b a b+ ≥ +; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Nếu [ ]2[ ]y a f x= + thì min y = a khi f[x] = 0.Nếu [ ]2[ ]y a f x= − thì max y = a khi f[x] = 0.+ Phương pháp “tìm miền giá trị” [cách 2 ví dụ 1 dạng 2].C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI• Dạng 1 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨCBài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:a]24 4 11A x x= + +b] B = [x-1][x+2][x+3][x+6]c]2 22 4 7C x x y y= − + − +Giải:a] [ ]22 24 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥⇒ Min A = 10 khi 12x = −.b] B = [x-1][x+2][x+3][x+6] = [x-1][x+6][x+2][x+3]= [x2 + 5x – 6][x2 + 5x + 6] = [x2 + 5x]2 – 36 ≥ -36⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.c] 2 22 4 7C x x y y= − + − + = [x2 – 2x + 1] + [y2 – 4y + 4] + 2 = [x – 1]2 + [y – 2]2 + 2 ≥ 2⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2.1Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:a] A = 5 – 8x – x2b] B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4yGiải:a] A = 5 – 8x – x2 = -[x2 + 8x + 16] + 21 = -[x + 4]2 + 21 ≤ 21⇒ Max A = 21 khi x = -4. b] B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y= -[x2 – 2x + 1] – [4y2 + 4y + 1] + 7= -[x – 1]2 – [2y + 1]2 + 7 ≤ 7⇒ Max B = 7 khi x = 1, 12y = −.Bài toán 3: Tìm GTNN của:a]1 2 3 4M x x x x= − + − + − + −b][ ]22 1 3 2 1 2N x x= − − − + Giải:a] 1 2 3 4M x x x x= − + − + − + − Ta có: 1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 1][4 – x] ≥ 0 hay 1 4x≤ ≤2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 2][3 – x] ≥ 0 hay 2 3x≤ ≤Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3x≤ ≤.b] [ ]222 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − +Đặt 2 1t x= − thì t ≥ 0Do đó N = t2 – 3t + 2 = 2321[ ]4t − − 14N⇒ ≥ −.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 302 2t t− = ⇔ =Do đó 14N = − khi 3 52 13 32 42 13 12 22 12 4x xt xx x − = = = ⇒ − = ⇒ ⇒ − = − = − 2Vậy min 1 54 4N x= − ⇔ = hay 14x = −.Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.Giải:M = x3 + y3 = [x + y][x2 – xy + y2] = x2 - xy + y2 22 2 2 22 21[ ]2 2 2 2 22 2x y x y x yxy x y = + + − + = + + − ÷ 2 21[ ]2M x y⇒ ≥ +Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2[x2 + y2] – [x – y]2 = 1=> 2[x2 + y2] ≥ 1Do đó 2 212x y+ ≥ và 2 21 12 2x y x y+ = ⇔ = =Ta có: 2 21[ ]2M x y≥ + và 2 21 1 1 1[ ] .2 2 2 4x y M+ ≥ ⇒ ≥ = Do đó 14M ≥ và dấu “=” xảy ra 12x y⇔ = =Vậy GTNN của 1 14 2M x y= ⇔ = =Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: [x2 – y2 + 1]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.Giải: [x2 – y2 + 1]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔[[x2 + 1] – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2[x2 + 1] + 4x2y2 – x2 – y2 = 0⇔x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0⇔x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2⇔[x2+y2]2-3[x2+y2]+1=-4x2Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 03223 9 52. . 02 4 43 5 3 52 4 2 25 3 52 2 23 5 3 52 2t tt ttt⇔ − + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ÷ ⇔ − ≤ − ≤− +⇔ ≤ ≤Vì t = x2 + y2 nên :GTLN của x2 + y2 = 3 52+GTNN của x2 + y2 = 3 52−Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca.Giải:Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca= [a – ab] + [b - bc] + [c – ca]= a[1 – b] + b[1 – c] + c[1 – a] 0 [vì 0 , , 1a b c≤ ≤]Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0Vậy GTNN của P = 0Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;⇒ [1-a][1-b][1-c] = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac 1 1abc≤ − ≤Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý [ ]0;1∈Vậy GTLN của P = 1.Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN và GTNN của x + y.Giải:Ta có: [x + y]2 + [x – y]2 ≥ [x + y]2 ⇔2[x2 + y2] ≥ [x + y]2Mà x2 + y2 = 1 ⇒ [x + y]2 ≤ 2 42 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤- Xét 2x y+ ≤Dấu “=” xảy ra 222x yx yx y=⇔ ⇔ = =+ =- Xét 2x y+ ≥ −Dấu “=” xảy ra 222x yx yx y=−⇔ ⇔ = =+ = −Vậy x + y đạt GTNN là 2− 22x y−⇔ = =.Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.Giải:Ta có: [x – y]2 + [x – z]2 + [y – z]2 ≥ 0 ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0 ⇒ [x + y + z]2 = x2 + y2 + z2 +2[xy + yz + zx] ≤ 3[x2 + y2 + z2] ≤ 81⇒ x + y + z ≤ 9 [1]Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 27 [2]Từ [1] và [2] => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36.Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 2 2[ 1] 1 12 2 2 2A B A B BP A− + + +⇒ = + = − ≥ −Vì B ≤ 27 ⇒ 12B +−≥ -14 ⇒ P ≥ -14Vậy min P = -14 khi 2 2 2127x y zx y z+ + = −+ + =Hay 13; 13; 1x y z= − = = −.Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10. Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = [x4 + 1][y4 + 1] đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.Giải:Ta có: P = [x4 + 1][y4 + 1] = [x4 + y4] + [xy]4 + 1Đặt t = xy thì:5x2 + y2 = [x + y]2 – 2xy = 10 – 2tx4 + y4 = [x2 + y2]2 – 2x2y2 = [10 – 2t]2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101= [t4 – 8t2 + 16] + 10[t2 – 4t + 4] + 45 = [t2 – 4]2 + 10[t – 2]2 + 4545P⇒ ≥và dấu “=” xảy ra ⇔x + y = 10 và xy = 2.Vậy GTNN của P = 45 ⇔x + y = 10 và xy = 2.Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.Giải:Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + [2 – x]2= x2 + 4 – 4x + x2= 2x2 – 4x + 4= 2[ x2 – 2x] + 4= 2[x – 1]2 + 2 ≥ 2Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.• Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨCBài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: 24 31xyx+=+.Giải:* Cách 1: 22 24 3 ax 4 31 1x x ay ax x+ − + + −= = ++ +Ta cần tìm a để 2ax 4 3x a− + + −là bình phương của nhị thức.Ta phải có: 1' 4 [3 ] 04aa aa= −∆ = + − = ⇔=- Với a = -1 ta có: 2 22 24 3 x 4 4 [ 2]1 11 1 1x x xyx x x+ + + += = − + = − ++ + +61.y⇒ ≥ − Dấu “=” xảy ra khi x = -2.Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.- Với a = 4 ta có: 2 22 24 3 -4x 4 1 [2 1]4 4 41 1 1x x xyx x x+ + − −= = + = − ≤+ + +Dấu “=” xảy ra khi x = 12.Vậy GTLN của y = 4 khi x = 12.* Cách 2: Vì x2 + 1 ≠0 nên: 224 3yx 4 3 01xy x yx+= ⇔ − + − =+ [1]y là một giá trị của hàm số ⇔[1] có nghiệm- Nếu y = 0 thì [1] 34x⇔ = −- Nếu y ≠0 thì [1] có nghiệm ⇔' 4 [ 3] 0y y∆ = − − ≥ [ 1][ 4] 0y y⇔ + − ≤1 04 0yy+ ≥⇔− ≤ hoặc 1 04 0yy+ ≤− ≥1 4y⇔ − ≤ ≤Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.Vậy GTLN của y = 4 khi x = 12.Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: 2211x xAx x− +=+ +.Giải:Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:2211x xax x− +=+ + [1]Do x2 + x + 1 = x2 + 2.12.x + 21 3 1 304 4 2 4x + = + + ≠ ÷ Nên [1] ⇔ax2 + ax + a = x2 – x + 1 ⇔[a – 1]x2 + [a + 1]x + [a – 1] = 0 [2]• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì [2] có nghiệm x = 0.• Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để [2] có nghiệm, điều kiện cần và đủ là 0∆ ≥, tức là:72[ 1] 4[ 1][ 1] 0 [ 1 2 2][ 1 2 2] 01[3 1][ 3] 0 3[ 1]3a a a a a a aa a a a+ − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠Với 13a = hoặc a = 3 thì nghiệm của [2] là [ 1] 12[ 1] 2[1 ]a axa a− + += =− −Với 13a = thì x = 1Với a = 3 thì x = -1Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:GTNN của 13A = khi và chỉ khi x = 1GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1Bài toán 3: a] Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 24[ 1][ ]A a b a ba b= + + + ++.b] Cho m, n là các số nguyên thỏa 1 1 12 3m n+ =. Tìm GTLN của B = mn.Giải:a] Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b22 2 2 22 2 2a b a b ab+ ≥ = = [vì ab = 1]2 24 4 4[ 1][ ] 2[ 1] 2 [ ] [ ]A a b a b a b a b a ba b a b a b⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + ++ + +Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và 4a b+.Ta có: [a + b] +4 42 [ ]. 4a ba b a b≥ + =+ +Mặt khác: 2 2a b ab+ ≥ =Suy ra: 42 [ ] [ ] 2 4 2 8A a b a ba b≥ + + + + + ≥ + + =+Với a = b = 1 thì A = 8Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.b] Vì 1 1 12 3m n+ = nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương.8Ta có: 1 1 13[2 ] 2 [2 3][ 3] 92 3m n mn m nm n+ = ⇔ + = ⇔ − − =Vì m, n ∈ N* nên n – 3 ≥ -2 và 2m – 3 ≥ -1.Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:+ 2 3 1 23 9 12m mn n− = = ⇔ − = = và B = mn = 2.12 = 24+ 2 3 1 33 3 6m mn n− = = ⇔ − = = và B = mn = 3.6 = 18+ 2 3 9 63 1 4m mn n− = = ⇔ − = = và B = mn = 6.4 = 24Vậy GTLN của B = 24 khi 212mn== hay 64mn==Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2x yAx y+=−.Giải:Ta có thể viết: 2 2 2 2 22 2 [ ] 2x y x xy y xy x y xyAx y x y x y+ − + + − += = =− − −Do x > y và xy = 1 nên: 2[ ] 2 2 22 2x y xy x y x yA x yx y x y x y− + − −= = − + = + +− − −Vì x > y ⇒ x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 