Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] thuộc khoảng \[\left[ { – 2020;\,\,2020} \right]\] để hàm số \[y = \log \left[ {{{\log }_{2020}}\left[ {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right]} \right]\] xác định với mọi \[x\] thuộc \[\left[ {1;\, + \infty } \right]\]?
A. \[2019\].
B. \[4040\].
C. \[4038\].
D. \[4037\].
Lời giải
Điều kiện:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{\log _{2020}}\left[ {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2022 > 0\].
adsense
Yêu cầu bài toán tương đương \[{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} > 2m + 2022,\,\forall x \in \left[ {1;\,\, + \infty } \right]\] \[\left[ * \right]\]
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x},\,\forall x \in \left[ {1;\,\, + \infty } \right]\].
Ta có \[f’\left[ x \right] = 2x + 3{m^2} + {2020^x}\ln 2020 > 0,\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right]\]
Vậy hàm số \[y = f\left[ x \right]\] đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
\[\left[ * \right]\]\[ \Leftrightarrow \]\[2m + 2022 < f\left[ 1 \right] \Leftrightarrow 2m + 2022 < 1 + 3{m^2} + 2020\]
\[ \Leftrightarrow 3{m^2} – 2m – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{{ – 1}}{3}\end{array} \right.\]
Chọn A.
TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x2-6x+3m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1;2
thì y'≤0, ∀x∈1;2và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Hàm số y=x-12 đồng biến trên 1;+∞ nên cũng đồng biến trên 1;2
Lại có m∈-10;10 và m∈Z nên m∈-10;-9;..;0
Vậy có 11 giá trị của m
Chọn B
Ta có: f'x≤0,∀x∈0;1⇔12x3+121−2m2x2+12m−2m2x+12m≤0,∀x∈0;1
⇔x2x+1−2m2x.x+1+mx+1≤0,∀x∈0;1⇔x+1x2−2m2x+m≤0,∀x∈0;1Vì x∈0;1⇒x+1>0 nên yêu cầu bài toán ⇔x2−2m2x+m⏟gx≤0,∀x∈0;1. [*]
Xét Δgx'=m4−m
TH1: Δgx'0⇒gx>0,∀x∈ℝ [không thỏa mãn].
TH2: Δgx'=0⇔m=1m=0 [không thỏa mãn].
TH3: Δgx'>0⇔m4−m>0⇔m>1m