Đổi biến số \[x = \dfrac{\pi }{2} - t\], ta được: \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\sin x]dx} \]\[ = - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - t} \right]} \right]dt} \] \[ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\cos t]dt} \]
Đề bài
Giả sử hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chứng minh rằng: \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\sin x]dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\cos x]dx} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đổi biến số \[x = \dfrac{\pi }{2} - t\] tính tích phân \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\sin x]dx} \]
Lời giải chi tiết
Đổi biến số \[x = \dfrac{\pi }{2} - t\], ta được: \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\sin x]dx} \]\[ = - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - t} \right]} \right]dt} \] \[ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\cos t]dt} \]
Hay \[\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\sin x]dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f[\cos x]dx} \]