Luyện tập đường trung bình của tam giác, của hình thang: Đáp án và Giải bài 26, 27, 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1.
Bài 26. Tính x, y trên hình 45, trong đó AB // CD // EF // GH.
Gợi ý giải: Ta có AB // EF nên ABFE là hình thang CA = CE và DB = DF nên CD là đường-trung bình của hình thang ABFE.
Do đó: CD = [AB +EF]/2 = [8+16]/2 = 12 cm
Hay x = 12 cm
Tương tự CDHG là hình thang, EF là đường-trung bình của hình thang CDHG.
Nên EF = [CD +GH]/2 ⇒ GH = 2EF -CD = 2.16 – 12
GH = 20 hay y = 20cm
Vậy x = 12cm, y = 20cm.
Bài 27 trang 80. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
a] So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.
b] Chứng minh rằng EF ≤ [AB+CD]/2
a] Trong ∆ACD có EA = ED, KA = KC [gt]
Quảng cáo - Advertisements
nên EK là đường trungbình của ∆ACD
Do đó EK = CD/2
Tương tự KF là đường trungbình của ∆ABC.
Nên KF = AB/2
b] Ta có EF ≤ EK + KF [bất đẳng thức trong ∆EFK]
Nên EF ≤ EK + KF = CD/2 + AB/2= [AB +CD]/2
Vậy EF ≤ [AB +CD]/2
Bài 28. Cho hình thang ABCD [AB // CD], E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thằng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
a] Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
b] Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK
a] Vì EA = ED, FB = FC [gt]
Nên EF là đường-trung-bình của hình thang ABCD.
Do đó: EF // AB // CD
∆ABC có BF = FC và FK // AB
nên: AK = KC
∆ABD có AE = ED và EI // AB
nên: BI = ID
b] Vi EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
nên EF = [AB+CD]/2 = [6+10]/2= 8
EI là đường-trung-bình của ∆ABD nên EI = ½.AB =½.6 = 3 [cm]
KF là đườngtrung-bình của ∆ABC nên KF =½.AB=½.6 = 3 [cm]
Lại có EF = EI + IK + KF
nên IK = EF – [EI + KF] = 8 – [3 + 3] = 2 [cm]
Bài 1 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác [tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài].
Lời giải:
Ta có: ∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 = 360o [tổng các góc của tứ giác]
Tại mỗi đỉnh của tứ giác tổng một góc trong và một góc ngoài bằng 180o nên:
∠A1 + ∠A2 + ∠B1 + [∠B2 + ∠C1 + ∠C2 + ∠D1 + ∠D2 = 180o.4 = 720o
⇒ ∠A2 + [∠B2 +∠C2 + ∠D2 = 720o – [∠A1 +∠B1 +∠C1 + ∠D1 ]
= 720o – 360o = 360o
Bài 2 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA.
a. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.
b. Cho biết B = 100o, D = 70o, tính góc A và góc C.
Lời giải:
a. Ta có: BA = BC [gt]. Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.
Lại có: DA = DC [gt]. Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.
Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.
b. Xét ΔBAD và ΔBCD, ta có:
BA = BC [gt]
DA = DC [gt]
BD cạnh chung
Suy ra: ΔBAD = ΔBCD [c.c.c]
⇒ ∠[BAD] = ∠[BCD]
Mặt khác, ta có: ∠[BAD] + ∠[BCD] + ∠[ABC] + ∠[ADC] = 360o
Suy ra: ∠[BAD] + ∠[BCD] = 360o – [∠[ABC] + ∠[ADC] ]
2∠[BAD] = 360o – [100o + 70o] = 190o
⇒ ∠[BAD] = 190o : 2 = 95o
⇒ ∠[BCD] = ∠[BAD] = 95o
Bài 3 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác
Lời giải:
- Vẽ tam giác ABD
+ Vẽ cạnh AD dài 4cm
+ Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm
+ Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm
+ Hai cung tròn cắt nhau tại B
⇒ Ta được tam giác ABD
- Vẽ tam giác DBC
+ Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = 60o
+ Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm
⇒ Ta được tam giác BDC
⇒ Ta được tứ giác ABCD cần vẽ
Bài 4 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: ∠A: ∠B: ∠C: ∠D= 1 : 2 : 3 : 4
Lời giải:
Theo bài ra, ta có:
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D= 360o [tổng các góc của tứ giác]
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy: ∠A= 1.36o = 36o; ∠B= 2.36o = 72o;
∠C= 3.36o = 108o ; ∠D= 4.36o = 144o.
Bài 5 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có ∠A = 65o, ∠B = 117o, ∠C = 71o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.
Lời giải:
Trong tứ giác ABCD, ta có:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360o [tổng các góc của tứ giác]
⇒ ∠D = 360o – [∠A + ∠B + ∠C ]
= 360o – [65o + 117o + 71o] = 107o
∠D + ∠D1 = 180o [2 góc kề bù] ⇒ ∠D1 = 180o - ∠D1 = 180o – 107o = 73o
Bài 6 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
Lời giải:
Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn 360o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn. Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều la góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn 360o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.
Bài 7 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.
Lời giải:
* Gọi ∠A1, ∠C1là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, ∠A2, ∠C2 là góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có: ∠A1+ ∠A2 = 180o [2 góc kề bù]
⇒ ∠A2 = 180o - ∠A1
∠C1+ ∠C2 = 180o [2 góc kề bù] ⇒ ∠C2 = 180o - ∠C1
Suy ra: ∠A2 + ∠C2= 180o - ∠A1 + 180o - ∠C1= 360o – [∠A1 + ∠C1] [1]
* Trong tứ giác ABCD ta có:
∠A1 + B + ∠C1 + ∠D = 360o [tổng các góc của tứ giác]
⇒ ∠B + ∠D = 360o - ∠A1 + ∠C1 [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ∠A2 + ∠C2 = ∠B + ∠D
Bài 8 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có A = 101o, B = 100o. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính [CED] ,[CFD] .
Lời giải:
Trong tứ giác ABCD, ta có:
A + B + C + D = 360o
⇒ C + D = 360o – [A + B ]
= 360o – [110o + 10o0 ] = 150o
C1 + D1 = [C + D ]/2 = 150o/2 = 75o
Trong Δ CED ta có:
[CED] = 180o – [C1 + D1 ] = 180o – 75o = 105o
DE ⊥ DF [t/chất tia phân giác của hai góc kề bù] ⇒ [EDF] = 90o
CE ⊥ CF [t/chất tia phân giác của hai góc kề bù] ⇒ [ECF] = 90o
Trong tứ giác CEDF, ta có: [DEC] + [EDF] + [DFC] + [ECF] = 360o
⇒ [DFC] = 360o – [[DEC] + [EDF] + [ECF] ]
[DFC] = 360o – [105o + 90o + 90o] = 750
Bài 9 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
* Trong ΔOAB, ta có:
OA + OB > AB [bất đẳng thức tam giác] [1]
* Trong ΔOCD, ta có:
OC + OD > CD [bất đẳng thức tam giác] [2]
Cộng từng vế [1] và [2]:
OA + OB + OC + OD > AB + CD
⇒ AC + BD > AB + CD
Bài 10 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.
Lời giải:
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ΔOAB, ta có:
OA + OB > a [bất đẳng thức tam giác] [1]
* Trong ΔOCD, ta có:
OC + OD > c [bất đẳng thức tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c [*]
* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d [bất đẳng thức tam giác] [3]
* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b [bất đẳng thức tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d [**]
Từ [*] và [**] suy ra: 2[AC + BD] > a + b + c + d
* Trong ΔABC, ta có: AC < AB + BC = a + b [bất đẳng thức tam giác]
* Trong ΔADC, ta có: AC < AD + DC = c + d [bất đẳng thức tam giác]
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ΔABD, ta có: BD < AB + AD = a + d [bất đẳng thức tam giác]
* Trong ΔBCD, ta có: BD < BC + CD = b + c [bất đẳng thức tam giác]
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ [5] và [6] suy ra: AC + BD < a + b + c + d