22. .2 2x y x yAx y− −≥ +−Dấu “=” xảy ra 22[ ] 4 [ ] 22x yx y x yx y−⇔ = ⇔ − = ⇔ − =−[Do x – y > 0]Từ đó: 22 32A ≥ + =Vậy GTNN của A là 3 21x yxy− =⇔=1 21 2xy= +⇔= − + hay 1 21 2xy= −= − − Thỏa điều kiện xy = 1Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: 211yx x=+ +.Giải:Ta có thể viết: 221 111 32 4yx xx= =+ + + + ÷ 9Vì 21 3 32 4 4x + + ≥ ÷ . Do đó ta có: 43y ≤. Dấu “=” xảy ra 12x⇔ = −.Vậy: GTLN của 43y = tại 12x−=Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 1[ ]4f t tt= +.Giải:Ta có thể viết: 2 2 21 4 1 [2 1] 4 [2 1][ ] 14 4 4 4t t t tf t tt t t t+ − + −= + = = = +Vì t > 0 nên ta có: [ ] 1f t ≥Dấu “=” xảy ra 12 1 02t t⇔ − = ⇔ =Vậy f[t] đạt GTNN là 1 tại 12t =.Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: 221[ ]1tg tt−=+.Giải:Ta có thể viết: 22 21 2[ ] 11 1tg tt t−= = −+ +g[t] đạt GTNN khi biểu thức 221t + đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNNTa có: t2 + 1 ≥ 1 ⇒ min [t2 + 1] = 1 tại t = 0 ⇔min g[t] = 1 – 2 = -1Vậy GTNN của g[x] là -1 tại t = 0.Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 31 1 1[ ] [ ] [ ]Ex y z y z x z x y= + ++ + +.Giải:Đặt 1 1 1 1; ; 1a b c abcx y z xyz= = = ⇒ = =Do đó: 1 1[ ]. [ ]a b x y a b xy x y c a bx y+ = + ⇒ + = + ⇒ + = +Tương tự: y + z = a[b + c]z + x = b[c + a]103 3 32 2 23 3 31 1 1 1 1 1. . .[ ] [ ] [ ]1 1 1. . .[ ] [ ] [ ]Ex y z y z x z x ya b ca b ca b c b c a c a b b c c a a b⇒ = + ++ + += + + = + ++ + + + + +Ta có: 32a b cb c c a a b+ + ≥+ + + [1]Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z2; ;2 2 2x y za b cy z x z x y x y za b c+ +⇒ + + =+ − + − + −⇒ = = =Khi đó, 2 2 2a b c y z x z x y x y zVTb c c a a b x y z+ − + − + −= + + = + ++ + +1 1 1 3 3 31 1 12 2 2 2 2 2y x z x z yx y x z y z = + + + + + − ≥ + + − = ÷ ÷ ÷ Nhân hai vế [1] với a + b + c > 0. Ta có:[ ] [ ] [ ] 3[ ]2a a b c b a b c c a b ca b cb c c a a b+ + + + + ++ + ≥ + ++ + +2 2 233 3 32 2 2 2a b c a b c abcEb c c a a b+ +⇒ + + ≥ ≥ = ⇒ ≥+ + +⇒ GTNN của E là 32 khi a = b = c = 1.Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 [*].Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 2 32 2x yax y+=+ +.Giải:Từ 2 32 2x yax y+=+ +⇒a[2x+y+z] = 2x+3y⇔2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0⇔2[a – 1]x + [a – 3]y = -2a [1]Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số [2x; y] và [a – 1; a – 3]Ta có: 4a2 = [2x[a-1]+y[a-3]]2 ≤ [4x2+y2].[[a-1]2+[a-3]2] =>2 2 24 [ 1] [ 3]a a a= − + − [vì 4x2+y2 = 1]Do đó ta có: 2 2 2 2 24 [ 1] [ 3] 2 1 6 9a a a a a a a≤ − + − = − + + − +2 22 8 10 0 4 5 0a a a a⇒ + − ≤ ⇔ + − ≤115 0[ 1][ 5] 01 0aa aa+ ≥⇔ − + ≤ ⇔− ≤ [Vì a + 5 > a – 1] 1 5a⇔ ≤ ≤* Thay a = 1 vào [1] ta được: -2y = -2 ⇒ y = 1 Thay y = 1 vào [*] ta có: x = 0 ⇒ [x; y] = [0;1]* Thay a = -5 vào [1] ta được: 2[-5 – 1]x + [-5 – 3]y = -2[-5]6 512 8 10 6 4 54xx y x y y− −⇒ − − = ⇔ + = − ⇒ =Thay vào [*] ta được: 226 54 14xx− − + = ÷ 23 4100 60 9 010 5x x x y⇔ + + = ⇒ = − ⇒ = − 3 4[ ; ] ;10 5x y− − ⇒ = ÷ Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.GTNN của a là -5 khi 3 4;10 5x y= − = −.Bài toán 10:Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:M = 221 1x yx y + + + ÷ ÷ Giải:Ta có: M = 221 1x yx y + + + ÷ ÷ = 2 22 21 12 2x yx y+ + + + + = 4 + x2 + y2 +[ ]2 22 22 2 2 214 1x yx yx y x y += + + + ÷ Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:[ ]20 2x y x y xy− ≥ + ≥Mà x + y = 1 nên 12 21 12 2 16xyx yxy≥ ≥ ≥ [1]Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12x y= =Ngoài ra ta cũng có:2 2 2 2 2 2 2[ ] 0 2 2[ ] 2x y x y xy x y xy x y− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + +2 2 2 2 22[ ] [ ] 2[ ] 1x y x y x y⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ [vì x + y = 1]122 212x y⇔ + ≥ [2]Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12x y= =Từ [1] và [2] cho ta:2 22 21 1 254 [ ][1 ] 4 [1 16]2 2M x yx y= + + + ≥ + + =Do đó: 252M ≥Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở [1] và [2] cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi 12x y= =Vậy GTNN của 252M = khi và chỉ khi 12x y= =.* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: 2 4y x x= − + −.Giải:* Cách 1:Điều kiện: 2 02 4[*]4 0xxx− ≥⇔ ≤ ≤− ≥Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: [ac + bd]2 ≤ [a2 + b2][c2 + d2]Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a bc d=.Chọn 2; 1; 4 ; 1a x c b x d= − = = − = với 2 4x≤ ≤Ta có: [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]2 2 22 2 2222 4 2 4 . 1 12 4 .24 2y x x x xy x xy y = − + − ≤ − + − + ⇔ ≤ − + − ⇔ ≤ ⇔ ≤Vì y > 0 nên ta có: 0 2y< ≤Dấu “=” xảy ra 2 4 2 4 3x x x x x⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = [Thỏa mãn [*]]Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.* Cách 2:Ta có: 2 4y x x= − + −13Điều kiện: 2 02 44 0xxx− ≥⇔ ≤ ≤− ≥Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN.Ta có: 2 22 4 2 [ 2][4 ] 2 2 [ 2][4 ]y x x x x y x x= − + − + − − ⇔ = + − −Do 2 02 44 0xxx− ≥≤ ≤ ⇒− ≥ nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: 2 [ 2][4 ] [ 2] [4 ] 2x x x x− − ≤ − + − =Do đó 22 2 4y ≤ + =Dấu “=” xảy ra 2 4 3x x x⇔ − = − ⇔ = [thỏa mãn điều kiện].Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 3 1 4 5 [1 5]y x x x= − + − ≤ ≤.Giải:a] GTLN:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:[3; 4] và [[ 1; 5 ]x x− − ta có:[ ] [ ]2 22 2 2 2[3. 1 4. 5 ] [3 4 ]. 1 5 100y x x x x = − + − ≤ + − + − = 2100y ≤=> y 10≤Dấu “=” xảy ra x = 6125 [thỏa mãn điều kiện]Vậy GTLN của y là10 khi x = 6125* b] Gía trị nhỏ nhất:Ta có: y = 3 1 4 5 3 1 3 5 5x x x x x− + − = − + − + −= [ ]3 1 5 5x x x− + − + −Đặt: A = 1 5x x− + − thì t2 = 4 + 2 [ ] [ ]1 5x x− − ≥ 4=> A2≥ và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5Vậy y ≥3 . 