Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay
* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :
- Điểm A[x0; y0] thuộc d
- Một vectơ pháp tuyến n[ a; b] của d
Khi đó phương trình tổng quát của d là: a[x-x0] + b[y-y0] = 0
* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// thì đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0 [c c] .
Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A[1; -2] , nhận n = [1; -2] làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x - 2y + 1 = 0. B. 2x + y = 0 C. x - 2y - 5 = 0 D. x - 2y + 5 = 0
Lời giải
Gọi [d] là đường thẳng đi qua A và nhận n = [1; -2] làm VTPT
=>Phương trình đường thẳng [d] : 1[x - 1] - 2[y + 2] = 0 hay x - 2y 5 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M[1; -3] và nhận vectơ n[1; 2] làm vectơ pháp tuyến.
A. : x + 2y + 5 = 0 B. : x + 2y 5 = 0 C. : 2x + y + 1 = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
Đường thẳng : qua M[ 1; -3] và VTPT n[1; 2]
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là 1[x - 1] + 2[y + 3] = 0
Hay x + 2y + 5 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng [d]: x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng [] đi qua M[1; -1] và song song với d thì có phương trình
A. x - 2y - 3 = 0 B. x - 2y + 5 = 0 C. x - 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0
Lời giải
Do đường thẳng // d nên đường thẳng có dạng x - 2y + c = 0 [c 1]
Ta lại có M[1; -1] [] 1 - 2[-1] + c = 0 c = -3
Vậy phương trình : x - 2y - 3 = 0
Chọn A
Ví dụ 4: Cho ba điểm A[1; -2]; B[5; -4] và C[-1;4] . Đường cao AA của tam giác ABC có phương trình
A. 3x - 4y + 8 = 0 B. 3x 4y - 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0
Lời giải
Ta có BC = [-6; 8]
Gọi AA là đường cao của tam giác ABC
AA' nhận VTPT n = BC = [-6; 8] và qua A[1; -2]
Suy ra phương trình AA: -6[x - 1] + 8[y + 2] = 0
Hay -6x + 8y + 22 = 0 3x - 4y - 11 = 0.
Chọn B
Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A[ 1; -3] và có vectơ pháp tuyến n[ 1; 5] có phương trình tổng quát là:
A. d: x + 5y + 2 = 0 B. d: x- 5y + 2 = 0 C. x + 5y + 14 = 0 D. d: x - 5y + 7 = 0
Lời giải
Ta có: đường thẳng d: qua A[ 1; -3] và VTPT n[ 1; 5]
Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
1[ x - 1] + 5.[y + 3] = 0 hay x + 5y + 14 = 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1]; B[ 4; 5] và C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
A. 7x + 3y 11 = 0 B. -3x + 7y + 5 = 0 C. 3x + 7y + 2 = 0 D. 7x + 3y + 15 = 0
Lời giải
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.
Đường thẳng AH : qua A[ 2;-1] và Nhận VTPT BC[ 7; 3]
Phương trình đường cao AH :
7[ x - 2] + 3[y + 1] = 0 hay 7x + 3y 11 = 0
Chọn A.
Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A[1 ; -2]. Gọi M là trung điểm của BC và
M[ -2 ; 1]. Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. x + y - 3 = 0 B. 2x - y + 6 = 0 C. x - y + 3 = 0 D. x + y + 1 = 0
Lời giải
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
AM vuông góc BC.
Đường thẳng BC nhận AM[ -3 ; 3] = -3[1 ; -1] làm VTPT
+ Đường thẳng BC : qua M[-2; 1] và VTPT n[ 1; -1]
Phương trình đường thẳng BC :
1[x + 2] - 1[y - 1] = 0 hay x - y + 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?
A. x - 3y + 1 = 0 B. x + 4y - 5 = 0 C. x + 2y - 3 =0 D. 2x - y + 1 = 0
Lời giải
+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :
+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :
Tương tự ta tìm được tọa độ C[- ; ]
+ Đường thẳng AP :
Phương trình đường thẳng AP :
1[x - 1] + 2[y - 1] = 0 x + 2y - 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng : 3x + 5y - 9 = 0 là:
A. 3x + 5y - 7 = 0 B. 3x + 5y = 0 C. 3x - 5y = 0 D. 3x - 5y + 9 = 0
Lời giải
Do đường thẳng d// nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 [ c - 9]
Do điểm O[0; 0] thuộc đường thẳng d nên :
3.0 + 5.0 + c = 0 c = 0
Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B[-2; -4]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. 2x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y - 8 = 0 C. 2x + 3y - 6 = 0 D. 2x - 3y + 1 = 0
Lời giải
Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
IJ// BC.
Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c 1]
Mà điểm B thuộc BC nên: 2.[-2] - 3[-4] + c = 0 c = -8
phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng [a]:3x - 2y + 5 = 0; [b]: 2x + 4y - 7 = 0 và
[c]: 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:
A. 24x + 32y - 53 = 0. B. 23x + 32y + 53 = 0 C. 24x - 33y + 12 = 0. D. Đáp án khác
Lời giải
Giao điểm của [a] và [ b] nếu có là nghiệm hệ phương trình :
Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 [c-1]
Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3. + 4. + c = 0 c=
Vậy d: 3x + 4y + = 0 d3 = 24x + 32y - 53 = 0
Chọn A.
Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[ 2 ; 1] và nhận vecto n[ -2 ; 1] làm VTPT ?
A. 2x + y - 5 = 0 B. - 2x + y + 3 = 0 C. 2x - y - 4 = 0 D. 2x + y - 1 = 0
Đáp án: B
Trả lời:
Đường thẳng d :
Phương trình đường thẳng d : - 2[x - 2] + 1[y - 1] = 0
Hay [d] : -2x + y + 3 = 0.
Câu 2: Cho đường thẳng [a] : 2x+ y- 3=0 và [b] : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto n[ 2 ; -3] làm VTPT ?
A. 2x - 3y + 6 = 0 B. -2x - 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0 D. 2x + 3y - 1 =0
Đáp án: C
Trả lời:
+ Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :
+ Đường thẳng [d] :
Phương trình đường thẳng d : 2[x - 1] - 3[y - 1] = 0 hay 2x - 3y + 1 = 0.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1], B[4; 5] và C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B
A. 3x - 5y + 1 = 0 B. 3x + 5y - 20 = 0 C. 3x + 5y - 12 = 0 D. 5x - 3y -5 = 0
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC.
Đường thẳng BH :
Phương trình đường cao BH :
5[x - 4] 3[y - 5] = 0 hay 5x - 3y 5 = 0
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2;-1] ; B[ 4;5] và C[ -3; 2]. Tìm trực tâm tam giác ABC?
A. [ ; - ] B. [ ; ] C. [ ; ] D. [ ; ]
Đáp án: B
Trả lời:
+ Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC.
+ Đường thẳng CH :
Phương trình đường cao CH :
2[x + 3] + 6[y - 2] = 0 hay 2x + 6y 6 = 0
[CH] : x+ 3y 3= 0
+ Đường thẳng BK :
=>Phương trình đường cao BK : - 5[x - 4] + 3[y - 5]=0 hay -5x + 3y + 5 = 0.
+ Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ :
Vậy trực tâm tam giác ABC là P[ ; ]
Câu 5: Cho tam giác ABC có A[ 2;-1] ; B[ 4; 5] và C[ -3; 2]. Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:
A. 3x - 7y + 11 = 0. B. 7x + 3y - 11 = 0 C. 3x - 7y - 13 = 0. D. 7x + 3y + 13 = 0.
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi AH là đường cao của tam giác.
Đường thẳng AH : đi qua A[ 2; -1] và nhận BC = [-7; -3] = - [7; 3] làm VTPT
=> Phương trình tổng quát AH: 7[x - 2] + 3[y + 1]= 0 hay 7x + 3y - 11 = 0
Câu 6: Cho đường thẳng [d]: 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng đi qua M[3; 1] và song song với [d] có phương trình:
A. 3x - 2y - 7 = 0. B. 2x + 3y - 9 = 0. C. 2x - 3y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0
Đáp án: A
Trả lời:
Do song song với d nên có phương trình dạng: 3x - 2y + c = 0 [c 8]
Mà đi qua M [3;1] nên 3.3 - 2.1 + c = 0 nên c = - 7
Vậy phương trình : 3x - 2y - 7 = 0
Câu 7: Cho tam giác ABC có B[2; -3]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. x + y + 2 = 0 B. x - y - 5 = 0 C. x - y + 6 = 0 D. x - y = 0
Đáp án: B
Trả lời:
Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
IJ// BC.
Đường thẳng BC có dạng : x - y + c = 0 [ c 3]
Mà điểm B thuộc BC nên: 2 - [-3] + c = 0 c = -5
phương trình đường thẳng BC: x - y - 5 = 0
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A[3 ; 2]. Gọi M là trung điểm của BC và M[ -2 ; -4]. Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. 6x - 5y + 13 = 0 B. 5x - 6y + 6 = 0 C. 5x + 6y + 34 = 0 D. 5x + 6y + 1 = 0
Đáp án: C
Trả lời:
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
AM vuông góc BC.
Đường thẳng BC nhận AM[ - 5; -6] = -[5; 6] làm VTPT
+ Đường thẳng BC :
Phương trình đường thẳng BC :
5[x + 2] + 6[ y + 4] = 0 hay 5x + 6y + 34= 0
Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M[ -1; 2] và song song với trục Ox.
A. y + 2 = 0 B. x + 1 = 0 C. x - 1 = 0 D. y - 2 = 0
Đáp án: D
Trả lời:
Trục Ox có phương trình y= 0
Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 [ c 0]
Vì đường thẳng d đi qua điểm M[ -1 ;2] nên 2 + c = 0 c= -2
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y - 2= 0
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi