CHUYÊN ĐỀ 4:TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNGNgày soạn:Ngày giảng:Buổi 7TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNGI. Mục tiêu:- Học sinh biết vận dụng các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, cùng với sựsuy luận để tính được số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng- Rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng trình bày lời giải về tính số điểm, số đườngthẳng, số đoạn thẳng.- Phát triển khả năng tư duy toán cho học sinh- Giáo dục ý thức tự học, tự sáng tạo cho học sinh.II. Tiến trình bài dạy:1. Tổ chức:2. Kiểm tra:HS nhắc lại một số kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, tia.3. Bài mới:A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ:* Ví dụ 1:a] Cho 100 điểm khôn có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đườngthẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?b] Cũng hỏi như câu a] nếu trong 100 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng?c] Câu hỏi tổng quát cho n điểm [cho cả phần a] và b]Giải:a] Chọn 1 điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đườngthẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99. 100 đường thẳng. Nhưng mỗi đườngthẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99. 100 : 2 = 4950 đường thẳng.b] + Cách 1 :- Nếu 3 điểm không thẳng hàng thì qua 3 điểm đó ta vẽ được 3 đường thẳng, nếu 3 điểmthẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng.- Giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng.- Vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2Vậy có 4950 – 2 = 4948 đường thẳngc] TH1 : Trong n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng :1Chọn 1 điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ được n – 1đường thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được [n – 1]. n đường thẳng. Nhưng mỗiđường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ cón[ n − 1]đường thẳng.2TH2 : Trong n điểm có đúng 3 điểm nào thẳng hàng :Số đường thẳng được tạo thành là :n[n − 1]-22*Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng có 4 đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thểbằng bao nhiêu ?Giải :Bài toán đòi hỏi xét các trường hợp :a] TH1 : Bốn đường thẳng đồng quy :có 1 giao điểm.b] TH2: Có đúng 3 đường thẳng đồng quy:TH2a: Có 2 đường thẳng song song:3 giao điểmTH2b: Không có 2 đường thẳng nào song song:có 4 giao điểmc] TH3: Không có 3 đường thẳng nào đồng quy:TH3a: Bốn đường thẳng song song:có 0 giao điểmTH3b: Ba đường thẳng song song:3 giao điểm2TH3c: Có 2 cặp đường thẳng song song:có 4 giao điểmTH3d: Có đúng 1 cặp đường thẳng song song :có 5 giao điểmTH3e: Không có 2 đường thẳng nào song song:có 6 giao điểm.*Ví dụ 3: Cho n điểm [n ≥ 2] . Nối từng cặp 2 điểm trong n điểm đó thành các đoạnthẳng.a] Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng?b] Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng?c] Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng?Giải:a] Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại. Ta vẽ được n –1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n[n – 1] đoạn thẳngNhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ cón[ n − 1]đoạn thẳng2b] Tuy trong hình vẽ có 3 điểm thẳng hàng nhưng số đoạn thẳng phải đếm vẫn khôngthay đổi, do đó vẫn cóc] Ta cón[n − 1]đoạn thẳng2n[n − 1]= 177023=> n[n – 1] = 2. 1770=> n[n – 1] = 22 . 3 . 5 . 59 = 60 . 59Suy ra n = 60A. LUYỆN TẬP :*Bài 1 : Cho n điểm A1, A2, A3, …, An [n ≥ 2] trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ một đường thẳnga] Kể tên các đường thẳng trên hình vẽ nếu n = 4A1A2, A1A3, A1A4A2A3, A2A4, A3A4 [có 6 đường thẳng]b] Tính số đường thẳng trên hình vẽ nếu n = 2020.19= 190 [đường thẳng]2c] Tính số đường thẳng theo n:n[n − 1]2d] Tính n biết số đường thẳng kẻ được là 1128Ta có :n[ n − 1]= 11282=> n[n – 1] = 2. 1128 = 24. 3. 47 = 48 . 47Suy ra : n = 48e] Số đường thẳng có thể bằng 2004 được không ?ta có :n[n − 1]= 20042=> n[n – 1] = 4008Ta thấy : n và n – 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Mà tích của hai số tự nhiên liêntiếp không thể tận cùng bằng 8. Do đó số đường thẳng không thể là 2004.*Bài 2 : Cho 100 điểm trong đó có đúng 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểmnào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêuđường thẳng ?Giải :Khi có 4 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là 6.Nếu 4 điểm đó thẳng hàng thì số đường thẳng là 1- Giả sử trong 100 điểm đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là100.99= 49502- Nếu có 4 điểm thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi làm : 6 – 1 = 5 [đường thẳng]Vậy số đt cần tìm là : 4950 – 5 = 49454*Bài 3 : Cho 4 điểm, bất cứ hai điểm nào cũng có ít nhất một đường thẳng đi qua. Cóthể có bao nhiêu đường thẳng trong hình vẽ ?Giải :TH1 : Nếu cả 4 điểm thẳng hàng thì sốđường thẳng là 1.TH2 : Nếu có đúng 3 điểm thẳng hàng thì :Số đường thẳng là 4TH3 : Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng thì :số đường thẳng là 6*Bài 4 :a] Cho 3 đường thẳng cắt nhau đôi một. Hỏi có thể có bao nhiêu giao điểm trong hìnhvẽ ?b] Vẽ 3 đường thẳng sao cho số giao điểm [của cả hai hoặc ba đường thẳng] lần lượt là0, 1, 2, 3.Giải :a] TH1 : Nếu 3 đường thẳng đồng quy thì có 1 giao điểmTH2 : Nếu 3 đường thẳng không đồng quy thì có 3 giao điểm.b]TH1 : Số giao điểm là 0TH2: Số giao điểm là 15TH3: Số giao điểm là 2TH4: Số giao điểm là 3:*Bài 5: Cho 10 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, khôngcó 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng?Giải:Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm.Có 101 đường thẳng nên có 100. 101 giao điểmNhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần, nên chỉ có:100. 101 : 2 = 5050 [giao điểm]*Tổng quát:Với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau thì số giao điểmlà:n[ n − 1][giao điểm]2*Bài 6: Cho n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, khôngcó 3 đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780.Tính n?Giải: Với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau thì số giaon[ n − 1][giao điểm]2n[n − 1]Theo bài ra ta có:= 7802⇒ n[ n – 1] = 2. 780 = 23. 3. 5. 13điểm là:⇒ n[n – 1] = 40. 39⇒ n = 40 [đường thẳng]*Bài 7 : Cho 10 điểm. Nối từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó thành các đoạn thẳng.Tính số đoạn thẳng mà hai mút thuộc tập 10 điểm đã cho nếu trong các điểm đã cho :a] Không có 3 điểm nào thẳng hàngb] Có đúng 3 điểm thẳng hàngGiải :a] Số đoạn thẳng là :610.9= 45 [đoạn thẳng]2b] Số đoạn thẳng là :10.9= 45 [đoạn thẳng]2*Bài 8 : Cho n điểm. Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. Tínhn biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng ?Giải :Với n điểm thì số đoạn thẳng được tạo thành là :Theo bài ra ta có:n[n − 1]2n[n − 1]= 4352⇒ n[n – 1] = 2. 435 = 2. 3. 5. 29⇒ n[ n – 1] = 30. 29Suy ra : n = 30*Bài 9: Một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền. Hỏi:a] Hai đường thẳng chia mặt phẳng thành mấy miền?b] Ba đường thẳng chia mặt phẳng thành mấy miền?c] Bốn đường thẳng chia mặt phẳng nhiều nhất thành mấy miền?Giải:a]TH1: 2 đường thẳng song song:TH2: 2 đường thẳng cắt nhau:Chia mặt phẳng thành 3 miềnChia mặt phẳng thành 4 miềnb]TH1: Ba đường thẳng song song:4 miềnTH2: có hai đường thẳng song song:6 miềnTH3: 3 đường thẳng đồng quy:6 miềnTH4: 3 đường thẳng không đồng quynhưng cắt nhau đôi một: 7 miền7c] Số phần mặt phẳng nhiều nhất khi trong 4 đường thẳng không có bất cứ 2 đườngthẳng nào song song, không có 3 đường thẳng nào đồng quy và chúng phải đôi một cắtnhau: 11 miền4. Hướng dẫn về nhà:Làm các bài tập sau:Bài 1: Giải bóng đá vô địch quốc gia hạng chuyên nghiệp có 12 đội tham gia đấu vòngtròn hai lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu?Bài 2: Có một số con đường [thẳng], chúng cắt nhau đôi một và không có ba đường nàođồng quy. Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu conđường?Bài 3: Cho trước một số điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đườngthẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36. Tính số điểm chotrước?8Ngày soạn:Ngày giảng:Buổi 8TÍNH SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNGI. Mục tiêu:- Học sinh biết vận dụng các kiến thức về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, cùng với sựsuy luận để tính được số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng- Rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng trình bày lời giải về tính số điểm, số đườngthẳng, số đoạn thẳng.- Rèn kỹ năng suy luận về dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm, trung điểm củađoạn thẳng.- Phát triển khả năng tư duy toán cho học sinh- Giáo dục ý thức tự học, tự sáng tạo cho học sinh.II. Tiến trình bài dạy:1. Tổ chức:2. Kiểm tra:HS nhắc lại một số kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, tia.Dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm:+ Nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa hai điểm A và B+ Nếu hai tia BA và BC đối nhau thì điểm B nằm giữa hai điểm A và C+ Nếu hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox và OA < OB thì điểm A nằm giữa hai điểm Ovà B.3. Bài mới:LUYỆN TẬP:*Bài 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau. Nếu vẽ thêm một đường thẳng thứ ba cắt cả haiđường thẳng trên thì số giao điểm của hai đường thẳng thay đổi như thế nào?Giải:TH1: Nếu đt thứ ba đi qua giao điểm củaTH2: Nếu đt thứ ba không đi qua giaohai đường thẳng trước thì số giao điểmđiểm của hai đường thẳng trước thì số giaokhông đổi.điểm tăng thêm 2babacc*Bài 2: Cho 11 đường thẳng đôi một cắt nhau.9a] Nếu trong số đó không có ba đường thẳng nào đồng quy thì có tất cả bao nhiêu giaođiểm của chúng?b] Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao nhiêugiao điểm của chúng?Giải:a] Nếu không có 3 đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là:10.11= 552b] Nếu trong 5 đường thẳng, không có 3 đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là:5.4= 10 [giao điểm]2Nếu 5 đường thẳng đồng quy thì số giao điểm chỉ là 1Vậy số giao điểm giảm đi là: 10 – 1 = 9 [giao điểm]Do đó: trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có số giao điểmlà: 55 – 9 = 46 [giao điểm]*Bài 3: Cho ba đường thẳng m, a, b đồng quy tại O; ba đường thẳng n, a, b cũng đồngquya] CMR cả 4 đường thẳng m, n, a, b đồng quy tại O:Ba đường thẳng m, a, b đồng quy tại O. Vậy O là điểm chung của hai đường thẳng a vàb. Ba đường thẳng n, a, b đồng quy tại một điểm giả sử đó là điểm O’. Vậy O’ là điểmchung của a và b.Hai đường thẳng phân biệt a và b mà có điểm chung thì có một điểm chung duy nhất nênO và O’ phải trùng nhau.Từ đó suy ra 4 đường thẳng m, n, a, b đồng quy tại O.b] Vẽ thêm hai đường thẳng c, d không đi qua O. Hỏi 6 đường thẳng m, n, a, b, c, d cónhiều nhất bao nhiêu giao điểm?Số giao điểm nhiều nhất khi c và d cắt nhau đồng thời cả c và d cắt cả 4 đường thẳngkia.Có nhiều nhất là 10 giao điểm.*Bài 4:a] Hãy xếp 10 điểm thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 điểmb] Hãy xếp 7 điểm thành 6 hàng, mỗi hàng có 3 điểmc] Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây?10Giải:H.aH.bH.c*Bài 5:a] Vẽ 6 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng 3 đoạn thẳng khác:b] Vẽ 8 đoạn thẳng sao cho mỗi đoạn thẳng cắt đúng 3 đoạn thẳng khác:*Bài 6: Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm O và I sao cho OA < OB và AI > IB. Hỏitrong các bộ 3 điểm A, O, I và B, O, I điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?Giải:Vì O thuộc đoạn thẳng AB nên O nằm giữa hai điểm A và B, do đó: AO + OB = ABVì OA < OB nên 2.OA < ABHay OA IB nên 2. IA > AB11Hay AI >AB2[2]Từ [1] và [2] suy ra: AO < AI, do đó O nằm giữa A và I- Lập luận tương tự ta được I nằm giữa B và O*Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C, D thuộc đoạn thẳng AB sao choAC = BD = 2cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.a] Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CDb] Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng?Giải:a] Vì M là trung điểm của ABnên M nằm giữa A và B⇒ MA = MB =1AB = 3cm2ACMDBTrên tia AB có AC < AM [2 < 3]nên C nằm giữa A và MTrên tia BA có BD < BM [2 < 3] nên D nằm giữa B và M. Từ đó suy ra M nằm giữa haiđiểm C và D[1]Ta có: MC = AM – AC = 3 – 2 = 1 [cm]MD = MB – BD = 3 – 2 = 1 [cm]Vậy MC = MD[2]Từ [1] và [2] suy ra M là trung điểm của CDb] Ta còn có C là trung điểm của AD, điểm D là trung điểm của đoạn thẳng CB.*Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của tiaBA [O khác B]. Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA, OB.Giải:M là trung điểm của đoạn thẳng ABMBOnên M nằm giữa A và B; MA = MB [1]AHai tia BM, BA trùng nhau, hai tiaBO, BA đối nhau suy ra hai tia BM, BOđối nhau. Do đó B nằm giữa M và OVậy OM = OB + BM [2]Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng nhau suy ra hai tia MA, MO đối nhau.Do đó M nằm giữa O và AVậy OM = OA – MA [3]Từ [1], [2], [3] suy ra: 2. OM = OA + OB hay OM =OA + OB2*Bài 9: Cho đoạn thẳng AB = 2100 [cm]. Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB, gọiM2 là trung điểm của đoạn thẳng M1B, M3 là trung điểm của đoạn thẳng M2B, … gọiM100 là trung điểm của đoạn thẳng M99B. Tính độ dài của đoạn thẳng M1M100?Giải:M1M2AM100OAB 2100=Có: M 1B =2212M 1 B 2100= 222M 2 B 2100M3B == 322M 2B =………………………..M 100 B =2100=12100Vì BM100 < BM1 [1 < 299] nên điểm M100 nằm giữa hai điểm B và M1Do đó: M1M100 = M1B – M100B = 299 – 1 [cm]*Bài 10: Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trungđiểm của OA, OBa] Chứng tỏ rằng OA < OBb] Trong 3 điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?c] Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O [O thuộctia đối của tia AB]Giải:a] Hai tia AO, AB đối nhau nênMBA Nđiểm A nằm giữa hai điểm O và B OSuy ra OA < OBb] Ta có M và N theo thứ tự là trung điểm của OA, OB nên:OM =OAOB; ON =22Vì OA < OB nên OM < ONHai điểm M và N thuộc tia OB mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và Nc] Ta có OM + MN = ONSuy ra : MN = ON – OMHay MN =OB − OA AB=22Vì có AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi.4. Hướng dẫn về nhà:- Xem lại các bài tập đã chữa.- Làm các bài tập sau:Bài 11: Gọi O là một điểm của đoạn thẳng AB = 4cm.Xác định vị trí của điểm O để:a] Tổng AB + BO đạt giá trị nhỏ nhấtb] Tổng AB + BO = 2. BOc] Tổng AB + BO = 3. BOBài 12: Cho đoạn thẳng CD = 5cm. Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao cho CI= 1cm, DK = 3cma] Điểm K có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không?b] Chứng tỏ rằng I là trung điểm của đoạn thẳng CK13