TÍCH VÔ HIÍ0NG CỦA HAI VECTSf VÀ IÌNG DỤNG Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0° đến 180° Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu thêm một phép toán mới về vectơ, dó là phép nhân vô hướng của hai vectơ. Phép nhân này cho kết quà là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc a bốt kì vối 0° < a < 180° là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn O'đã biết ỏ lớp 9. §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BAT kì TỪ 0° ĐẾN 180° 1 Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn ABC - a. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn a đã học ở lớp 9. Hình 2.1 ^2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm 0 nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị [h.2.2]. Nếu cho trước một góc nhọn a thì ta có thể xác định một điểm A4 duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xO/W = a. Giả sử điểm M có toạ độ [x0; y0]. Hình 2.2 Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc a bất kì với 0° < a < 180°, ta có định nghĩa sau đây : Định nghĩa Với mỗi góc a [0° < a < 180°] ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị [h.2.3] sao cho xOM = a và giả sử điểm M có toạ độ M[x0 ; y0]. Khi đó ta định nghĩa: sin của góc Cố là y0, kí hiệu sin a - y0 ; côsin của góc cdà Xq, kí hiệu cos cz= x0; 7 x v yA . yQ tang của góc a là — [x0 0], kí hiệu tana= — ; • côtang của góc a là — [y0 * 0], kí hiệu cotcz = —. Các Số sina, cosa, tano, cotađược gọi là các giá trị lượng giác của góc a. Ví dụ. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°. Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = 135°. Khi đó ta có . /T Vậy sinl35u=-^—; cosl35°=-—7- 2 '2 [h.2.4]. yOM = 45° . Từ đó ta suy ra toạ độ của điểm M là O = 7| 2 tanl35°=-l; cotl35° =-1. Chú ý.* Nếu alà góc tù thì coscz< 0, tanơ< 0, cotac 0. • tan a chỉ xác định khi a 90°, cotưchỉ xác định khi a 0° và a *180°. Tính chất Trên hình 2.5 ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM - a thì xON = 180° - a. Ta có yM = yN = }>Q, XM = -XN = XQ . Do đó sina= sin [180° - à] cosa=-cos[180°- à] tana- - tan [ì 80° - à] cota= - cot [180° - 6Ộ. X Hình 2.5 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi. Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta cần ghi nhớ. Bảng giá trị lượng giác của các góc dạc biệt Giá tr|\. a lượng giác 0° 30° 45° 60° o O Ch 180° sina 0 1 2 72 2 73 2 1 0 cosư 1 73 2 72 2 1 2 0 -1 tan a 0 1 7^ 1 73 II 0 cotứr II 73 1 1 73 0 II Trong bảng, kí hiệu " II " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn : sin 120° = sin[l 80° - 60°] - sin 60° = y- Ư2 • COS1350 = cos[180°-45°] =-cos45° =- 2 • ^3 Tìm các giá trị lượng giác của các góc 120°, 150°. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectợ 0 . Từ một điểm o hất kì ta vẽ OA = a yà OB = ĩ]. Góc AOB với số đo từ 0° đến |ị 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .Ta kí hiệu góc I giữa hai vectơ a và b là [a , b] [h.2.6]. Nếu [a , h ]= 90“ thì ta nói rằng a và h vuông góc với nhau, kí hiệu là a 1 b II hoặc b la. Chú ý. Từ định nghĩa ta có [] = [b , a]. Hình 2.6 ■^4 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0° ? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180° ? Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 50° [h.2.7]. Khi đó : [BA, BC] = 50° , [AB, BC] = 130°, [CA, CB] = 40°, [AC, BC] = 40° , [AC, CB] = 140°, [AC, BA] = 90°. