Trên khoảng pi/2 2pi phương trình cos(pi 6 - 2x) = sinx có bao nhiêu nghiệm

Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai Cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì.

Đồ thị hàm sin

Đồ thị hàm cos

Đồ thị hàm tang

Đồ thị hàm cotang

Đồ thị hàm sec

Đồ thị hàm cosec

Các hàm lượng giác không phải là các hàm số đại số và có thể xếp vào loại hàm số siêu việt.

Mục lục

1 Các hàm lượng giác cơ bản
2 Lịch sử
3 Định nghĩa bằng tam giác vuông
4 Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị
4.1 Dùng đại số
4.2 Dùng hình học
5 Định nghĩa bằng chuỗi
6 Trên trường số phức
7 Định nghĩa bằng phương trình vi phân
8 Các định nghĩa khác
9 Miền xác định và miền giá trị
10 Phương pháp tính
11 Hàm lượng giác ngược
12 Một số đẳng thức
13 Tính chất và ứng dụng
13.1 Định lý sin
13.2 Định lý cosin
13.3 Định lý tang
14 Tham khảo
15 Xem thêm
16 Liên kết ngoài

Các hàm lượng giác cơ bảnSửa đổi

Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng giác cơ bản, được liệt kê trong bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học giữa các hàm. Hàm Viết tắt Liên hệSin sin sin θ = cos [ π 2 θ ] {\displaystyle \sin \theta =\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,} Cosin cos cos θ = sin [ π 2 θ ] {\displaystyle \cos \theta =\sin \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,} Tang tan[tg] tan θ = 1 cot θ = sin θ cos θ = cot [ π 2 θ ] {\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,} Cotang cot[ctg] cot θ = 1 tan θ = cos θ sin θ = tan [ π 2 θ ] {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,} Sec sec sec θ = 1 cos θ = csc [ π 2 θ ] {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}=\csc \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,} Cosec csc
[hay cosec] csc θ = 1 sin θ = sec [ π 2 θ ] {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}=\sec \left[{\frac {\pi }{2}}-\theta \right]\,}

Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc đến, nhưng nay ít dùng là:

versin [versin = 1 cos]
exsecant [exsec = sec 1].

Xem thêm bài đẳng thức lượng giác để biết thêm rất nhiều liên hệ khác nữa giữa các hàm lượng giác.

Lịch sửSửa đổi

Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea [180-125 TCN], người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn [có giá trị bằng góc, A, nhân với bán kính, r] và chiều dài của dây cung tương ứng [2r sin[A/2]]. Sau đó, Ptolemy [thế kỷ II] tiếp tục phát triển công trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin[A + B] và cos[A + B]. Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa-góc sin[A/2]2 = [1 cos[A]]/2, cho phép ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền.

Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công trình Siddhantas [khoảng thế kỷ IVV], định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến nay [cùng với các giá trị 1 cos], cho các góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ.

Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi người Ả Rập. Đến thế kỷ X, người Ả Rập đã dùng cả sáu hàm lượng giác cơ bản [trong tác phẩm Abu'l-Wefa], với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.

Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus ["vịnh" hay "gập"], dịch nhầm từ chữ Phạn jiva [hay jya]. Jiva [vốn được đọc đầy đủ là ardha-jiva, "nửa-dây cung", trong quyển Aryabhatiya thế kỷ VI] được chuyển tự sang tiếng Ả Rập là jiba [جب], nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib [جب] ["vịnh"], bởi các dịch giả ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong quyển Toledo [thế kỷ XII]. Sự nhầm lẫn này có thể là do jiba [جب] và jaib [جب] được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập [đa số nguyên âm bị lược bỏ trong bảng chữ cái Ả Rập].

Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển trong nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về lượng giác là De triangulis omnimodus [1464] và Tabulae directionum của Regiomontanus [14361476]. Quyển Tabulae directionum nói về hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.

Quyển Introductio in analysin infinitorum [1748] của Euler tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" eix = cos[x] + i sin[x]. Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.

Định nghĩa bằng tam giác vuôngSửa đổi Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° [π/2 radian], được ký hiệu là C trong hình này. Góc A và B có thể thay đổi. Các hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ chiều dài các cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông.

Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:

Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác vuông, h trên hình vẽ.
Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.
Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.

Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác là pi radian [hay 180]. Khi đó: Hàm Định nghĩa Biểu thức SinCạnh đối chia cho cạnh huyền sin A = a h {\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}} CosCạnh kề chia cho cạnh huyền cos A = b h {\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}} TangCạnh đối chia cho cạnh kề tan A = a b {\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}} CotangCạnh kề chia cho cạnh đối cot A = b a {\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}} SecCạnh huyền chia cho cạnh kề sec A = h b {\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}} CosecCạnh huyền chia cho cạnh đối csc A = h a {\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}}

Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vịSửa đổi

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn 2π quay vòng trên đường tròn.

Dùng đại sốSửa đổi Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.

Vòng tròn đơn vị là mọi điểm [x, y] trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn: x2 + y2 = 1

Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm [x,y] trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là: Hàm Định nghĩasin[θ] y cos[θ] x tan[θ] y/x cot[θ] x/y sec[θ] 1/x csc[θ] 1/y

Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ: sin θ = sin [ θ + 2 π k ] {\displaystyle \sin \theta =\sin \left[\theta +2\pi k\right]} cos θ = cos [ θ + 2 π k ] {\displaystyle \cos \theta =\cos \left[\theta +2\pi k\right]}

Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.

Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.

Dùng hình họcSửa đổi Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.

Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB: Hàm Định nghĩa Chú thíchsin[θ] AC định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ cos[θ] OC tan[θ] AE đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến" cot[θ] AF sec[θ] OE đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn" csc[θ] OF versin[θ] CD versin[θ] = 1 cos[θ] exsec[θ] DE exsec[θ] = sec[θ] 1

Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 [90 độ], Cosec và Cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.

Định nghĩa bằng chuỗiSửa đổi Hàm sin [xanh lam] được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 [màu hồng].

Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.

Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier], vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.

Trong bảng dưới, quy ước: En là số Euler thứ n Un là số lên/xuống thứ nHàm Định nghĩa Cụ thểsin[x] n = 0 [ 1 ] n x 2 n + 1 [ 2 n + 1 ] ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[-1]^{n}x^{2n+1}}{[2n+1]!}}} x x 3 3 ! + x 5 5 ! x 7 7 ! + {\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } cos[x] n = 0 [ 1 ] n x 2 n [ 2 n ] ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[-1]^{n}x^{2n}}{[2n]!}}} 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! x 6 6 ! + {\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots } tan[x] n = 1 2 2 n [ 2 2 n 1 ] U n x 2 n 1 [ 2 n ] ! , | x | < π 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}[2^{2n}-1]U_{n}x^{2n-1}}{[2n]!}},\quad \left|x\right| 1 {\displaystyle \operatorname {arcsec} \left[x\right]=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1} arccsc [ x ] = x 1 | z | z 2 1 d z , x > 1 {\displaystyle \operatorname {arccsc} \left[x\right]=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức: arcsin [ z ] = i log [ i [ z + 1 z 2 ] ] {\displaystyle \arcsin[z]=-i\log \left[i\left[z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right]\right]} arccos [ z ] = i log [ z + z 2 1 ] {\displaystyle \arccos[z]=-i\log \left[z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right]} arctan [ z ] = i 2 log [ 1 i z 1 + i z ] {\displaystyle \arctan[z]={\frac {i}{2}}\log \left[{\frac {1-iz}{1+iz}}\right]}

Một số đẳng thứcSửa đổiXem thêm Đẳng thức lượng giác Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược sin [ x + y ] = sin x cos y + cos x sin y {\displaystyle \sin \left[x+y\right]=\sin x\cos y+\cos x\sin y} sin [ x y ] = sin x cos y cos x sin y {\displaystyle \sin \left[x-y\right]=\sin x\cos y-\cos x\sin y} cos [ x + y ] = cos x cos y sin x sin y {\displaystyle \cos \left[x+y\right]=\cos x\cos y-\sin x\sin y} cos [ x y ] = cos x cos y + sin x sin y {\displaystyle \cos \left[x-y\right]=\cos x\cos y+\sin x\sin y} sin x + sin y = 2 sin [ x + y 2 ] cos [ x y 2 ] {\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left[{\frac {x+y}{2}}\right]\cos \left[{\frac {x-y}{2}}\right]} sin x sin y = 2 cos [ x + y 2 ] sin [ x y 2 ] {\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left[{\frac {x+y}{2}}\right]\sin \left[{\frac {x-y}{2}}\right]} cos x + cos y = 2 cos [ x + y 2 ] cos [ x y 2 ] {\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left[{\frac {x+y}{2}}\right]\cos \left[{\frac {x-y}{2}}\right]} cos x cos y = 2 sin [ x + y 2 ] sin [ x y 2 ] {\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left[{\frac {x+y}{2}}\right]\sin \left[{\frac {x-y}{2}}\right]} tan x + tan y = sin [ x + y ] cos x cos y {\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left[x+y\right]}{\cos x\cos y}}} tan x tan y = sin [ x y ] cos x cos y {\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left[x-y\right]}{\cos x\cos y}}} cot x + cot y = sin [ x + y ] sin x sin y {\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left[x+y\right]}{\sin x\sin y}}} cot x cot y = sin [ x y ] sin x sin y {\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left[x-y\right]}{\sin x\sin y}}}

Tính chất và ứng dụngSửa đổi Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông.

Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng [vô hạn] của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.

Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý:

Định lý sinSửa đổi

Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào: a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}

Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. [sinA]/a là nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.

Định lý cosinSửa đổi

Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago: c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos C {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}

Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.

Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180°Cùng cho một giá trị cos C

Định lý tangSửa đổi

Định lý tang phát biểu là: a + b a b = tan [ 1 2 [ A + B ] ] tan [ 1 2 [ A B ] ] {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\big [}{\cfrac {1}{2}}[A+B]{\big ]}}{\tan {\big [}{\cfrac {1}{2}}[A-B]{\big ]}}}}

Tham khảoSửa đổi

[bằng tiếng Anh]

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. [Wiley, New York, 1991].
Eli Maor, Trigonometric Delights Lưu trữ 2006-04-14 tại Wayback Machine [Princeton Univ. Press, 1998].
"Trigonometric functions Lưu trữ 2013-01-20 tại Wayback Machine", MacTutor History of Mathematics Archive.
Tristan Needham, Visual Complex Analysis, [Oxford University Press, 2000], ISBN 0198534469 Book website
Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 [3], 328-339 [1996].

Xem thêmSửa đổi

Hàm hypebolic
Định lý Pytago
Đẳng thức lượng giác

Liên kết ngoàiSửa đổi