I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là hai vectơ không. Lấy một điểmAbất kì, gọiBvàClà hai điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v$. Khi đó ta gọi góc $\widehat {BAC}\left[ {{0^o} \le \widehat {BAC} \le {{180}^o}} \right]$ là góc giữa hai vectơ$\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$trong không gian, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho$\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$là hai vectơ không. Tích vô hướng của hai vectơ$\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$là một số, kí hiệu là $\overrightarrow u .\overrightarrow v$, được xác định bởi công thức:
$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right]$
II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ $\overrightarrow a$ là vectơ không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳngdnếu giá của vectơ$\overrightarrow a$song song hoặc trùng với đường thẳngd.
* Nhận xét:
a] Nếu$\overrightarrow a$là vectơ chỉ phương của đường thẳngdthì vectơ $k\overrightarrow a$ với $k \ne 0$ cũng là vectơ chỉ phương củad.
b] Một đường thẳngdtrong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểmAthuộcdvà một vectơ chỉ phương$\overrightarrow a$của nó.
c] Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳngavàbtrong không gian là góc giữa hai đường thẳngavàbcùng đi qua một điểm và lần lượt song song vớiavàb.
* Nhận xét:
a] Để xác định góc giữa hai đường thẳngavàbta có thể lấy điểmOthuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng quaOvà song song với đường thẳng còn lại.
b] Nếu $\overrightarrow u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳngavà$\overrightarrow v $là vectơ chỉ phương của đường thẳngbvà $\left[ {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right] = \alpha$ thì góc giữa hai đường thẳngavàbbằng $\alpha$ nếu ${0^o} \le \alpha \le {90^o}$ và bằng ${180^o} - \alpha$ nếu ${90^o} \le \alpha \le {180^o}$. Nếuavàbsong song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng ${0^o}$.
IV. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90^o}$.
Người ta kí hiệu hai đường thẳngavàbvuông góc với nhau là $a \bot b$.
* Nhận xét:
a] Nếu$\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳngavàbthì $a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0$.
b] Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.c] Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Bài tập