Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng \[ax+by=c\], trong đó a,b,c là các số đã biết [\[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0\]]
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình \[ax+by=c\] được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \[[x_o;y_o]\] được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \[[x_o;y_o]\]
1.2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax+by=c\] luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng \[ax+by=c\], kí hiệu là \[[d]\]
Nếu \[a \neq 0\] và \[b \neq 0\] thì \[[d]\] là đồ thị của hàm số bậc nhất \[y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\]
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập cơ bản
Câu 1: Tìm hai nghiệm của của phương trình \[x+2y=1\].
Hướng dẫn giải
Lần lượt cho \[y=0\] và \[y=1\] ta được \[x=1\] và \[x=-1\] nên \[[1;0]\] và \[[-1;1]\] là hai nghiệm của phương trình \[x+2y=1\].
Câu 2: Cặp số \[[1;1]\] có phải là nghiệm của phương trình \[x+y=1\] không?
Hướng dẫn giải
Ta có \[1+1=2 \neq 1\] nên \[[1;1]\] không là nghiệm của phương trình \[x+y=1\].
Câu 3: Cho hai cặp số \[[1;2]\] và \[[0;1]\]. Hỏi cặp số nào là nghiệm của phương trình \[2x+3y=8\]?
Hướng dẫn giải
Ta có: \[2.1+3.2=8\] và \[2.0+3.1=3 \neq 8\] nên \[[1;2]\] là nghiệm của phương trình \[2x+3y=8\]
2.2. Bài tập nâng cao
Câu 1: Cho phương trình \[[m-2]x+[m-1]y=1\] [m là tham số]. Chứng minh rằng đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình này luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải
Gọi [d] là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \[[m-2]x+[m-1]y=1\] thì [d]: \[[m-2]x+[m-1]y=1\]. Giả sử [d] luôn đi qua \[M[x_o;y_o]\] với mọi m
Khi đó \[[m-2]x_o+[m-1]y_o=1\] với mọi m
Suy ra \[[x_o+y_o]m-[2x_o+y_o+1]=0\] với mọi m
\[\left\{\begin{matrix} x_o+y_o=0\\ 2x_o+y_o+1=0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x_o=-1\\ y_o=1 \end{matrix}\right.\]. Vậy [d] luôn đi qua điểm cố định \[M[-1;1]\].
Câu 2: Tìm các điểm nằm trên đường thẳng \[8x+9y=-79\], có hoành độ và tung độ là các số nguyên và nằm bên trong các vuông phần tư III.
Hướng dẫn giải
Ta cần tìm nghiệm nguyên âm của phương trình 8x+9y=-79. Rút x từ phương trình ta được:
\[x=\frac{-9y-79}{8}=-y-10+\frac{1-y}{8}\]
Đặt \[\frac{1-y}{8}=k [k \in \mathbb{Z}]\] thì \[y=1-8k\]. Từ đó tính được \[x=9k-11\]
Giải điều kiện \[\left\{\begin{matrix} 9k-110\]] tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9. Tìm tích ab.