5 tháng 10, 2017 mục Toán
Bài viết này tổng hợp lại các kí hiệu toán học được sử dụng trong blog. Về cơ bản, tôi sẽ cố gắng đồng bộ hết sức có thể các kí hiệu này với các kí hiệu thường được các nhà học máy và toán học sử dụng. Ở đây tôi không đề cập tới cách tính từng phép toán cụ thể vì tôi đã trình bày trong các chuỗi bài về Toán và Xác Suất rồi.
Mục lục
- Tập hợp
- Số và ma trận
- Giải tích
- Xác suất thống kê
| $\mathbb{A}$ | Tập $\mathbb{A}$ bất kì |
| $\mathbb{N}$ | Tập số tự nhiên |
| $\mathbb{Z}$ | Tập số nguyên |
| $\mathbb{Q}$ | Tập số hữu tỉ |
| $\mathbb{I}$ | Tập số vô tỉ |
| $\mathbb{R}$ | Tập số thực |
| $\{x,y,z\}$ | Tập chứa các phần tử $x,y,z$ |
| $\{a_1,a_2,…,a_n\}$ | Tập chứa các số nguyên từ $a_1$ tới $a_n$ |
| $[a,b]$ | Tập chứa các số thực trong khoảng $a 0:[22]
d
d
x
log
a
x
=
lim
h
→
0
log
a
[
x
+
h
]
−
log
a
[
x
]
h
=
lim
h
→
0
log
a
[
1
+
h
/
x
]
x
⋅
h
/
x
=
1
x
log
a
[
lim
u
→
0
[
1
+
u
]
1
u
]
=
1
x
log
a
e
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}[x+h]-\log _{a}[x]}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}[1+h/x]}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\lim _{u\to 0}[1+u]^{\frac {1}{u}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}
trong đó đặt u = h/x. Logarit cơ số a của e bằng 1 nếu a bằng e, do đó Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết. Như vậy, có hai cách để tìm một số a đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ ax bằng với ax rồi giải phương trình để tìm a. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số a bằng 1/x và giải tương tự. Cả hai nghiệm a thu được thực chất là giống nhau và bằng số e. Các cách biểu diễn khácXem thêm: § Biểu diễn, và Biểu diễn của hàm mũ Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của góc hyperbol dọc theo hyperbol x y = 1 {\displaystyle xy=1} . Có nhiều cách biểu diễn số e: giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:
Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:
Hàm mũ ex rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó: và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó: ∫ e x d x = e x + C . {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}Bất đẳng thứcĐồ thị của hàm mũ y = 2 x {\displaystyle y=2^{x}} và y = 4 x {\displaystyle y=4^{x}} cắt đường thẳng y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} lần lượt tại x = 1 {\displaystyle x=1} và x = − 1 / 2 {\displaystyle x=-1/2} . Số e {\displaystyle e} là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị y = e x {\displaystyle y=e^{x}} cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất x = 0 {\displaystyle x=0} . Dễ thấy rằng giá trị của e {\displaystyle e} nằm giữa 2 và 4. e là số thực duy nhất sao cho [ 1 + 1 x ] x < e < [ 1 + 1 x ] x + 1 {\displaystyle \left[1+{\frac {1}{x}}\right]^{x}Chủ Đề |