Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \[a^3\]. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng [SBC].
A. \[d = \frac{{6{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\]
B. \[d = \frac{{{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\]
C. \[d = \frac{{4{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\]
D. \[d = \frac{{8{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{195}}\]Học lớp hướng dẫn giải
Gọi các điểm như hình vẽ.
Ta có \[AI \bot BC,SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left[ {SAI} \right]\]
Suy ra \[BC \bot AK \Rightarrow AK = {d_{\left[ {A,\left[ {SBC} \right]} \right]}}\]
Ta có: \[V = {a^3},{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = 4a\sqrt 3\]
Mà \[AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Trong tam giác vuông SAI ta có \[\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}\]
Vậy \[d = AK = \sqrt {\frac{{A{S^2}.A{I^2}}}{{A{S^2} + A{I^2}}}} = \frac{{4a\sqrt {195} }}{{65}}.\]