Câu hỏi và hướng dẫn giải Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \[A[2;1;3] \] và mặt phẳng \[[P]:x+my+[2m+1]z-[2+m]=0 \], với m là tham số. Gọi điểm \[H[a;b;c] \] là hình chiếu vuông góc của điểm A trên [P]. Tính \[a+b \]khi khoảng cách từ điểm A đến [P] lớn nhất.
A.
\[a+b=2\]. B.
\[a+b=-\frac{1}{2}\].
C.
\[a+b=0\]. D. \[a+b=\frac{3}{2}\].
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\[\begin{align} [P]:x+my+[2m+1]z-[2+m]=0 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow m[y+2z-1]+x+z-2=0 \\ \end{align}\]
Khi đó,[P]luôn đi qua đường thẳng cố định
[d]: \[\left\{ \begin{align} y+2z-1=0 \\ x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\] với mọim.
Do A,[d]cố định nên đoạn AK [K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳngd]là cố định.
Vì \[AH\bot [P]\Rightarrow AH\le AK\Rightarrow A{{H}_{\max }}=AK\] khi và chỉ khi H trùng K, hay khoảng cách từ A đến [P] lớn nhất khi H trùng K.
+] Ta tìm tọa độ của điểm K:
[d]: \[\left\{ \begin{align} y+2z-1=0 \\ x+z-2=0 \\ \end{align} \right.\]
Cho \[z=0\Rightarrow y=1;x=2\Rightarrow I[2;1;0]\in d\]
Đặt \[\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ 0;1;2 \right],\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ 1;0;1 \right]\],[d]có 1 VTCP \[\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=[1;2;-1]\]
Phương trình tham số của đường thẳngd: \[\left\{ \begin{align} x=2+t \\ y=1+2t \\ z=-t \\ \end{align} \right.\]
\[K\in [d]\Rightarrow K[2+t;1+2t;-t]\]
Gọi [Q] là mặt phẳng qua A và vuông góc vớid, Khi đó, [Q] có 1 VTPT \[\overrightarrow{{{n}_{[Q]}}}=\overrightarrow{u}\left[ 1;2;-1 \right]\]
Phương trình mặt phẳng [Q]: \[1[x-2]+2[y-1]-1[z-3]=0\Leftrightarrow x+2y-z-1=0\]
\[K\in [Q]\Rightarrow 2+t+2[1+2t]-[-t]-1=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\] \[\Rightarrow K\left[ \frac{7}{6};\frac{-2}{3};\frac{5}{6} \right]\Rightarrow a=\frac{3}{2},\,\,b=0\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}\].
Chọn: D