Chào mừng các bạn đã đến với bài giảng hôm nay của itoan. Hôm nay chúng ta sẽ học về Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nội dung bài học này sẽ giúp các em nắm được các khái niệm liên quan đến giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số trên một miền với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kỹ năng giải bài tập ở dạng toán này. Cùng đến với bài học ngay thôi các bạn!
Mục tiêu bài học Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Nắm được định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
- Nắm được phương pháp tính GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
- Tính được GTLN, GTNN trên một đoạn của một số hàm số thường gặp.
- Vận dụng thành thạo phương pháp tính GTLN, GTNN của một hàm số có đạo hàm trên trên một đoạn, khoảng.
Kiến thức cơ bản của bài học Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
I. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cho hàm số y=f[x] xác định trên tập D
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số y=f[x] trên tập D nếuf[x]≤M với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho f[x0]=M
Kí hiệu: m = maxDf[x]
b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số y=f[x] trên tập D nếu f[x]≥m với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho f[x0]=m
Kí hiệu: m=minDf[x]
2. Ví dụ
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [0;+∞]:
Hướng dẫn giải:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng [0;+∞] hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Vậy min f[x]=−3 [tại x=1 ], không tồn tại giá trị lớn nhất của f[x] trên khoảng [0;+∞] .
II. Cách tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
1. Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=sinx trên
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Nhận xét
Nếu đạo hàm f′[x] giữ nguyên dấu trên đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f[x] đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các giá trị đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn điểm xi [xi0,∀x ∈[0;2],f[x]liên tục trên [0; 2] nên f[x] đồng biến trên [0; 2]
Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng [0; 2].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a] y=2 sin2x+2sinx-1
b] y=cos2x-sinxcosx+4
Lời giải:
Đặt t = sin x, -1≤t≤1
y=f[t]=2t2+2t-1,t ∈[-1;1]
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = f[t] trên [-1;1]. Đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R
f’ [t]=4t+2,f’ [t]=0 t=-1/2
Bảng biến thiên:
y=cos2x-sinxcosx+4=1-sin22x-1/2 sin2x+4
=-sin22x-1/2 sin2x+5
Đặt t = sin 2x, -1≤t≤1
y=f[t]=-t2-1/2 t+5;f’ [t]=-2t-1/2;f’ [x]=0 t=-1/4
Bảng biến thiên:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là.
Lời giải:
Đặt BM = x [0