- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
- Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.
+ Phương trình
+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.
+ Phương trình A2 = B2 ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B
- Cách 2: Đặt ẩn phụ.
- Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.
- Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a] √x = 3 [đkxđ: x ≥ 0]
⇔ x = 32 = 9 [t/m]
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
b]
⇔ x + 1 = 4
⇔ x = 3 [t/m]
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
c]
⇒ 2x + 3 = x2
⇔ x2 – 2x – 3 = 0
⇔ [x + 1][x – 3] = 0
⇔ x = -1 hoặc x = 3
Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
d]
⇒ x - 1 = [x-3]2
⇔ x – 1 = x2 – 6x + 9
⇔ x2 – 7x + 10 = 0
⇔ [x – 2][x – 5] = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 5
Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a] Đặt
⇒ x2 + 5x + 3 = t2
⇒ 2x2 + 10x = 2[x2 + 5x] = 2. [t2 - 3] = 2t2 - 6
Khi đó phương trình trở thành:
t + 2t2 - 6 - 15 = 0 ⇔ 2t2 + t – 21 = 0
⇔ [t-3] [2t + 7/2] = 0 ⇔ t = 3 [T/M] hoặc t = -7/2[L].
Với t = 3 thì
⇔ x2 + 5x + 3 = 9
⇔ x2 + 5x - 6 = 0
⇔ [x-1] [x+6] = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.
b] Đặt
Khi đó phương trình trở thành: t3 + t – 2 = 0 ⇔ [t – 1][t2 + t + 2] = 0 ⇔ t = 1 [Vì t2 + t + 2 > 0 với mọi t].
Với t = 1 ⇒ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
c]
Chia cả hai vế cho x ta được:
Phương trình trở thành: t2 + 2t - 3 = 0
⇔ [t-1][t+3] = 0 ⇔ t = 1[t/m] hoặc t = -3[l]
Với t = 1 ⇒
⇔ x2 – 1 = x
⇔ x2 – x – 1 = 0
⇔ [x-1/2]2 = 5/4
Vậy phương trình có hai nghiệm
d] Đặt
Ta thu được hệ phương trình :
⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:
Hướng dẫn giải:
a] Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
b]
Điều kiện xác định :
Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c] Phương pháp giải: Đánh giá
VT = VP ⇔
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ TH1: Xét
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 [t.m]
+ TH2: Xét
+ TH3: Xét
Phương trình trở thành:
⇔ 1 = 4 [vô nghiệm]
+ TH4: Xét
Phương trình trở thành:
⇔ x - 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 [thỏa mãn].
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4
Bài 1: Nghiệm của phương trình
A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm.
Bài 2: Phương trình
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
Đáp án: C
⇔ [x + 1][x + 3] = 8
⇔ x2 + 4x + 3 = 8
⇔ x2 + 4x – 5 = 0
⇔ x2 + 5x – x – 5 = 0
⇔ [x + 5][x – 1] = 0
⇔ x = -5 hoặc x = 1 [t/m]
Vậy phương trình có hai nghiệm
Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x - 5√x + 6 = 0 là:
A. 5 B. 9 C. 4 D. 13.
Đáp án: D
Đkxđ: x ≥ 0.
x - 5√x + 6 = 0
⇔ x - 3√x - 2√x + 6 = 0
⇔ [√x - 3] [√x - 2] = 0
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.
Bài 4: Phương trình
A. x = 4 B. x = -3 C. x = -3 và x = 4 D. Vô nghiệm.
Đáp án: A
⇒ 25 – x2 = [x – 1]2
⇔ 25 – x2 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇔ x2 – x – 12 = 0
⇔ x2 – 4x + 3x – 12 = 0
⇔ [x – 4][x + 3] = 0
⇔ x = 4 hoặc x = -3.
Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.
Bài 5: Phương trình
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Đáp án: D
⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3
Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.
Bài 6: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a]
⇔
⇔ 2x + 3 = 1/4
⇔ 2x = -11/4
⇔ x = -11/8
Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .
b]
⇔ 3x = 144
⇔ x = 48
c]
⇔ x + 1 = 25
⇔ x = 24.
Vậy phương trình có nghiệm x = 24.
Bài 7: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a]
⇔ x2 + x + 1 = 2x2 – 5x + 9
⇔ x2 – 6x + 8 = 0
⇔ x2 – 2x – 4x + 8 = 0
⇔ [x – 2][x – 4] = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 4.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.
b]
⇒ 3x2 + 4x + 1 = [x – 1]2
⇔ 3x2 + 4x + 1 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 6x = 0
⇔ 2x[x – 3] = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
⇔ x2 + 5x - 2 = 4
⇔ x2 + 5x - 6 = 0
⇔ [x + 6][x – 1] = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.
⇒ 4[x+1][2x+3] = [21-3x]2
⇔ 4[2x2 + 2x + 3x + 3] = 441 – 126x + 9x2
⇔ 8x2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x2
⇔ x2 – 146x + 429 = 0.
⇔ x2 – 3x – 143x + 429 = 0
⇔ [x – 3][x – 143] = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 143.
Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.
Bài 8: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a]
Đặt
+ Th1:
+ Th2:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.
b]
Đặt
⇒ a2 - b2 = [2x+3] - [x+1] = x + 2
⇒ a – b = a2 – b2
⇔ [a – b][a + b] – [a – b] = 0
⇔ [a – b][a + b – 1] = 0
⇔ a = b hoặ a + b = 1
+ Th1: a = b ⇒
⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 [Loại]
+ Th2: a + b – 1 = 0.
Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.
Phương trình chỉ xảy ra ⇔
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
c]
Phương trình trở thành: t2 + 3t - 4 = 0
⇔ t2 + 4t – t – 4 = 0
⇔ [t + 4][t – 1] = 0
⇔ t = -4 [L] hoặc t = 1 [T/M]
⇔
⇔ x2 – 2x – 3 = 1
⇔ x2 – 2x – 4 = 0
⇔ [x – 1]2 = 5
Bài 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
[1]Ta có:
⇒ VT [1] =
VP [1] = 4 – 2x – x2 = 5 – [1 + 2x + x2] = 5 – [x + 1]2 ≤ 5.
VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.
Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
Bài 10: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
+ TH1:
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ x = 3 [t.m]
+ TH2:
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ 4 = 4 [đúng với mọi x]
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.