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau : Tính các giá trị lượng giác của góc a Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây : Deg Rad Gra 1 2 3 Sau đó ấn phím I 1 I để xác định đơn vị đo góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc. • Tính sina, COS a và tana. Ví dụ 1-Tính sin 63° 52'41". Ấn liên tiếp các phím sau đây : sin 63 52 41 O’” Ta được kết quả là : sin 63° 52' 41" - 0, 897859012. Để tính cosa và tana ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím bằng phím COS hay tan sin Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc X khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau. Ví dụ 2. Tìm X biết siriA' = 0,3502. Ta ấn liên tiếp các phím sau đây : SHIFT sin 0.3502 Ẹ] SHIFT và được kết quả là : X- 20°29’58". Muốn tìm X khi biết cosx, tanx ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím bằng phím COS tan sin Câu hỏi và bài tạp Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có : a] sin A = sin[B + C]; b] cos A = -cos[B + C]. Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = ữ và có các đường cao OH và AK. Giả sử ẤỜH = a. Tính AK và OK theo a và a. Chứng minh rằng : sin 105° = sin 75° ; cosl70° = -COS 10° ; COSỈ220 = -cos58°. 4. 5. 6. Chứng minh rằng với mọi góc a [0° < a < 180°] ta đều có COS2 a + sin oc — 1. Cho góc X, với COS * = 3 • Tính giá trị của biểu thức : p = 3 sin ° X + COS2 X. Cho hình vuông ABCD. Tính : cos[ AC, BA], sin[ AC, BD ], cos[ AB, CD].
congthuc.edu.vn nhắc lại kiến thức giá trị lượng giác của một góc, dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Ta cần ghi nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt : 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° và 180° [Các giá trị lượng giác này cũng có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi].
Kết quả được cho trong bảng dưới đây.
Dấu của các giá trị lượng giác
Chúng ta đã biết, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương. Tuy nhiên, điều đó sẽ không còn đúng cho trường hợp của góc tù. Tại sao lại như vậy?
Xét hình vẽ : Khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì dễ thấy rằng:
Từ đó, ta có bảng sau đây về dấu của các tỉ số lượng giác:
Như vậy, sin của góc tù luôn dương còn côsin, tang, côtang của góc tù luôn âm.
Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], nửa đường tròn tâm \[O\] nằm phía trên trục hoành bán kính \[R=1\] được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Với mỗi góc \[\alpha\] [\[0^o\le\alpha\le180^o\]] ta xác định được duy nhất một điểm \[M\] trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \[\widehat{xOM}=\alpha\] và giả sử điểm \[M\] có toạ độ \[M\left[x_0;y_0\right]\]. Khi đó ta định nghĩa:
+ \[\sin\] của góc \[\alpha\] là \[y_0\], kí hiệu \[\sin\alpha=y_0\] ;
+ côsin của góc \[\alpha\] là \[x_0\], kí hiệu là \[\cos\alpha=x_0\] ;
+ tang của góc \[\alpha\] là \[\dfrac{y_0}{x_0}\] [\[x_0\ne0\]], kí hiệu là \[\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}\] ;
+ côtang của góc \[\alpha\] là \[\dfrac{x_0}{y_0}\] [\[y_0\ne0\]], kí hiệu là \[\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}\].
Các số \[\sin\alpha\], \[\cos\alpha\], \[\tan\alpha\], \[\cot\alpha\] được gọi là các giá trị lượng giác của góc \[\alpha\].
Ví dụ 1: Cho góc \[\alpha=135^o\]. Tìm các giá trị lượng giác của góc \[\alpha\].
Giải:
Lấy điểm \[M\] trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \[\widehat{xOM}=135^o\].
Khi đó ta có \[\widehat{yOM}=45^o\].
Từ đó ta suy ra toạ độ điểm \[M\] là \[M\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\].
Vậy \[\sin135^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] ; \[\cos135^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] ;
\[\tan135^o=-1\] ; \[\cot135^o=-1\].
Chú ý: +] Nếu \[\alpha\] là góc tù thì \[\cos\alpha< 0\], \[\tan\alpha< 0\], \[\cot\alpha< 0\].
+] \[\tan\alpha\] chỉ xác định khi \[\alpha\ne90^o\]
\[\cot\alpha\] chỉ xác định khi \[\alpha\ne0^o\] và \[\alpha\ne180^o\].
@1953462@
Cũng trên nửa đường tròn đơn vị, ngoài điểm \[M\left[x_0;y_0\right]\] ta lấy điểm \[N\] sao cho dây cung \[NM\] song song với trục \[Ox\] và nếu \[\widehat{xOM}=\alpha\] thì \[\widehat{xON}=180^0-\alpha\].
Ta có \[y_M=y_N=y_0\] , \[x_M=-x_N=x_0\].
Từ đó ta suy ra tính chất:
\[\sin\alpha=\sin\left[180^o-\alpha\right]\]
\[\cos\alpha=-\cos\left[180^o-\alpha\right]\]
\[\tan\alpha=-\tan\left[180^o-\alpha\right]\]
\[\cot\alpha=-\cot\left[180^o-\alpha\right]\]
Ví dụ: \[\sin20^o=\sin160^o\] [do \[20^o+160^o=180^o\]]
\[\cos52^o=-\cos128^o\] [do \[52^o+128^o=180^o\]]
\[\tan30^o=-\tan150^o\] [do \[30^o+150^o=180^o\]]
\[\cot75^o=-\cot105^o\] [do \[75^o+105^o=180^o\]]
@1953548@
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| \[\alpha\] | \[0^o\] | \[30^o\] | \[45^o\] | \[60^o\] | \[90^o\] | \[180^o\] |
| \[\sin\alpha\] | \[0\] | \[\dfrac{1}{2}\] | \[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] | \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] | \[1\] | \[0\] |
| \[\cos\alpha\] | \[1\] | \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] | \[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] | \[\dfrac{1}{2}\] | \[0\] | \[-1\] |
| \[\tan\alpha\] | \[0\] | \[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\] | \[1\] | \[\sqrt{3}\] | \[||\] | \[0\] |
| \[\cot\alpha\] | \[||\] | \[\sqrt{3}\] | \[1\] | \[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\] | \[0\] | \[||\] |
Trong bảng, kí hiệu "\[||\]" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Ví dụ: \[\sin120^o=\sin\left[180^o-60^o\right]=\sin60^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] ;
\[\cos135^o=\cos\left[180^o-45^o\right]=-\cos45^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] ;
\[\tan150^o=\tan\left[180^o-30^o\right]=-\tan30^o=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\] ; ...
@1954091@
a] Định nghĩa:
Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] đều khác vectơ \[\overrightarrow{0}\]. Từ một điểm \[O\] bất kì ta vẽ \[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\]. Góc \[\widehat{AOB}\] với số đo từ \[0^o\] đến \[180^o\] được gọi là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\]. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] là \[\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\]. Nếu \[\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=90^o\] thì ta nói rằng \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\] hoặc \[\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{a}\].
b] Chú ý: Từ định nghĩa ta có \[\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right]\].
Nhận xét: Khi hai vectơ cùng hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \[0^o\] ;
Khi hai vectơ ngược hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \[180^o\].
c] Ví dụ
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] và có góc \[\widehat{B}=50^o\].
Khi đó ta có: \[\left[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right]=50^o\] ; \[\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right]=130^o\] ;
\[\left[\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right]=40^o\] ; \[\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right]=40^o\] ;
\[\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right]=140^o\] ; \[\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right]=90^o\].
@1954877@
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau:
a] Tính các giá trị lượng giác của góc \[\alpha\]
Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây:
Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đo góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc.
Ví dụ 1: Tính \[\sin63^o52'41''\].
Ấn liên tiếp các phím:
Ta được kết quả là: \[\sin63^o52'41''\approx0,897859012\].
b] Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc \[x\] khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm \[x\] biết \[\sin x=0,3502\].
Ta ấn liên tiếp các phím sau:
và được kết quả là: \[x\approx20^o29'58''\].
Page 2
0%
Đúng rồi !
Thảo luận
Page 3
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Trước Sau
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
- Toán lớp 10
- Ngữ văn lớp 10
- Tiếng Anh lớp 10