Phương pháp hệ số bất định trong nguyên hàm

Lý thuyết: Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số [Đồng nhất thức]

1.Bài toán tổng quát:

Tính tích phân $I = \int {\frac{{P[x]}}{{Q[x]}}} dx$ với $P[x]$ và $Q[x]$ là các đa thức dạng: $f[x] = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_n};n \in {N^*}$.

Ví dụ:Tính $\int {\frac{{{x^2}}}{{{{[x + 2]}^2}}}} dx$

Giải
Đặt:   t = x +2 => $x^{2}= [t+2]^{2}$ và $dx = dt$;

$\int {\frac{{{x^2}}}{{{{[x + 2]}^2}}}} dx$ $=\int \frac{[t-2]^{2}}{t^{2}}dt$

$=\int \frac{t^{2}-4t+4}{t^{2}}dt$

$=\int dt-4\int \frac{1}{t}dt+4\int \frac{1}{t^{2}}dt$

$=t-4ln\left | t \right |-\frac{4}{t}+C$. suy ra: $f[x]= x+2-4ln\left | x+2 \right |-\frac{4}{x+2}+C$

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số [Đồng nhất thức]

Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P[x]$ $≥$ bậc của mẫu số $Q[x]$, ta sử dụng phép chia đa thức: $I = \int {\frac{{P[x]}}{{Q[x]}}} dx = \int {\left[ {H[x] + \frac{{R[x]}}{{Q[x]}}} \right]} dx = \int {H[x]dx} + \int {\frac{{R[x]}}{{Q[x]}}} dx = {I_1} + {I_2}$, trong đó $I_1$ là tích phân cơ bản, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ có bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số.

Ví dụ 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:
$a]I = \int {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx$
$b]I = \int {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx.$
$c]I= \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx.$

Giải

a] Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left[ {2{x^3} + 3{x^2}} \right] – \frac{3}{2}\left[ {2{x^2} + 3x} \right] + \frac{9}{4}[2x + 3] – \frac{{27}}{4}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8[2x + 3]}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}} dx $$= \int_{}^{} {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} – \frac{{27}}{{8[2x + 3]}}} \right]} dx $$=  {\frac{1}{6}{x^3} – \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x – \frac{{27}}{{16}}\ln |2x + 3|}+ C$

b] Ta có: $\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}$ $ = \frac{{{x^2} – 1 – 4}}{{x + 1}}$ $ = x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^2} – 5}}{{x + 1}}} dx $ $ = \int_{}^{} {\left[ {x – 1 – \frac{4}{{x + 1}}} \right]} dx $ $ = \left[ {\frac{1}{2}{x^2} – x – 4\ln |x + 1|} \right] + C$
c] Ta có: $\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}$ $ = \frac{{x\left[ {{x^2} – 1} \right] + x}}{{{x^2} – 1}}$ $ = x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}.$
Suy ra: $I=\int_{}^{} {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 1}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left[ {x + \frac{x}{{{x^2} – 1}}} \right]} dx$ $ = \int_{}^{} x dx + \int_{}^{} {\frac{{xdx}}{{{x^2} – 1}}} $ $ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}ln\left| {{x^2} – 1} \right| + C$

Trường hợp 2: Nếu bậc của tử số $P[x]$ $ 0} $

Phương pháp: Gọi x1;x2 là các nghiệm của mẫu. Phân tích: $\frac{1}{{[x – {x_1}][x – {x_2}]}} = – \frac{1}{{{x_2} – {x_1}}}\left[ {\frac{1}{{x – {x_1}}} – \frac{1}{{x – {x_2}}}} \right]$

Khi đó: $I = \int_{}^{} {\frac{A}{{a\left[ {x – {x_1}} \right]\left[ {x – {x_2}} \right]}}} dx$ $ = \frac{A}{{a\left[ {{x_2} – {x_1}} \right]}}\int_{}^{} {\left[ {\frac{1}{{x – {x_2}}} – \frac{1}{{x – {x_1}}}} \right]} dx$ $\frac{A}{{a\left[ {{x_2} – {x_1}} \right]}}\ln \left| {\frac{{x – {x_2}}}{{x – {x_1}}}} \right| + C$

Ví dụ 1: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{[x – 1][x – 2]}}}$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{[x – 1][x – 2]}} $$= \frac{A}{{x – 2}} – \frac{B}{{x – 1}} $$= \frac{{A[x – 1] – B[x – 2]}}{{[x – 2][x – 1]}}$

Thay lần lượt x=1; x=2 vào tử số hai vế ta có:A=1;B=1 

Suy ra: $I = \int {\frac{{dx}}{{[x – 1][x – 2]}}} $$= \int {\left[ {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right]} dx $$= \int {\frac{{dx}}{{x – 2}}} – \int {\frac{{dx}}{{x – 1}}} $$= \ln \left| {x – 2} \right| – \ln \left| {x – 1} \right| + C $$= \ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x – 1}}} \right| + C$

Ví dụ 2: Tính $I = \int {\frac{1}{{x\left[ {{x^2} – 1} \right]}}} dx.$

Giải

Ta có: $f[x] = \frac{1}{{x\left[ {{x^2} – 1} \right]}}$ $ = \frac{1}{{x[x – 1][x + 1]}}$ $ = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x – 1}} + \frac{C}{{x + 1}}$ $ = \frac{{A\left[ {{x^2} – 1} \right] + Bx[x + 1] + Cx[x – 1]}}{{x[x – 1][x + 1]}}.$
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ và $x = -1$ vào hai tử số.

Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0 \to 1 = -A}\\ {x = -1 \to 1 = 2C}\\ {x = 1 \to 1 = 2B} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = – 1}\\ {B = \frac{1}{2}}\\ {C = \frac{1}{2}}

\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow f[x] = – \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{x – 1}}} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{x + 1}}} \right]$
Vậy: $I = \int_{}^{} {\frac{1}{{x\left[ {{x^2} – 1} \right]}}} dx$ $ = \int_{}^{} {\left[ {\frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{x{\rm{ – }}1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right] – \frac{1}{x}} \right]} dx $ $ = \frac{1}{2}\ln \left| {[x – 1][x + 1]} \right| – \ln |x| + C$. 

Dạng 3:$\int {\frac{A}{{[ax^2 + bx + c]}}dx;\Delta = {b^2} – 4ac = 0} $

Phương pháp: Vì $\Delta = 0$, ta có: $I = \int {\frac{{Adx}}{{a{{\left[ {x – {x_0}} \right]}^2}}}} $ $ = – \frac{A}{{a\left[ {x – {x_0}} \right]}} + C$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $

Giải

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2} – 2x + 1}}} $$= \int {\frac{{dx}}{{{{[x – 1]}^2}}}} $$= \int {{{[x – 1]}^{ – 2}}} d[x – 1] $$= – {[x – 1]^{ – 1}} + C = – \frac{1}{{x – 1}} + C$.

Dạng 4: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx$, và $\Delta = {b^2} – 4ac>0$

Phương pháp: Vì $\Delta > 0$, Phân tích: $\frac{{Ax + B}}{{a\left[ {x – {x_1}} \right]\left[ {x – {x_2}} \right]}} = \frac{1}{a}\left[ {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right]$.

Khi đó: $I = \int {\frac{{Ax + B}}{{a\left[ {x – {x_1}} \right]\left[ {x – {x_2}} \right]}}} dx $$= \frac{1}{a}\int {\left[ {\frac{C}{{x – {x_2}}} + \frac{D}{{x – {x_1}}}} \right]} dx $$= \frac{1}{a}[C\ln \left| {x – {x_2}} \right| + D\ln \left| {x – {x_1}} \right|] + E$

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx.$

Giải
Ta có: $f[x] = \frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{[x + 2][x + 3]}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A[x + 3] + B[x + 2]}}{{[x + 2][x + 3]}}.$

Thay $x = – 2$ vào hai tử số ta được: $3 = A$

Thay $x = -3$ vào hai tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$
Do đó: $f[x] = \frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}.$

Vậy: $\int {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}} dx$ $ = \int {\left[ {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right]} dx$ $ = 3\ln |x + 2| + \ln |x + 3| +C$.

Dạng 5: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{[ax + b]}^2}}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{[ax + b]}^2}}} = \frac{A}{{{{[ax + b]}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} $

Ví dụ: Tính $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{[2x + 1]}^2}}}dx}$

Giải

Phân tích: $\frac{{2x + 2}}{{{{[2x + 1]}^2}}} = \frac{A}{{{{[2x + 1]}^2}}} + \frac{B}{{2x + 1}} = \frac{{A + B[2x + 1]}}{{{{[2x + 1]}^2}}} = \frac{{2Bx + A + B}}{{{{[2x + 1]}^2}}}$. Cân bằng 2 vế tac được A=1;B=1.

Khi đó: $I = \int {\frac{{2x + 2}}{{{{[2x + 1]}^2}}}dx} = \int {\left[ {\frac{1}{{{{[2x + 1]}^2}}} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right]} dx = – \frac{1}{2}.\frac{1}{{2x + 1}} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$

Dạng 6: $\int {\frac{{mx + n}}{{{{[ax + b]}^2}[cx + d]}}dx} $

Phương pháp: $\frac{{mx + n}}{{{{[ax + b]}^2}[cx + d]}} = \frac{A}{{{{[ax + b]}^2}}} + \frac{B}{{ax + b}} + \frac{C}{{cx + d}}$

Ví dụ:Tính $I = \int {\frac{{{x^2}}}{{{{[x – 1]}^2}[x + 2]}}} dx.$

Giải

Ta có: $\frac{1}{{[x – 1]{{[x + 1]}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x – 1}} + \frac{B}{{[x + 1]}} + \frac{C}{{{{[x + 1]}^2}}}$ $ = \frac{{A{{[x + 1]}^2} + B[x – 1][x + 1] + C[x – 1]}}{{[x – 1]{{[x + 1]}^2}}}$ $[1].$

Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 = 4A}\\ {1 = – 2C} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{1}{4}}\\ {C = – \frac{1}{2}}

\end{array}} \right.$

Phần trước: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến loại 2.

Phần sau: Tích phân

Kiểm tra năng lực: Phần tính nguyên hàm bằng phương pháp cân bằng đại số