Công thức tọa độ hóa tính thể tích

Tọa độ hóa hình học không gian

Phương pháp tọa độ hóa hình không gian là tài liệu hữu ích, hướng dẫn sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian cổ điển.

Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm: Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

I. Các công thức tọa độ hóa hình không gian

1. Vectơ trong không gian

Trong không gian cho các vect

và số k tùy

- Tích có hướng:

- Hai vectơ vuông góc nhau

- Gọi

là góc hợp bởi hai vectơ

- Tọa độ các điểm đặc biệt:

- Tọa độ trung điểm I của A B:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác A B C:

- Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc của hai vectơ xác định bởi

- Một số tính chất của tích có hướng

và cùng phương

A, B, C thẳng hàng

Ba vectơ

đồng phẳng

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Các ứng dụng của tích có hướng

Diện tích tam giác:

*Thể tích khối hộp:

*Thể tích tứ diện:

2. Phương trình mặt phẳng

- Phương trình tổng quát

- Phương trình mặt phẳng

qua và có vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:  qua A[a, 0,0] ; B[0, b, 0] ; C[0,0, c]

với

- Nếu là vectơ pháp tuyến của thì

cũng là vectơ pháp tuyến của . Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể [hoặc b hoặc c] và tính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a: b: c.

3. Góc

Góc giũa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

, mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , khi đó góc giữa và được tính bằng
Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng và có các vectơ chỉ phương là và , khi đó góc giữa và  tính bằng

.............

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Trong bài này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn các bạn Cách tính diện tích tam giác, thể tích khối đa diện bằng phương pháp tọa độ chi tiết và dễ hiểu nhất. Trước khi vào bài này hãy tham khảo bài viết lý thuyết hệ tọa độ trong không gian để hiếu một số khái niệm cơ bản nhé! Cùng theo dõi ngay nào!

Để tính diện tích tam giác, thông thường ta sẽ tính bằng công thức 1 phần 2 tích của chiều cao và cạnh đấy. Nhưng trong hệ tọa độ Oxyz, ta có cách để tính diện tích tam giác nhanh hơn đấy. Công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp tọa độ cực nhanh như sau:

Công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp tọa độ

S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}| \vec {AB} \wedge \vec {AC}|

Trong đó:
A,B,C lần lượt là 3 điểm của tam giác ABC.
|\vec {AB} \wedge \vec {AC}|: Độ dài vecto là tích có hướng của 2 vecto AB và AC

Xem ví dụ dưới đây:

Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm A[1,2,3], B[1,4,3], C[1,0,2].

Tìm 2 vecto AB,AC Ta có:

\vec {AB}=[0,2,0]

\vec {AC}=[0,-2,-1]]
Tính diện tích \Delta ABC bằng công thức nhanh:
\Delta ABC = \frac{1}{2}| \vec {AB} \wedge \vec {AC}|=\frac{\sqrt 2}{2}

Thử ngay những bài tập tính diện tích tam giác bằng phương pháp tọa độ dưới đây để ghi nhớ lâu hơn công thức trên nhé!

Bài 1: Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm A[1,-2,-3], B[1,0,0], C[1,3,-2].

Bài 2: Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm A[3,-1,4], B[1,2,0], C[1,-3,5].

Bài 3: Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm A[2,-2,3], B[-1,0,6], C[-4,3,2].

Để tính diện tích khối tứ diện, thông thường ta sẽ tích bằng công thức 1 phần 3 tích của chiều cao và diện tích đáy. Trong hệ tọa độ Oxyz, ta có cách để tính thể tích khối tứ diện nhanh hơn rất nhiều. Công thức tính thể tích khối tứ diện bằng pháp tọa độ cực nhanh như sau:

Công thức tính thể tích khối tứ diện bằng phương pháp tọa độ

V_{ABCD}=\frac{1}{6} |[\vec {AB} \wedge \vec {AC}].\vec {AD}|

Trong đó:
A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện ABCD
[\vec {AB} \wedge \vec {AC} là vecto tích có hướng của \vec {AB}, \vec {AC}
|[\vec {AB} \wedge \vec {AC}].\vec {AD}| là trị tuyệt đối tích vô hướng của vec to \vec {AD} và vecto tích có hướng của \vec {AB}, \vec {AC}

Xem ví dụ dưới đây:

Tính thể tích khối tứ diện ABCD với tọa độ 4 đỉnh lần lượt là A[1,0,0],B[0,1,0],C[0,0,1],D[-2,1,0].

Tìm tọa độ 3 vecto \vec {AB}, \vec {AC}, \vec {AD}
\vec {AB}=[-1,1,0]
\vec {AC}=[-1.0.1]]
\vec {AD}=[-3,1,0] Tìm vecto tích có hướng:

[\vec {AB} \wedge \vec {AC}]=[1;1;1]

Tính thể tích khối tứ diện:

V_{ABCD}=\frac{1}{6} |[\vec {AB} \wedge \vec {AC}].\vec {AD}|=\frac{1}{6}|[-2].1+1.1+0.1|=\frac{1}{3}

Thử ngay những bài tập tính thể tích khối tứ diện bằng phương pháp tọa độ dưới đây để ghi nhớ lâu hơn công thức trên nhé!

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện tạo bởi 4 điểm A[1,2,3], B[-1,0,2], C[-2,1,3],D[-3,4,5]

Bài 2: Tính thể tích khối tứ diện tạo bởi 4 điểm A[1,0,-3], B[-2,1,3], C[3,1,0],D[-3,0,0]

Bài 3: Tính thể tích khối tứ diện tạo bởi 4 điểm A[0,2,0], B[3,0,-2], C[2,1,-4],D[3,-4,1]

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Tính diện tích tam giác, thể tích khối tứ diện bằng phương pháp tọa độ. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian