+] Hai đường thẳng e và f không cùng nằm trong một mặt phẳng nên e và f là hai đường thẳng chéo nhau.
2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Hoạt động khám phá 2 trang 102 Toán 11 Tập 1: a] Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường thẳng d. Đặt [P] = mp[M, d]. Trong [P], qua M vẽ đường thẳng d’ song song với d, đặt [Q] = mp[d, d’]. Có thể khẳng định hai mặt phẳng [P] và [Q] trùng nhau không?
- Cho ba mặt phẳng [P], [Q], [R] cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c phân biệt với a = [P] ∩ [R]; b = [Q] ∩ [R]; c = [P] ∩ [Q] [Hình 8].
Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c không?
Lời giải:
- Ta có:
[P] = mp[M, d] nên [P] xác định duy nhất.
[Q] = mp[d, d’], mà M ∈ d’ nên [Q] = mp[M, d]. Do đó [P] và [Q] trùng nhau.
- Ta có:
Mà c = [P] ∩ [Q] nên M ∈ c.
Thực hành 2 trang 103 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [SAD].
Lời giải:
Ta có ADMS là hình thang nên SM // AD
Do trong không gian chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua S và song song với AD nên SM phải trùng với d.
Mà SM ⊂ [SAD]
Do đó d ⊂ [SAD].
Hoạt động khám phá 3 trang 104 Toán 11 Tập 1: Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau [Hình 13a].
Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp[a, c] và mp[M, b] [Hình 13 b]. Do b // c nên ta có d//b và d//c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b.
Lời giải:
Ta có: mp[a, c] = mp[M, c] và mp[a, b] = mp[m, b]
Mà d là giao tuyến của mp[a, c] và mp[M, b]
Suy ra M ∈ d
Ta lại có d//b và d//c
Do đó d phải trùng a.
Thực hành 3 trang 105 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi [P] là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N.
- Chứng minh IJNM là một hình thang.
- Tìm vị trí của điểm M để IJNM là hình bình hành.
Lời giải:
- Ta có: .
Xét tứ giác IJNM có: MN // IJ nên IJNM là hình thang.
- Để IJNM là hình bình hành thì MN = IJ
Ta có: IJ = 12CD [IJ là đường trung bình của tam giác BCD] nên MN = 12CD và MN // CD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD. Khi đó M là trung điểm của AC.
Vận dụng 2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Một chiếc lều [Hình 16a] được minh họa như Hình 16b.
- Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
- Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
Lời giải:
- Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là [P], [Q] và [R].
- Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là:
[P], [S] và [R] hoặc [Q], [S] và [R].
Bài tập
Bài 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?
- Đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b.
- Đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.
Lời giải:
- Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c cắt a thì c cũng cắt b” là một mệnh đề sai vì c và b cũng có thể chéo nhau [không đồng phẳng].
- Mệnh đề: “Hai đường thẳng a và b song song, đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b là một mệnh đề sai.
Bài 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC [Hình 17]. Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt [SBC]. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [CMN].
Lời giải:
+] Trong mặt phẳng [ABC] kéo dài AM cắt cạnh BC tại I.
Ta có: mp[d, SA] = mp[SAI]
Trong mặt phẳng [SAI] gọi N là giao điểm của SI và d mà SI ⊂ [SBC]. Do đó giao điểm của đường thẳng d và [SBC] là N.
Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [CMN].
Ta có:
Mà
Do đó C ∈ d’.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [CMN] là đường thẳng d’ đi qua C và song song với SA.
Bài 3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SCD] và [SAB].
- Lấy một điểm M trên đoạn SA [M khác S và A], mặt phẳng [BCM] cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?
Lời giải:
- Ta có: CD // AB
CD ⊂ [SCD], AB ⊂ [SAB]
S ∈ [SAB] ∩ [SCD]
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng [SCD] và [SAB] là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD.