Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
LG a
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
\[y = \dfrac 4 {1 + {x^2}}\];
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] ta làm như sau:
+] Tìm các điểm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};...;{{x}_{n}}\] thuộc đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] mà tại đó hàm số có đạo hàm \[f'\left[ x \right]=0\] hoặc không có đạo hàm.
+] Tính \[f\left[ {{x}_{1}} \right];f\left[ {{x}_{2}} \right];f\left[ {{x}_{3}} \right];...;f\left[ {{x}_{n}} \right]\] và \[f\left[ a \right];\ f\left[ b \right].\]
+] So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\].
\[\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]\cr&=\max \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];\ f\left[ {{x}_{2}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{m}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]\cr&=\min \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];\ f\left[ {{x}_{2}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{m}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ \end{align}\]
Quy ước:Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \[y=f\left[ x \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[y=\dfrac{4}{1+{{x}^{2}}}.\]
Tập xác định: \[D=R.\]
Ta có: \[y'=\dfrac{-2x.4}{{{\left[ 1+{{x}^{2}} \right]}^{2}}}=\dfrac{-8x}{{{\left[ 1+{{x}^{2}} \right]}^{2}}}\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\]
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \[x=0;\] \[{y_{\max }} = 4\]
Cách khác:
Ta thấy: \[1+x^2\ge 1, \forall x\] nên\[\dfrac{4}{{1 + {x^2}}} \le \dfrac{4}{1} = 4 \Rightarrow y \le 4\].
Vậy\[\max y = 4\]. Dấu "=" xảy ra khi \[x=0\].
LG b
\[y = 4{x^3} - 3{x^4}\]
Lời giải chi tiết:
\[y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.\]
Tập xác định: \[D=R.\]
Ta có: \[y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {4{x^3} - 3{x^4}} \right] = - \infty \]
Ta có bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \[x=1;\] \[{y_{\max }} = 1\].