Tìm giá trị x ∈ n thỏa mãn 3A4x 24 A3x+1 − Cx− 4x

Giải phương trình tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp là phần nâng cao thuộc chương trình lớp 11.

• Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
• Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

• Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
• Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}.$ Ta có $6\left[ {{P_x} - {P_{x - 1}}} \right] = {P_{x + 1}} \Leftrightarrow 6\left[ {x! - \left[ {x - 1} \right]!} \right] = \left[ {x + 1} \right]! \Leftrightarrow 6\left[ {x - 1} \right]!.\left[ {x - 1} \right] = \left[ {x - 1} \right]!.x\left[ {x + 1} \right]$

$ \Leftrightarrow 6.\left[ {x - 1} \right] = x\left[ {x + 1} \right] \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left[ {nhan} \right]\\x = 3{\rm{ }}\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn C.

Ta có ${P_2}.{x^2}--{P_3}.x = 8 \Leftrightarrow 2!.{x^2} - 3!.x = 8 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$ -> S = - 1 + 4 = 3

Chọn D.

Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $3A_x^2 - A_{2x}^2 + 42 = 0 \Leftrightarrow 3.\frac{{x!}}{{\left[ {x - 2} \right]!}} - \frac{{\left[ {2x} \right]!}}{{\left[ {2x - 2} \right]!}} + 42 = 0$

$ \Leftrightarrow 3.\left[ {x - 1} \right].x - \left[ {2x - 1} \right].2x + 42 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 7\left[ {loai} \right]\\x = 6\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $x \ge 10$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left[ {x - 10} \right]!}} + \frac{{x!}}{{\left[ {x - 9} \right]!}} = 9\frac{{x!}}{{\left[ {x - 8} \right]!}}$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{1}{{x - 9}} = \frac{9}{{\left[ {x - 9} \right]\left[ {x - 8} \right]}} \Leftrightarrow {x^2} - 16x + 55 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\left[ {nhan} \right]\\x = 5\left[ {loai} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}.$ Ta có $A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left[ {n + 15} \right] \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left[ {n - 3} \right]!}} + 5.\frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} - 2n - 30 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {n - 2} \right].\left[ {n - 1} \right].n + 5.\left[ {n - 1} \right].n - 2n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^3} + 2{n^2} - 5n - 30 = 0 \Leftrightarrow n = 3.$ Chọn B.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$ Ta có $C_{n + 1}^1 + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3 \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{1!.n!}} + 3.\frac{{\left[ {n + 2} \right]!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{3!.\left[ {n - 2} \right]!}}$ $ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left[ {n + 1} \right].\left[ {n + 2} \right]}}{2} = \frac{{\left[ {n - 1} \right].n.\left[ {n + 1} \right]}}{6} \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left[ {n + 2} \right]}}{2} = \frac{{\left[ {n - 1} \right].n.}}{6}$

$ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\left[ {loai} \right]\\n = 12\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn A.

Điều kiện: $0 \le x \le 12$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left[ {14 - x} \right]!}} + \frac{{14!}}{{\left[ {x + 2} \right]!\left[ {12 - x} \right]!}} = 2\frac{{14!}}{{\left[ {x + 1} \right]!\left[ {13 - x} \right]!}}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left[ {14 - x} \right]\left[ {13 - x} \right]}} + \frac{1}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]}} = 2.\frac{1}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {13 - x} \right]}}\\ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right] + \left[ {14 - x} \right]\left[ {13 - x} \right] = 2\left[ {x + 2} \right]\left[ {14 - x} \right]\end{array}$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = 8 \end{array} \right. \to P = 4.8 = 32.$

Chọn B.

Điều kiện: $n \ge 1$ và $n \in \mathbb{N}$. Ta có $\frac{1}{{C_n^1}} - \frac{1}{{C_{n + 1}^2}} = \frac{7}{{6C_{n + 4}^1}} \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n - 1} \right]!}}{{n!}} - \frac{{2!.\left[ {n - 1} \right]!}}{{\left[ {n + 1} \right]!}} = \frac{{7\left[ {n + 3} \right]!}}{{6\left[ {n + 4} \right]!}} \Leftrightarrow \frac{1}{n} - \frac{2}{{n\left[ {n + 1} \right]}} = \frac{7}{{6\left[ {n + 4} \right]}}$

$ \Leftrightarrow {n^2} - 11n + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\left[ {nhan} \right]\\n = 8\left[ {nhan} \right]\end{array} \right. \to S = 3 + 8 = 11.$ Chọn B.

Điều kiện: $x \in \mathbb{N}$. Ta có $C_x^0 + C_x^{x - 1} + C_x^{x - 2} = 79 \Leftrightarrow C_x^0 + C_x^1 + C_x^2 = 79$

$ \Leftrightarrow 1 + x + \frac{{x\left[ {x - 1} \right]}}{2} = 79 \Leftrightarrow {x^2} + x - 156 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left[ {nhan} \right]\\x = - 13\left[ {loai} \right]\end{array} \right..$ Chọn D.

Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$. Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left[ {n + 3} \right] \Leftrightarrow C_{n + 4}^3 - C_{n + 3}^3 = 7\left[ {n + 3} \right]$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 4} \right]\left[ {n + 2} \right]}}{{3!}} - \frac{{\left[ {n + 2} \right]\left[ {n + 1} \right]}}{{3!}} = 7 \Leftrightarrow 3n - 36 = 0 \Leftrightarrow n = 12\left[ {nhan} \right].$ Chọn D.

Ta có $C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = \frac{{7n}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left[ {n - 1} \right]!}} + \frac{{n!}}{{2!.\left[ {n - 2} \right]!}} + \frac{{n!}}{{3!\left[ {n - 3} \right]!}} = \frac{{7n}}{2}$
$ \Leftrightarrow {n^2} - 16 = 0 \to n = 4.$ Chọn B.

Điều kiện: $x \ge 3$ và $x \in \mathbb{N}.$ Ta có $C_x^1 + 6C_x^2 + 6C_x^3 = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{1!.\left[ {x - 1} \right]!}} + 6.\frac{{x!}}{{2!.\left[ {x - 2} \right]!}} + 6.\frac{{x!}}{{3!.\left[ {x - 3} \right]!}} = 9{x^2} - 14x$

$ \Leftrightarrow x + 3x\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]x = 9{x^2} - 14x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left[ {loai} \right]\\x = 2\left[ {loai} \right]\\x = 7\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $n \ge 9$ và $n \in \mathbb{N}.$ Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$ $ \Leftrightarrow C_n^6 + C_n^7 + 2\left[ {C_n^7 + C_n^8} \right] + C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = 2C_{n + 2}^8$

$ \Leftrightarrow \left[ {C_{n + 1}^7 + C_{n + 1}^8} \right] + \left[ {C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9} \right] = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = 2C_{n + 2}^8$$ \Leftrightarrow C_{n + 2}^9 = C_{n + 2}^8 \to n + 2 = 9 + 8 \Leftrightarrow n = 15.$ Chọn C.

Áp dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$, ta có $C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2007}^7$. Do đó A đúng. Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k} \to \left\{ \begin{array}{l} C_{2006}^6 = C_{2006}^{2000}\\ C_{2006}^7 = C_{2006}^{1999} \end{array} \right..$ Suy ra $C_{2007}^7 = C_{2006}^6 + C_{2006}^7 = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^{1999} = C_{2006}^{2000} + C_{2006}^7$. Do đó C, D đúng; B sai.

Chọn B.

Ta có $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{{n\left[ {n + 1} \right]}}{2}$ và $C_{n + 1}^2 = \frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{2!\left[ {n + 1 - 2} \right]!}} = \frac{{n\left[ {n + 1} \right]}}{2}.$
Do đó A đúng. Chọn A.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$ Ta có ${P_n}A_n^2 + 72 = 6\left[ {A_n^2 + 2{P_n}} \right] \Leftrightarrow n!.\frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} + 72 = 6\left[ {\frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} + 2.n!} \right]$ $ \Leftrightarrow n!.\left[ {n - 1} \right].n + 72 = 6\left[ {\left[ {n - 1} \right]n + 2.n!} \right] \Leftrightarrow \left[ {n! - 6} \right]\left[ {{n^2} - n - 12} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {n^2} - n - 12 = 0\\ n! - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 4\left[ {nhan} \right]\\ n = - 3\left[ {loai} \right]\\ n = 3\left[ {nhan} \right] \end{array} \right. \to P = 4.3 = 12.$

Chọn A.

Điều kiện: $x \ge 1$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $7\left[ {A_{x + 1}^{x - 1} + 2{P_{x - 1}}} \right] = 30{P_x} \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{\left[ {x + 1} \right]!}}{{2!}} + 2\left[ {x - 1} \right]!} \right] = 30x!$

$ \Leftrightarrow 7\left[ {\frac{{x\left[ {x + 1} \right]}}{2} + 2} \right] = 30x \Leftrightarrow 7{x^2} - 53x + 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\left[ {nhan} \right]\\x = \frac{4}{7}\left[ {loai} \right]\end{array} \right. \to P = 7.$ Chọn A.

Áp dụng công thức $C_n^k = C_n^{n - k}$, ta có $C_{n + 8}^{n + 3} = 5A_{n + 6}^3 \Leftrightarrow C_{n + 8}^5 = 5.A_{n + 6}^3$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 8} \right]\left[ {n + 7} \right]}}{{5!}} = 5 \Leftrightarrow {n^2} + 15n - 544 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 17\left[ {nhan} \right]\\n = - 32\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $x \ge 2$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $A_x^2.C_x^{x - 1} = 48 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left[ {x - 2} \right]!}}.\frac{{x!}}{{\left[ {x - 1} \right]!.1!}} = 48$

$ \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]x.x = 48 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow x = 4\left[ {tho\^u a ma\~o n} \right].$ Chọn A.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$ Ta có $A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} - \frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{\left[ {n - 1} \right]!2!}} = 5 \Leftrightarrow \left[ {n - 1} \right].n - \frac{{n\left[ {n + 1} \right]}}{2} - 5 = 0$

$ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\;\left[ {loai} \right]\\n = 5\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}.$ Ta có $A_n^2 - 3C_n^2 = 15 - 5n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} - 3.\frac{{n!}}{{2!.\left[ {n - 2} \right]!}} = 15 - 5n$ $ \Leftrightarrow n\left[ {n - 1} \right] - 3\frac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - {n^2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left[ {nhan} \right]\\n = 5\left[ {nhan} \right]\end{array} \right.$ -> P = 5.6 = 30

Chọn C.

Điều kiện: $x \ge 4$ và $x \in \mathbb{N}$. Ta có $3A_x^4 = 24\left[ {A_{x + 1}^3 - C_x^{x - 4}} \right] \Leftrightarrow 23.\frac{{x!}}{{\left[ {x - 4} \right]!}} = 24.\left[ {\frac{{\left[ {x + 1} \right]!}}{{\left[ {x - 2} \right]!}} - \frac{{x!}}{{\left[ {x - 4} \right]!.4!}}} \right]$ $ \Leftrightarrow 23.\frac{1}{{\left[ {x - 4} \right]!}} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left[ {x - 2} \right]!}} - \frac{1}{{\left[ {x - 4} \right]!.4!}}} \right] \Leftrightarrow 23.\frac{1}{1} = 24.\left[ {\frac{{x + 1}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]}} - \frac{1}{{1.24}}} \right]$

$ \Leftrightarrow 23 = 24.\frac{{x + 1}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left[ {loai} \right]\\x = 5\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn C.

Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$. Ta có $\frac{{A_{n + 4}^4}}{{\left[ {n + 2} \right]!}} < \frac{{15}}{{\left[ {n - 1} \right]!}} \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 4} \right]!}}{{\left[ {n + 2} \right]!.n!}} < \frac{{15}}{{\left[ {n - 1} \right]!}} \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 3} \right]\left[ {n + 4} \right]}}{n} < 15$

$ \Leftrightarrow \left[ {n + 3} \right]\left[ {n + 4} \right] < 15n \Leftrightarrow {n^2} - 8n + 12 < 0 \Leftrightarrow 2 < n < 6 \to n \in \left\{ {3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}.$ Chọn C.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$. Ta có $2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2\frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{2!.\left[ {n - 1} \right]!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} - 20 < 0$

$ \Leftrightarrow n\left[ {n + 1} \right] + 3\left[ {n - 1} \right]n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2} \to n = 2.$ Chọn A.

Điều kiện: $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}$. Ta có $2C_{n + 1}^2 + {\rm{ }}3A_n^2 < 30 \Leftrightarrow 2.\frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{2!\left[ {n - 1} \right]!}} + 3.\frac{{n!}}{{\left[ {n - 2} \right]!}} < 30$

$ \Leftrightarrow n\left[ {n + 1} \right] + 3\left[ {n - 1} \right]x < 30 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 15 < 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < n < 3 \to n = 2.$ Chọn A.

Điều kiện: $n \ge 3$ và $n \in \mathbb{N}$. Ta có $14.{P_3}C_{n - 1}^{n - 3} < A_{n + 1}^4 \Leftrightarrow 14.3!.\frac{{\left[ {n - 1} \right]!}}{{\left[ {n - 3} \right]!.2!}} < \frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{\left[ {n - 3} \right]!}}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 42\left[ {n - 2} \right]\left[ {n - 1} \right] < \left[ {n - 2} \right]\left[ {n - 1} \right]n\left[ {n + 1} \right] \Leftrightarrow 42 < n\left[ {n + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 42 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n < - 7\\n > 6\end{array} \right.\end{array}$

$ \to \left\{ \begin{array}{l}n \ge 7\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right..$ Chọn D.

Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_x^y - C_x^{y + 1} = 0}&{\left[ 1 \right]}\\{4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0}&{\left[ 2 \right]}\end{array}} \right.$. Phương trình $\left[ 1 \right] \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow y + y + 1 = x \Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$. Phương trình $\left[ 2 \right] \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1} \Leftrightarrow 4.\frac{{x!}}{{y!.\left[ {x - y} \right]!}} = 5.\frac{{x!}}{{\left[ {y - 1} \right]!.\left[ {x - y + 1} \right]!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{5}{{x - y + 1}} \Leftrightarrow 4x - 9y + 4 = 0.$

Do đó hệ phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 1 = 0\\4x - 9y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = 8\end{array} \right.\left[ {tho\^u a ma\~o n} \right].$ Chọn A.

Điều kiện: $x \ge y + 1$ và $x,y \in \mathbb{N}$. $\frac{{C_{x + 1}^y}}{6} = \frac{{C_x^{y + 1}}}{5} \Leftrightarrow 5.C_{x + 1}^y = 6.C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \frac{{5\left[ {x + 1} \right]!}}{{y!\left[ {x + 1 - y} \right]!}} = \frac{{6x!}}{{\left[ {y + 1} \right]!\left[ {x - y - 1} \right]!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{5\left[ {x + 1} \right]}}{{\left[ {x - y} \right]\left[ {x - y + 1} \right]}} = \frac{6}{{\left[ {y + 1} \right]}} \Leftrightarrow 5\left[ {y + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = 6\left[ {x - y} \right]\left[ {x - y + 1} \right]$. $\left[ 1 \right]$ $\frac{{C_x^{y + 1}}}{5} = \frac{{C_x^{y - 1}}}{2} \Leftrightarrow 2.C_x^{y + 1} = 5.C_x^{y - 1} \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{5.\left[ {y + 1} \right]!.\left[ {x - y - 1} \right]!}} = \frac{{x!}}{{2.\left[ {y - 1} \right]!.\left[ {x - y + 1} \right]!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{5.y\left[ {y + 1} \right]}} = \frac{1}{{2.\left[ {x - y} \right]\left[ {x - y + 1} \right]}}$ $ \Leftrightarrow 5.y\left[ {y + 1} \right] = 2.\left[ {x - y} \right]\left[ {x - y + 1} \right] \Leftrightarrow 15.y\left[ {y + 1} \right] = 6.\left[ {x - y} \right]\left[ {x - y + 1} \right]$. $\left[ 2 \right]$ Từ $\left[ 1 \right]$ và $\left[ 2 \right]$, suy ra $ \Leftrightarrow 5\left[ {y + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = 15.y\left[ {y + 1} \right] \Leftrightarrow x + 1 = 3y$. Thay vào $\left[ 1 \right]$, ta được

$ \Leftrightarrow 15\left[ {y + 1} \right]y = 6\left[ {2y - 1} \right]2y \Leftrightarrow 3{y^2} - 9y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0 \to x = - 1\left[ {loai} \right]\\y = 3 \to x = 8\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn A.

Điều kiện: $y \ge x$ và $x,y \in \mathbb{N}$. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_y^x:C_{y + 2}^x = \frac{1}{3}}&{\left[ 1 \right]}\\{C_y^x:A_y^x = \frac{1}{{24}}}&{\left[ 2 \right]}\end{array}} \right..$ Phương trình $\left[ 2 \right] \Leftrightarrow \frac{{C_y^x}}{{A_y^x}} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow 24C_y^x = A_y^x \Leftrightarrow 24.\frac{{y!}}{{x!\left[ {y - x} \right]!}} = \frac{{y!}}{{\left[ {y - x} \right]!}} \Leftrightarrow \frac{{24}}{{x!}} = 1 \Leftrightarrow x = 4$. Thay $x = 4$ vào $\left[ 1 \right]$, ta được $\frac{{C_y^4}}{{C_{y + 2}^4}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3C_y^4 = C_{y + 2}^4 \Leftrightarrow 3.\frac{{y!}}{{4!.\left[ {y - 4} \right]!}} = \frac{{\left[ {y + 2} \right]!}}{{4!.\left[ {y - 2} \right]!}}$

$ \Leftrightarrow \frac{3}{1} = \frac{{\left[ {y + 1} \right]\left[ {y + 2} \right]}}{{\left[ {y - 3} \right]\left[ {y - 2} \right]}} \Leftrightarrow {y^2} - 9y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 < 4 = x\left[ {nhan} \right]\\y = 8 > 4 = x\left[ {nhan} \right]\end{array} \right..$ Chọn B.

Điều kiện: $x \ge y$ và $x,y \in \mathbb{N}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = A_x^y\\v = C_x^y\end{array} \right.$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2u + 5v = 90\\5u - 2v = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 20\\v = 10\end{array} \right.$. Ta có $A_n^k = k!C_n^k \to u = y!.v \Leftrightarrow 20 = y!.10 \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2.$ Với $u = 20$, suy ra $A_x^y = 20 \Leftrightarrow A_x^2 = 20 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left[ {x - 2} \right]!}} = 20 \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]x = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\left[ {loai} \right]\end{array} \right..$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 2\end{array} \right..$ Chọn A.