Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Chữ số tận cùng là các chữ số khác 0.
- Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
- Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cựng bằng 5.
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5.
- Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.
- Tích của 4 thừa số 3 [3 x 3 x 3 x 3] có tận cùng là 1.
- Tích của 4 thừa số 2 [2 x 2 x 2 x 2] có tận cùng là 6.
- Tích của 4 thừa số 9 [ 9 x 9 x 9 x 9] có tận cùng là 1.
- Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.
- Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.
- Tích của chẵn các thừa số 4 [ 4 x 4 = 16] có tận cùng là 6
- Tích của lẻ các thừa số 4 [ 4 x 4 x 4 = 64] có tận cùng là 4.
2. Chữ số tận cùng là các chữ số 0
- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.
- Khi nhân một số [khác số tròn chục, tròn trăm..] với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số só tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;..... khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
- Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết chia 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.
- Tích của hai số có chữ số không tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 [không thể tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8]
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
[2011 + 2012 +….+ 2019] – [21 + 32 + 43 + … + 98 + 109]
Giải:
Ta thấy 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:
1 + 2 + 3 + …+ 9 => 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 cũng có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:
1 + 2 + 3 + …+ 9 => 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5
Vậy [2011 + 2012 +….+ 2019] – [21 + 32 + 43 + … + 98 + 109] có chữ số tận cùng la 0.
Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:
13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79
Giải:
Tìm chữ số tận cùng của 13 x 45 x 137 x 359 x 657
Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 7 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5
=> 13 x 45 x 137 x 359 x 657 có chữ số tận cùng là 5
Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 5
Vậy 13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 0
Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 [ 100 thừa số 3]
Giải:
Ta có: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.
Vì 100 : 3 = 33 dư 1
Vậy 100 thừa số 3 ta nhóm được 33 nhóm [mỗi nhóm 4 thừa số 3] và dư ra 1 thừa số 3
A = [ 3 x 3 x 3 x 3 ] x ….x [ 3 x 3 x 3 x 3] x 3
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1
Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.
Ví dụ 3: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?
B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164
Giải:
Tích trên có số thừa số: [164 - 4] : 10 + 1 = 17 [ thừa số]
Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 6.
Vì 17 : 2 = 8 dư 1
Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm [ mỗi nhóm 2 thừa số ] và dư ra 1 thừa số.
B = [ 4 x 14] x [24 x 34] x …. x [144 x 154] x 164
Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tân cùng là 4
Vậy B có chữ số tận cùng là 4.
Ví dụ 4: Cho X = A - B, biết:
A = 3 x 13 x 23 x.......x 2003 x 2013
B = 2 x 12 x 22 x ........x 2002 x 2012
Hỏi X có chia hết cho 5 không?
Giải:
A có số các thừa số là: [2013 – 3] : 10 + 1 = 202 [thừa số]
B có số các thừa số là: [2012 – 2] : 10 + 1 = 202 [thừa số]
Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy A là tích của 50 nhóm [mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3] và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3
=> A có tận cùng là 9.
Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.
Vì 202 : 4 = 50 dư 2
Vậy B là tích của 50 nhóm [mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2] và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.
=> B tận cùng là 4.
Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.
Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng
Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng
Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ 6: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x ... x 89.
Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Giải:
- Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.
- Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80 . Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.
- Tích có các thừa số: 25; 50; 75 khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.
- Vậy M có số chữ số 0 tận cùng là: 7 + 7 + 6 = 20 [chữ số]
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của: A = 9 x 19 x 29 x ... x 2019
Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của: A = 2 x 2 x 2 x ... x 2 [101 số 2]
Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của: A = 1 x 6 + 6 x 11 + 11 x 16 + 16 x 21 + ... + 2011 x 2016
Bài 4. Tìm chữ số tận cùng của: A = 1×3+3×5+5×7+...+101×103
Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
A = 1 x 6 + 6 x 9 + 11 x 16 + 16 x 19 + 21 x 26 + 26 x 29 + ... + 2011 x 2016 + 2016 x 2019
Bài 5. Xét tích: S=1×2×3×4×5×6×...×47×48×49
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
Bài 6. Xét tích: S=1×2×3×4×5×6×...×17×18×19
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
Bài 7. Xét tích: A=2×6×12×20×30×...×2450
Tích trên có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng đứng liền nhau ?
16. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số? 17. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà: a] Các chữ số đều chẵn? b] Chữ số hàng chục là chữ số lẻ? 18. Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số: a] Các chữ số đều khác nhau? b] Có ít nhất hai chữ số như nhau? 19. Cho 4 chữ số 3, 7, 0, 2. Dùng các chữ số trên lập được bao nhiêu số tự nhiên: a] Có bốn chữ số, gồm cả 4 chữ số ấy? b] Có ba chữ số, các chữ số khác nhau? c] Có hai chữ số, các chữ số khác nhau? d] Có hai chữ số, các chữ số có thể lập lại? 20. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà ba chữ số đầu khác nhau, hai chữ số cuối giống nhau?
tích của tất cảsốtựnhiên lẻcó3 chữsốcóchữsốtận cùng làsốnào?
Nhớ giải thích rõ
có bao nhiêu sốcó3 chữsốmàtích bằng 16