2 + 0 = 614Dấu “=” xảy ra khi x = 5Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5Tìm GTNN của biểu thức: M = [ ]221994 [ 1995]x x− + +Giải:M = [ ]221994 [ 1995]x x− + += 1994 1995x x− + +Áp dụng bất đẳng thức: a b a b+ ≥ + ta có:M = 1994 1995 1994 1995x x x x− + + = − + +=> M 1994 1995 1x x≥ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 1994] . [1995 – x] ≥ 0 1994 1995x≤ ≤Vậy GTNN của M = 1 1994 1995x≤ ≤Bài toán 4: Tìm GTNN của B = 3a + 4 21 a− với -11a≤ ≤Giải:B = 3a + 4[ ]223 161 5 5 15 25a a a− = × × + × × −Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta[ ][ ]222231613 165255 5 1 5 55 25 2 2aaa a ×+ − ÷ × × + × − ≤ × + ×=> B 2 29 25 41 255 52 25a a + + −≤ × = ÷× => Do đó B5≤ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.23516125aa== − a = 35Vậy GTNN của B = 5 a = 35Bài toán 5:15Tìm GTNN của biểu thức:A = 232 2 7x x+ − +Giải:Điều kiện: [ ]2 22 7 0 2 1 8 0x x x x− + ≥ − − + + ≥ -[x-1]2 + 80≥ [ ]21 8x − ≤2 2 1 2 2x − ≤ − ≤1 2 2 2 2 1x − ≤ ≤ +Với điều kiện này ta viết:[ ]22 22 7 1 8 8 2 7 8 2 2x x x x x− + = − − + ≤ => − + ≤ ==> 2 + [ ]22 7 2 2 2 2 2 1x x− + ≤ + = +Do đó:[ ]21 1 2 122 2 12 2 7x x−≥ =++ − +Vậy A 2 132−≥ × và dấu “=” xảy ra x -1 = 0 x = 1 [thỏa mãn điều kiện]Vậy GTNN của A = [ ]32 1 12x− =Bài toán 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 25 31xx−−Giải:Điều kiện: 1 – x2 > 0 x2 < 1 - 1 < x < 1=> A > 0 => GTNN của A A2 đạt GTNN.Ta có: A2 = [ ][][ ]2 2222 225 3 3 525 30 916 161 11x xx xx xx− −− += = + ≥− −−Vậy GTNN của A = 4 khi 35x =Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y 1≤ 16Tìm GTNN của biểu thức: A = 21x x× −Giải:Điều kiện: 1 – x2 0 1 1x≥ − ≤ ≤Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0≥ và 1 – x2 0≥Ta có: x2 + 1 – x2 [ ]2 2 22 1 1 2 1x x x x≥ − => ≥ × × − 1122A A≥ × => ≤Vậy GTLN của A =12 khi x = 22× hay x = 22−Bài toán 8:Tìm GTLN của biểu thức: y = 1996 1998x x− + −Giải:Biểu thức có nghĩa khi 1996 1998x≤ ≤Vì y 0≥với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 1998x≤ ≤Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:2[ ] [ ]1996 1998 [ 1996] [1998 ] 2x x x x− − ≤ − + − =Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x x = 1997Do đó y2 4 2y≤ => ≤Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997Bài toán 9:Cho 0 1x≤ ≤. Tìm GTLN của biểu thức y = x + [ ]2 1 x−Giải:Ta có: [ ]2 1y x x= + −= x + 2 [ ]112x× −Vì 01x≤ ≤ nên 1 – x 0≥Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: 12 và [1 – x] cho ta:17[ ] [ ]1 1 32 1 12 2 2y x x x x= + × − ≤ + + − =Dấu “=” xảy ra 1 112 2x x= − => =Vậy GTLN của y là 32 tại x = 12Bài toán 10:Cho M = 3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − −Tìm TGNN của MGiải:M = 3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − − = 1 4 1 4 1 8 1 16a a a a− − − + + − − − + = [ ] [ ]2 21 2 1 4a a− − + − −Điều kiện để M xác định là a – 1 0 1a≥ ≥Ta có: 1 2 1 4M a a= − − + − −Đặt x = 1a − điều kiện x 0≥Do đó: M = 2 4x x− + −Ta xét ba trường hợp sau:1] Khi x 2≤ thì [ ]2 2 2x x x− = − − = − Và [ ]4 4 4x x x− = − − = − => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x 6 2.2 2≥ − = Vậy x < 2 thì M 2≥2] Khi x4≥ thì 2 2x x− = − và x-4 =x-4 => M = 2 4 2 6 2 4 6 2x x x− + − = − ≥ × − = Vậy x > 4 thì M 2≥3] Khi 2 < x < 4 thì 2 2x x− = − và 4 4x x− = − => M = x – 2 + 4 – x = 2 [không phụ thuộc vào x] Trong trường hợp này thì: 21 4a≤ − < 41 16a≤ − ≤ 517a≤ ≤Cả ba trường hợp cho ta kết luận:GTNN của M = 2 tương ứng với: 5 17a≤ ≤18D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Bài 1:Tìm GTNN của biểu thức: A = [2x – 3]2 – 7 với x 1≤ −hoặc x 3≥.Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1- Kết luận: Min A = 2 x = 3 Chú ý: Mặc dù A = [2x – 3]2 – 7 7≥ −. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = 32 nhưng giá trị không thỏa mãn x 1≤ − , không thỏa mãn x 3≥. Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7.Bài 2:Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình:x2 – [2m – 1] x + [m – 2] = 0Tìm các giá trị của m để 2 21 2x x+ có giá trị nhỏ nhấtGợi ý: ∆ = 4[m - 1 ]2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có:2 2 2 2 21 2 1 2 1 2[ ] 2 [2 1] 2[ 2] 4 6 5x x x x x x m m m m+ = + − = − − − = − + = 23 11 1122 4 4m − + ≥ ÷ => Min [[ ]2 21 2114x x+ = với m = 34Bài toán 3:Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2Gợi ý:Rút x theo y và thế vào E19Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4Gợi ý:Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 A + [x – y]2 = 8 Max A = 8 khi x = yMặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy 3A = 8 + [x + y]2 8≥ => A 83≥ => min A = 83 khi x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.Giải:Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki[x +2y]2 2 2[ 4 ]x y≤ +[12 + 12] = 502 50 50 50x y M+ ≤ − ≤ ≤ Vậy Max M = 50 khi x = 5 5;2 2 2y =Min M = -52 khi x = -52 ; y = - 52 2Bài tóan 6:Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:A = 4 2 2 4x yx y x y++ +Gợi ý: Từ [x2 – y]2 4 2 20 2x y x y≥ => + ≥ => 4 2 212 2x xx y x y≤ =+20Tương tự: 4 212yy x≤+ => A 1≤ => Max A = 1 khi 2211x yy x x yxy== = ==Bài tóan 7:Tìm GTNN của biểu thức: A = [ ] [ ]2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +Gợi ý: B = 1 1 1 1x x+ + + − + =>Min B = 2 khi - 10x≤ ≤Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:B = [x – a ]2 + [x – b]2 + [x – c]2 với a, b, c cho trước.Gợi ý: Biểu diễn B = [ ][ ]222 2 23.3 3a b ca b cx a b c+ ++ + − + + + − ÷ => GTNN của B = [a2 + b2 + c2] - [ ]23a b c+ +Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức:P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45Gợi ý: Biểu diễn P = [x – 6 – y]2 + 5[y – 1]2 + 4Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – [x – y – 1]2 – 3 [y – 2]221=> GTLN của E = 10 y = 2 ; x = 3Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = 2 4 5x y z+ + ×Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 khi ===⇔==5513552526542zyxzyxBài toán 12:Tìm GTNN của biểu thức sau:a] A = 212xx++ b] B = 283 2x−+c] C = 2211xx−+Gợi ý: a] Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:A = [x + 2] + 54 2 5 42x− ≥ −+ b] B = 2843 2x−≥ −+ [vì 21 1]3 2 2x≤+ c] C = 2221 11xx− + ≥ − =>+ Min C = - 1 khi x = 0 Bài toán 13: Tìm GTNN của biểu thức A = 222 2000;[ 0]x xxx− +≠22Với x 0≥Với mọi x Với mọi xGợi ý: A = 2 2 2 22 22000 2 2000 2000 [ 2000] 19992000 2000x x x xx x− × + − +== 22[ 2000] 1999 19992000 2000 2000xx−+ ≥Vậy Min A = 19992000 Khi x = 2000Bài toán 14:Tìm GTNN của biểu thức:P = 4 3 224 16 56 80 3562 5x x x xx x+ + + ++ +Gợi ý:Biểu diễn P = 422256[ 2 5] 642 5x xx x× + + + ≥+ + [áp dụng BĐT Côsi]=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3Bài toán 15: Tìm GTNN của A = 24 4x xx+ + với x > 0 B = 21xx − với x > 1 C = 2221x xx x+ ++ + D = 1[1 ] 1xx + + ÷ với x > 0 E = 51xx x+− với 0 < x < 1 F = 22 1xx+− với x > 1Gợi ý: A = x+4 44 2 4 8xx x+ ≥ × + = [vì x > 0]=> Min A = 8 khi x = 2 B = 21 1 12 [ 1] 2 2 41 1xxx x− += + − + ≥ + =− − [vì x > 1]=> Min B = 4 x = 2 C = 2 22 2[ 1] 1 2 121 1x x x xx x x x+ + + × + +≥ =+ + + +23 D = [1 + x] 1 11 2 .2. 4xxx + ≥ = ÷ [vì x > 0] E = [ ] [ ]5 1 5 15 5 55 2 5 2 5 51 1 1x xx x x x xx x x x x x− −− ++ = + + ≥ × + = +− − − F = 1 1 2 1 2 1 1 2 122 1 2 1 2 2 1 2x x xx x x− + − −+ = + + ≥ × +− − − = 1 322 2+ = => Min F = 32 khi x = 3.Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = 22 28 6x xyx y++ Gợi ý: P = 9 - 22 2[ 3 ]1 1y xx y+− ≥ −+ P = 9 - 22 2[ 3 ]9x yx y−≤+ Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN của biểu thức S = 1 1x y+ Gợi ý: S = yx11+ = 10[10 ]x yxy x x+=− S có GTNN x[10-x] có GTLN x = 5. => GTNN của S = 25 khi x = y = 5.Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: E = 2 21 1x x x x+ + + − +Gợi ý: Ta có E > 0 với mọi x Xét E2 = 2 [x2 + 1 + 4 21] 4x x+ + ≥ => Min E = 2 khi x = 024Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a3≥ ; a + b 5≥ Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2Gợi ý: a+ b 5 2 2 10 3 2 13a b a b≥ => + ≥ => + ≥ [vì a3]≥ => 132 [ ][ ]22 23 2 13a b a b≤ + ≤ + => Min S = 13Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0Tìm m để cho 1 2x x− đạt GTNN.Gợi ý:' 2[2 1] 1 0m∆ = − + > => phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Theo định lý vi-ét ta có: 1 221 22. 3 4 2x x mx x m m+ == − + − Do đó [ ]21 24 2 4 4 2x x m− = − + ≥ = mR∈ GTNN của 1 2x x− là 2 khi m = 12Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = 1 2 1998x x x− + − + + −Gợi ý: y = [ ] [ ]1 1 1998 2 1997x x x x− + − + − + −+ …+ [ ]998 999x x− + −Ta có: 1 1998x x− + − nhỏ nhất bằng 1997 khi x [ ]1;1998∈ 2 1997x x− + − nhỏ nhất bằng 1995 khi x [ ]2;1997∈ 998 1999x x− + − nhỏ nhất bằng 1 khi x [ ]999;1000∈Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là [1997 – 1] : 2 + 1 = 999Vậy Min y = 9992 khi 999 1000x≤ ≤25