Phương pháp giải:
+] Đặt điều kiện xác định của biểu thức.
+] Quy đồng mẫu, biến đổi các biểu thức sau đó rút gọn biểu thức đã cho.
+] Xét hiệu \[P - 3,\] so sánh hiệu đó với \[0\] rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a] Rút gọn\[P.\]
Điều kiện xác định: \[x \ne 1;x > 0\]
\[\begin{array}{l}P = 1:\left[ {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}} \right]\\ = 1:\left[ {\frac{{x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}} \right]\\ = 1:\frac{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right] + {{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}\left[ {\sqrt x - 1} \right] - \left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}\\ = 1:\frac{{x\sqrt x + x + 2\sqrt x + 2 + x\sqrt x + x - \sqrt x - 1 - \left[ {x\sqrt x + x + \sqrt x + x + \sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}\\ = \frac{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}{{x\sqrt x - \sqrt x }}\\ = \frac{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]}}{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\]
b] So sánh\[P\]với\[3.\]
Điều kiện xác định: \[x \ne 1;x > 0\]
Xét hiệu: \[P - 3 = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x + \sqrt x + 1 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}}}{{\sqrt x }}\]
Với \[x \ne 1;x > 0\] ta có: \[\sqrt x > 0;\,\,{\left[ {\sqrt x - 1} \right]^2} > 0 \Rightarrow P - 3 > 0 \Leftrightarrow P > 3.\]