Công thức tích vô hướng của hai vectơ

Vậy công thức tích vô hướng của 2 vectơ, biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian viết thế nào? ứng dụng của tích vô hướng là gì? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu ở bài viết này.

I. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Định lý: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ 

 và  ta có:

i] 

ii] 

iii] 

 với k là số thực.

• Hệ quả: 

i] Cho hai vectơ 

 và 

 Ta có: 

ii] Vectơ 

 có tọa độ là [0; 0 ; 0].

iii] Với 

 thì hai vectơ  và  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho:

 

iv] Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A[xA; yA; zA] và B[xB; yB; zB] thì:

 

 

II. Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng của tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Định lý: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ 

 và  được xác định bởi công thức:

  

2. Ứng dụng tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ có có ứng dụng quan trọng, giúp ta có công thức tính độ dài của một vectơ, công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, công thức tính góc giữa 2 vectơ, cụ thể:

i] Tính độ dài của một vectơ

- Cho vectơ 

. Ta biết rằng  hay 

Do đó: 

ii] Tính hhoảng cách giữa hai điểm

- Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A[xA; yA; zA] và B[xB; yB; zB]. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài vectơ 

. Do đó, ta có:

 

iii] Góc giữa hai vectơ

- Nếu φ là góc giữa hai vectơ 

 và  với  và  khác  thì:

 

 do đó:

 

 

Từ đó, suy ra: 

Hy vọng với bài viết Công thức tích vô hướng của 2 vectơ, biểu thức tọa độ và ứng dụng của tích vô hướng trong không gian ở trên của hayhochoi giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Vậy công công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng viết như thế nào? Biểu thức tọa độ của tích vô hướng ra sao? ứng dụng của tích vô hướng là gì? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu ở bài viết này.

I. Tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng

1. Định nghĩa tích vô hướng

- Cho hai vectơ 

 và  đều khác vectơ . Tích vô hướng của  và  là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức sau:

 

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ  

 và  bằng vectơ , ta quy ước:

 

. = 0.

* Chú ý:

i] Với 

 và  đều khác vectơ  ta có:  . = 0 ⇔  ⊥ 

ii] Khi 

 =  tích vô hướng của . được ký hiệu là  và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .

Ta có: 

2. Các tính chất của tích vô hướng

- Với ba vectơ

,  và  bất kỳ và mọi số k ta có:

i]  

.=. [tính chất giao hoán]

ii]

.[ + ] = . + . [tính chất phân phối]

 [k

]. = k[.] = .[k]

iii]

 

* Nhận xét: Từ tính chất của tích vô hướng của 2 vectơ, ta suy ra:

 

 

 

 

II. Công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng và ứng dụng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Trên mặt phẳng tọa độ [O; 

; ], cho hai vectơ ,   khi đó tích vô hướng của  là:

  

2. Ứng dụng của tích vô hướng trong mặt phẳng

- Ứng dụng của tích vô hướng cho ta công thức tính độ dài của vectơ, công thức tính góc giữa 2 vectơ và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, cụ thể.

i] Công thức tính độ dài của vectơ

- Độ dài của vectơ

 được tính theo công thức:

 

ii] Công thức tính góc giữa hai vectơ

- Nếu

 và  đều khác  thì ta có:

 

iii] Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

- Khoảng cách giữa 2 điểm A[xA; yA] và B[xB; yB] được tính theo công thức:

 

Hy vọng với bài viết Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng và ứng dụng ở trên của hayhochoi giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.