• Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [Q]: x+ 2y + z - 3= 0và đường thẳng d:. Viết phương trình mặt phẳng [P]chứa [d] và hợp với mặt phẳng [Q] một góc α thỏa mãn cosα = √3/6A. y- z+ 3= 0B. 5x- 3y + 8z- 10= 0C. 2x- 3y+ 5z- 10= 0D. Đáp án khácHướng dẫn giải:Giả sử phương trình mặt phẳng [P] có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 [A 2 + B2 + C2 >0] nhận vectơ n→[ A;B; C] làm vecto pháp tuyến.Đường thẳng d đi qua điểm M[-1; 2; -3] và có vecto chỉ phương u→[1; -1; -1]Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến nQ→[1; 2; 1]Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng [d] nên u→.nQ→ = 0⇔ A- B – C= 0 ⇔ C = A – BLại có mặt phẳng [P] tạo với mặt phẳng [Q] một góc góc α thỏa mãn cosα = √3/6 ⇔ A2+ B2 - AB = 4A2+ 4AB + B2⇔ 3A2 + 5AB = 0+ Với A = 0, chọn B = 1 thì C= - 1Mặt phẳng [P] đi qua M[-1; 2; -3] và nhận vecto [ 0; 1; -1] làm vecto pháp tuyến=> Phương trình mp [P]: 0[ x+ 1] + 1[ y - 2] – 1[ z+ 3] = 0 hay y - z – 5= 0+ Với 3A = - 5B; chọn B = - 3 => A= 5; C= 8Khi đó, phương trình mặt phẳng [P] đi qua M[-1; 2; -3] và có VTPT nP→[5; -3; 8]là:5[ x+ 1] – 3[ y- 2] + 8[ z+ 3] = 0 hay 5x – 3y + 8z + 35= 0Chọn D. Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình[d]:và mặt phẳng [Q]: x + 2y + z – 5= 0 . Viết phương trình mặtphẳng [P] chứa [d] và hợp với [Q] một góc 30o.A. x+ y- 2= 0 hoặc x+ z – 2= 0B. x+ y - 2= 0 hoặc y+ z - 2= 0C. y+ z - 2= 0 hoặc x – z - 2= 0D. Đáp án khácHướng dẫn giải:Giả sử phương trình mặt phẳng [P] có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 nhậnvecto nP→[A; B; C] làm vecto pháp tuyến.Đường thẳng [d] đi qua điểm M[0; 2; 0] và có vecto chỉ phương u→[1; -1; 1]Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến nQ→[1 ; 2;1]Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng [d] nên u→.nP→ = 0→A- B+ C = 0 ⇔ C = B - ALại có mặt phẳng [P] tạo với mặt phẳng [Q] một góc bằng 30o nên ta có: ⇔ A2 + B2 – AB= B2→A2 – AB = 0+ Với A = 0, chọn B = 1; C = 1.Mặt phẳng [ P] đi qua M[0; 2; 0] và nhận vecto [0;1; 1] làm vecto pháp tuyến:0[x - 0] + 1[ y - 2] +1.[ z - 0] = 0 hay y+ z - 2 = 0+ Với A = B , chọn A= B = 1 C = 0Khi đó, phương trình mặt phẳng [P] đi qua M[0; 2; 0] và có VTPT nP→[1; 1;0] là:1[ x- 0] + 1[ y-2] + 0[ z- 0] = 0 hay x+ y- 2= 0Chọn BVí dụ 3: Cho mặt phẳng [α]: 3x- 2y + 2z – 5= 0. Điểm A[ 1; -2; 2]. Có bao nhiêumặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng [α] một góc 45oA. Vơ số.B. 1.Hướng dẫn giải:C. 2.D. 4. Gọi nβ→[a; b;c] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [β] cần lập.=> 2[ 3a – 2b + 2c]2 = 17 [a2 + b2+ c2]⇔ a2 - 9b2 – 9c2 - 12ab – 8bc + 12ac = 0Phương trình trên có vơ số nghiệm.Suy ra có vô số vectơ nβ→[a; b; c] là véc tơ pháp tuyến của [β]Suy ra có vơ số mặt phẳng [β] thỏa mãn điều kiện bài tốnChọn A.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M[1; 0;0] và N[0; 0;-1].Mặt phẳng [P] qua điểm M; N và tạo với mặt phẳng [Q]: x- y- 4= 0 một gócbằng 45o. Phương trình mặt phẳng [P] làHướng dẫn giải:+ Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến là nQ→[1; -1; 0]+ Mặt phẳng [P] đi qua M[1; 0; 0] và vectơ pháp tuyến n→[a; b; c] với a2+b2 +c2 > 0 có phương trình là:a[ x - 1] + b[y - 0] + c[ z - 0] = 0 hay ax + by+ cz – a= 0 + Mặt phẳng [P] đi qua điểm N[ 0; 0; -1] nên :a.0+ b.0+ c.[-1] - a= 0 hay –c - a= 0 ⇔ c = -a+ Hai mặt phẳng [P] và [Q] hợp nhau góc 45o nên :+ Với a= 0 => c= 0; chọn b= 1Mặt phẳng [P]đi qua M[ 1; 0; 0 ] vecto pháp tuyến [0; 1; 0] nên phương trình [P]:y= 0+ Với a= -2b chọn b= -1 suy ra a= 2mặt phẳng đi qua M[ 1; 0; 0] và vecto pháp tuyến [ 2; -1;-2]=> Phương trình [ P]: 2[ x - 1] – 1[ y - 0] – 2[ z - 0] = 0 hay 2x – y - 2z - 2= 0Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là : z = 0 và 2x- y- 2z – 2= 0Chọn A.Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz; cho điểm M[ 0; -1; 2] ; N[ -1;1; 3]. Gọi [P] là mặt phẳng đi qua M; N và tạo với mặt phẳng [Q]: 2x – y – 2z –2= 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A[ 1;2; 3] cách mp [P] một khoảng là Hướng dẫn giải:+ Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến là : nQ→[2; -1; -2]+ Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là : nP→[a; b;c] [ a2+ b2+ c2 > 0]+ Mặt phẳng [P] có VTPT n→ vng góc với MN→[-1; 2; 1] nên-1.a+ 2b+ 1.c= 0 ⇔ a= 2b+ c=> Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P] là : nP→[2b+c; b;c]+ Gọi α là góc tạo bởi [P] và [ Q] , α nhỏ nhất khi cosα lớn nhất.Ta có+ Nếu b=0 thì cosα= 0Khi đó, cos α lớn nhất khi và chỉ khi 2[c/b + 1]2 +3 nhỏ nhất => c/b = -1 chọn b = 1=> c= -1 và a= 2b+ c= 1Vậy mặt phẳng [P] đi qua M[ 0; -1; 2] vecto pháp tuyến [ 1; 1; -1] có phương trìnhlà1[ x- 0] +1[y+ 1] - 1[z- 2] = 0 hay x+ y- z + 3= 0.Do đóChọn A.Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyếnPhương pháp giảiPhương trình mặt phẳng đi qua điểm M [x o ;yo ;zo ] và có Vecto pháptuyến n→[A;B;C] là:A[x -xo ] +B[y -yo ] +C[z -zo ]=0Ví dụ minh họaBài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm A [1;0; -2] và có vecto pháp tuyến n→ [2; -1;1]Hướng dẫn:Mặt phẳng [P] đi qua điểm A [1; 0; -2] và có vecto pháp tuyến n→ [2; -1;1] cóphương trình là:1[x -1] -1[y -0] +1[z +2] =0⇔ x -y +z +1 =0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A [1; -2; 1] và có vecto pháptuyến n→ [0; 2;-1]Hướng dẫn:Mặt phẳng [P] đi qua điểm A [1; -2; 1] và có vecto pháp tuyến n→ [0; 2;-1] cóphương trình là:0 . [x -1] +2[y +2] -1[z -1] =0⇔ 2y -z +5 =0Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm O [0; 0; 0] và có vecto pháptuyến n→ [-1;2;-1]Hướng dẫn:Mặt phẳng đi qua điểm O [0; 0; 0] và có vecto pháp tuyến n→ [-1;2;-1] cóphương trình là:-1[x -0] +2[y -0] -1[z -0] =0⇔ -x +2y -z =0Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A [-2; 5; -4] và có vecto pháptuyến n→ [0;2;-1]Hướng dẫn:Mặt phẳng đi qua điểm A [-2; 5; -4] và có vecto pháp tuyến n→ [0;2;-1] cóphương trình là:0 . [x +2] +2[y -5] -1 . [z +4] =0⇔ 2y -z -14 =0Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳngPhương pháp giảiCách 1:1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: n→ [A;B;C]2. Do mặt phẳng [α] // [P] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α]là n→ [A;B;C].3. Phương trình mặt phẳng [α]:A[x -xo ] +B[y -yo ] +C[z -zo] =0Cách 2:1. Mặt phẳng [α] // [P] nên phương trình mặt phẳng [α] có dạng:Ax +By +Cz +D'=0 [*] với D'≠D2. Vì mặt phẳng [α] đi qua điểm M [xo ;yo ;zo ] nên thay tọa độ điểmM [xo ;yo ;zo ] vào [*] tìm đươc D’Ví dụ minh họaBài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M[0; 1; 2] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 4y + 2 = 0.Hướng dẫn:Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng[Q] là n→ [2; -4;0]Mặt phẳng [P] đi qua điểm M[0; 1; 2] và có vecto pháp tuyến n→ [2; -4;0] nên cóphương trình là:2[x -0] -4[y -1] +0 . [z -2] =0 ⇔2x -4y +4 =0⇔x -2y +2 =0Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] và song song vớimặt phẳng [Oxy]Hướng dẫn:Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z=0Do mặt phẳng [P] song song song với mặt phẳng [Oxy] nên mặt phẳng [P] códạng: z +c =0 [z≠0]Do mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3Vậy phương trình mặt phẳng [P] là: z +3 =0Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [0; -1; 3] và song song vớimặt phẳng [Q]: 2x+3y-z+5=0Hướng dẫn:Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên mặt phẳng [P] có vecto pháptuyến n→ [2; 3;-1]Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ [2; 3;-1] và đi qua điểm M[0; -1; 3] là:2[x -0] +3[y +1] -1[z -3]=0⇔ 2x +3y -z =0Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A [5; 1; 3], B[1; 2; 6], C[5; 0; 4],D[4; 0; 6]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng[ABC]Hướng dẫn:
- Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng [hoặc đường thẳng] cần lập là $\left[ a;b;c \right]$ trong đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
- Thiết lập một phương trình quy ẩn [a theo b,c hoặc ngược lại] từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là $a=f\left[ b;c \right].$
- Thiết lập phương trình về góc, thay $a=f\left[ b;c \right].$ vào ta được một phương trình hai ẩn b,c.
Chú ý:
- Góc giữa hai đường thẳng $\cos \left[ {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right]=\left| \cos \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}$
- Góc giữa hai mặt phẳng $\cos \left[ {{\left[ P \right]}_{1}};\left[ {{P}_{2}} \right] \right]=\left| \cos \left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right] \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}$
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $sin\left[ d;\left[ P \right] \right]=\left| \cos \left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
- Ta biết rằng hàm $\sin \varphi $đồng biến khi $0