Phương trình đường thẳng đối xứng

Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I

. Bài 4 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao – Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Cho đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và điểm \[I[{x_0};{y_0}].\]Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng Δ qua I.

Đường thẳng Δ’ đối xứng với đường thẳng Δ qua  I thì Δ // Δ’ do đó phương trình tổng quát của Δ’ có dạng \[ax + by + c’ = 0\,\,[c’ \ne c]\].Ta có

Loại trường hợp \[c=c’\].

Vậy \[\Delta ‘\,\,ax + by – c – 2[a{x_o} + b{y_o} + c] = 0\]

Bạn có muốn xem: Tìm phương trình đường thẳng bằng phép tịnh tiến

Như đã hứa trong bài giảng trước thì hôm nay thầy sẽ gửi tới các bạn dạng toán: Tìm phương trình đường thẳng bằng phép đối xứng tâm. Đối với dạng toán này thì nền tảng kiến thức chúng ta sẽ dựa vào tính chất, biểu thức tọa độ và tọa độ của điểm để giải. Như vậy sẽ một số phương pháp thầy hướng dẫn chúng ta như sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng dựa vào biểu thức tọa độ
2. Tìm phương trình đường thẳng dựa vào tính chất
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Với dạng toán trong phép đối xứng tâm chúng ta sẽ xét hai trường hợp: Tâm đối xứng là gốc tọa độ và tâm đối xứng là một điểm bất kì cho trước. Sau đây là bài tập áp dụng.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm I[1;2], đường thẳng d có phương trình $3x-y+9=0$. Hãy xác định phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua:

a. Phép đối xứng qua gốc tọa độ

b. Phép đối xứng qua tâm I

Hướng dẫn giải

a. Tâm đối xứng là gốc tọa độ

Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ

Gọi A[x;y] là một điểm bất kì thuộc đường thẳng d và A'[x’;y’] thuộc đường thẳng d’ là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm 0. Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{ll}x’=-x\\y’=-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=-x’\\y=-y’\end{array}\right.$

Thay x; y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta được: $3[-x’]-[-y’]+9=0 \Leftrightarrow -3x’+y’+9=0 \Leftrightarrow 3x’-y’-9=0$.

Vậy phương trình của đường thẳng d’ là: $3x-y-9=0$

Cách 2: Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm

Vì đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O nên d’ sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó đường thẳng d’ sẽ có phương trình là: $3x-y+c=0$. Chúng ta cần phải tìm c trong phương trình này.

Để xác định được c các bạn sẽ đi tìm 1 điểm thuộc đường thẳng d’. Để tìm được điểm này các bạn chỉ cần lấy 1 điểm thuộc d, sau đó xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O.

Lấy điểm M[-2;3] thuộc d. Gọi M’ thuộc d’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O. Khi đó M'[2;-3]

Vì điểm M’ thuộc d’ nên ta có: $2.3-[-3]+c=0 \Leftrightarrow c=-9$.

Vậy phương trình của đường thẳng d’ là: $3x-y-9=0$

Cách 3: Tìm 2 điểm M’, N’ thuộc d’ và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này.

Lấy hai điểm M[-2;3] và N[0;9] thuộc đường thẳng d. Khi đó ảnh của hai điểm M và N qua phép đối xứng tâm O sẽ là hai điểm M’ và N’ thuộc đường thẳng d’. Ta có tọa độ hai điểm M’ và N’ là: M'[2;-3] và N'[0;-9]

Vectơ $\vec{M’N’}[-2;-6] \Rightarrow$ đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}[3;-1]$

Đường thẳng d’ đi qua M'[2;-3] nhận $\vec{n}[3;-1]$ làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

$3[x-2]-1[y+3]=0 \Leftrightarrow 3x-y-9=0$

b. Tâm đối xứng là điểm I

Với trường hợp này chúng ta cũng sẽ tiến hành giải theo 3 cách tương tự như trên. Tuy nhiên tâm đối xứng lúc này không phải gốc tọa độ nữa mà là một điểm I[1;2] khác O. Do đó các bạn để ý biểu thức tọa độ lúc này sẽ khác đấy nhé.

Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ

Gọi M[x;y] thuộc đường thẳng d và M'[x’;y’] là ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm I[1;2]. Khi đó ta sẽ có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2x_0-x’\\y=2y_0-y’\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=2.1-x’\\y=2.2-y’\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x=2-x’\\y=4-y’\end{array}\right.$

Thay x; y ở trên vào phương trình đường thẳng d ta được:

$3[2-x’]-[4-y’]+9=0 \Leftrightarrow 6-3x’-4+y’+9=0\Leftrightarrow -3x’+y’+11=0$

$\Leftrightarrow 3x-y-11=0$

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: $3x-y-11=0$

Cách 2: Sử dụng tính chất

Vì đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I[1;2] nên d’ sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d. Do đó đường thẳng d’ sẽ có phương trình là: $3x-y+c=0$. Chúng ta cần phải tìm c trong phương trình này.

Lấy điểm M[-2;3] thuộc d. Gọi M'[x’;y’] thuộc d’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=2.[1]-[-2]\\y’=2.2-3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=4\\y’=1\end{array}\right.$

Vậy điểm M'[4;1]

Vì điểm M’ thuộc d’ nên ta có: $3.4-1+c=0 \Leftrightarrow c=-11$.

Vậy phương trình của đường thẳng d’ là: $3x-y-11=0$

Cách 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Lấy điểm M[-2;3] thuộc d. M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì M'[4;1] [lấy kết quả từ cách 2]

Lấy điểm N[-3;0] thuộc d. Gọi N'[x’;y’] là ảnh của N qua phép đối xứng tâm I. Theo biểu thức tọa độ ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=2.[1]-[-3]\\y’=2.2-0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=5\\y’=4\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của N’ là: N'[5;4]

Vectơ $\vec{M’N’}=[1;3] \Rightarrow$ vectơ pháp tuyến của đường thẳng d’ là: $\vec{n_{d’}}=[-3;1]$

Đường thẳng d’ đi qua M'[4;1] nhận $\vec{n_{d’}}=[-3;1]$ làm VTPT có phương trình là:

$-3[x-4]+1[y-1]=0 \Leftrightarrow -3x+y+11=0 \Leftrightarrow 3x-y-11=0$

Bài 2:  Cho đường thẳng d’ có phương trình: $x+y-1=0$ và điểm M[1;2]. Tìm phương trình đường thẳng d biết d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M.

Hướng dẫn giải

Khi đọc bài toán này các bạn sẽ thấy khác bài toán trên một chút ở chỗ là: bài toán đã cho phương trình đường thẳng ảnh, yêu cầu tìm phương trình đường thẳng tạo ảnh. Với bài toán này chúng ta vẫn hoàn toán áp dụng 3 cách làm như trên, tuy nhiên trong bài này thầy chỉ hướng dẫn làm 1 cách vì bài viết cũng khá dài rồi.

Cách làm: Dựa vào biểu thức tọa độ

Gọi A[x;y] là điểm thuộc đường thẳng d và A'[x’;y’] là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm M. Khi đó A’ thuộc d’.

Ta sẽ có tọa độ của A’ thỏa mãn phương trình: $x’+y’-1=0$       [1]

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ta có:

$\left\{\begin{array}{ll}x’=2x_0-x\\y’=2y_0-y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=2.1-x\\y’=2.2-y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}x’=2-x\\y’=4-y\end{array}\right.$

Thay x’; y’ ở trên vào phương trình [1] ta được:

$2-x+4-y-1=0 \Leftrightarrow -x-y+5=0 \Leftrightarrow x+y-5=0$

Vậy phương trình đường thẳng d là:  $x+y-5=0$

Với hai cách làm còn lại cho bài toán này các bạn áp dụng tương tự như trong bài tập 1 nhé.

Vậy là qua hai bài tập trên thầy đã hướng dẫn các bạn rất chi tiết phương pháp tìm phương trình đường thẳng bằng phép đối xứng tâm. Đây là dạng bài tập rất cơ bản nhé. Còn nhiều dạng bài tập nữa trong việc tìm phương trình đường thẳng tuy nhiên các bạn vẫn phải dựa vào kiến thức cơ sở trong bài giảng này. Các bạn có thể rèn luyên thêm hai bài tập bên dưới. Các bạn có thể thảo luận thêm trong hộp bình luận phía dưới nhé.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình: $x+2y-2=0$ và điểm A[1;2]. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm A.

Bài 2:  Cho đường thẳng d’ có phương trình: $x+2y-2=0$ và điểm B[2;1]. Tìm phương trình đường thẳng d biết d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm B.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Cho điểm $N\left[ { - 2;3} \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng 

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

Khẳng định nào sau đây sai ?