Giải Toán 11 Bài 2: Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
Video Giải Bài tập 1 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số
Bài tập 1 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a] Có tất cả bao nhiêu số?
b] Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c] Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Lời giải:
a] Cách 1: Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là một cách sắp xếp 6 chữ số hay một hoán vị của 6 phần tử:
Vậy có P6 = 6! = 720 [số]
Cách 2: Số tự nhiên có thể có là abcdef¯, với a, b, c, d, e, f∈1;2;3;4;5;6 và a, b, c, d, e, f đôi một khác nhau.
a có 6 cách
b≠a nên có 5 cách chọn
c≠b,a nên có 4 cách chọn
d≠c,b,a nên có 3 cách chọn
e≠d,c,b,a nên có 2 cách chọn
f≠e,d,c,b,a nên có 1 cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số
b] Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng abcdef¯, với a, b, c, d, e, f ∈1;2;3;4;5;6, có kể đến thứ tự, f chia hết cho 2 .
f chia hết cho 2 nên f∈{2;4;6} có 3 cách.
e≠f nên có 5 cách chọn.
d≠e,f nên có 4 cách chọn.
c≠f,e,d nên có 3 cách chọn.
b≠f,e,d,c nên có 2 cách chọn.
a≠f,e,d,c,b nên có 1 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.
Do đó có: 720 – 360 = 360 số tự nhiên lẻ.
Cách khác:
Với f∈2,4,6 nên có 3 cách chọn
5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự.
Theo quy tắc nhân có 3.5! = 360 [số chẵn].
Tương tự ta cũng có 360 số lẻ.
Vậy có 360 số chẵn và 360 số lẻ.
c] Gọi số tự nhiên cần lập có dạng là abcdef¯, với a, b, c, d, e, f∈1;2;3;4;5;6
Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: a = 4, b = 3
Có 1 cách chọn a và 1 cách chọn b.
c < 2 nên c = 1, có 1 cách chọn c.
Số cách chọn d, e, f là số hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách.
Do đó có 1.1.1.3! = 6 số.
Trường hợp 2: a = 4, b < 3.
Có 1 cách chọn a.
b < 3 nên , có 2 cách chọn b.
Số cách chọn c, d, e, f là số hoán vị của 4 chữ số nên có 4! cách.
Do đó có 2.4! = 48 số.
Trường hợp 3: a < 4.
Vì a < 4 nên và có 3 cách chọn a.
Số cách chọn các chữ số b, c, d, e, f là số hoán vị của 5 chữ số còn lại nên có 5! cách.
Do đó có 3.5! = 360 số.
Vậy có 6 + 48 + 360 = 414 số bé hơn 432 000.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Hoạt động 1 trang 47 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3...
Hoạt động 2 trang 49 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm mười người...
Hoạt động 3 trang 49 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D...
Hoạt động 4 trang 51 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy liệt kê tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A...
Hoạt động 5 trang 52 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu...
Bài tập 2 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế thành 1 dãy...
Bài tập 3 trang 54 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau...
Bài tập 4 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau...
Bài tập 5 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau...
Bài tập 6 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng...
Bài tập 7 trang 55 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song...
Những bài toán về các con số và tìm ra các số lập được từ những số cho trước luôn là một đề tài khá thú vị và được sử dụng phổ biến trong các kỳ thi toán hay các bài thi cuối kỳ của bậc tiểu học và trung học cơ sở. Vậy bạn có biết từ các số 1 2 3 4 5 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số không? Nếu bạn chưa biết cách tìm ra số số tự nhiên gồm 4 chữ số lập được từ dãy số này thì đừng bỏ qua bài viết dưới đây nhé. Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra các dạng bài toán và cách giải về chủ đề lập các số tự nhiên gồm 4 chữ số từ các số 1 2 3 4 5 6.
Đầu tiên chúng ta gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần lập là abcd. Chúng ta có một nhận xét chung rằng các số a, b, c, d đều có thể lựa chọn để lập số. Suy ra có đều có 7 cách để chọn ra a, b, c, d.
Vậy số cách lập các số tự nhiên gồm 4 chữ số từ 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 7^4 cách.
Ở bài toán này có một chút phức tạp hơn so với cách lập số tự nhiên gồm 4 chữ số trên vì các chữ số trong các số được lập cần đôi một khác nhau. Nói một cách dễ hiểu ở cách lập số có 4 chữ số trên bạn có thể lập được số 1111, 2222, 3333, 4444 hoặc 1122, 1133, 1144, … Còn theo bài toán thứ 2 này chúng ta cần lập số có 4 chữ số đôi một khác nhau ví dụ như 1234, 2134, 4321, …
Ta cũng gọi số cần lập là abcd và dễ thấy a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 5 cách chọn, d có 4 cách chọn.
Suy ra số cách lập được số 4 chữ số đôi một khác nhau từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 7 x 6 x 5 x 4 = 840 cách.
Tương tự chúng ta cũng gọi số tự nhiên cần lập là abcd, trong đó d chỉ được bằng 2 hoặc bằng 4 hoặc bằng 6 để đáp ứng điều kiện là số chẵn. Vậy d có 3 cách chọn.
a, b, c đều có 7 cách chọn. Nên số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số là 3 x 7^3= 1029 cách.
Chúng ta chọn d có 3 cách chọn là 2, 4 hoặc 6. Chọn a có 6 cách, b có 5 cách, c có 4 cách chọn.
Suy ra số cách lập được số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau là 3 x 6 x 5 x 4 = 360 cách.
Gọi số tự nhiên cần lập là abcd, ta thấy a có 1 cách chọn và là số 2.
b, c, d đều có 7 cách chọn. Suy ra số cách lập được các số tự nhiên có 4 chữ số bắt đầu bằng số 2 từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 1 x 7 x 7 x 7 = 343 cách.
Ta thấy d có 5 cách chọn là 1, 2, 3, 4, 6. Chọn a, b, c đều có 7 cách chọn. Suy ra số cách lập được số tự nhiên có 4 chữ số không chia hết cho 5 là 5 x 7 x 7 x 7 = 1715 cách.
Vừa rồi chúng ta đã hệ thống lại các dạng bài toán từ các số 1 2 3 4 5 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số cùng với những cách giải cụ thể và chi tiết. Hy vọng những bài toán và thông tin trên đã cung cấp cho các bạn những kiến thức hữu ích để có thêm những bài toán bổ ích và những cách giải thích hợp, chính xác nhất. Chúc các bạn may mắn.
530 lượt xem
Chuyên đề Quy tắc đếm đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán về dãy số 11. Tài liệu bao gồm công thức, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề Cấp số cộng, cấp số nhân lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Lời giải chi tiết
Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là
Do tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
=> a + b + c – 1 = d + e + f
=> 20 = 2[d + e + f]
=> d + e + f = 10
Do số tự nhiên cần lập là số lẻ => f thuộc {1; 3; 5}
Với mỗi f thuộc {1; 3; 5}
=> d, e có 4 cách chọn
=> Số cách chọn là 4 . 3! = 24 cách chọn
=> Có 3 . 24 = 72 cách chọn
Vậy có thể lập được tất cả 72 số thỏa mãn yêu cầu đề bài
Quy tắc cộng
Một công việc sẽ được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y. Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất cứ cách thực hiện nào của X thì công việc đó sẽ có m + n cách thực hiện.
Cách phân biệt quy tắc cộng, quy tắc nhân
+ Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc [không có kết quả] thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
+ Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc [có kết quả] thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
----------------------------------------------------
Một số tài liệu liên quan:
Quy tắc cộng Quy tắc nhân là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!