- LG a
- LG b
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
LG a
\[{[x - 1]^2} = 2|x - k|\]
Phương pháp giải:
- Phá dấu giá trị tuyệt đối đưa về hai phương trình mới.
- Biến đổi các phương trình về dạng \[f\left[ x \right] = g\left[ k \right]\].
- Vẽ đồ thị các hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên cùng một hệ trục tọa độ.
- Từ đó biện luận nghiệm của phương trình, sử dụng sự tương giao giữa đường thẳng \[y = g\left[ k \right]\] với đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {x - 1} \right]^2} = 2\left| {x - k} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\left[ {x - k} \right] = {\left[ {x - 1} \right]^2}\\
2\left[ {x - k} \right] = - {\left[ {x - 1} \right]^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - 2k = {x^2} - 2x + 1\\
2x - 2k = - {x^2} + 2x - 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 1 = 2k\\{x^2} + 1 = 2k\end{array} \right.\]
Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \[y = - {x^2} + 4x - 1\] và \[y = {x^2} + 1\] như sau:
Từ đồ thị ta suy ra:
+] Nếu \[2k > 3 \Leftrightarrow k > \dfrac{3}{2}\]: phương trình có hai nghiệm;
+] Nếu \[2k = 3 \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{2}\]: phương trình có ba nghiệm;
+] Nếu \[2 < 2k < 3 \Leftrightarrow 1 < k < \dfrac{3}{2}\]: phương trình có bốn nghiệm;
+] Nếu \[2k = 2\Leftrightarrow k = 1\]: phương trình có ba nghiệm;
+] Nếu \[1 < 2k < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < k < 1\]: phương trình có bốn nghiệm ;
+] Nếu \[2k = 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}\]: phương trình có ba nghiệm ;
+] Nếu \[2k < 1 \Leftrightarrow k < \dfrac{1}{2}\]: phương trình có hai nghiệm.
Kết luận:
+] Phương trình có \[4\] nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < k < \dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{2} < k < 1\end{array} \right.\].
+] Phương trình có \[3\] nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = \dfrac{1}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\].
+] Phương trình có \[2\] nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \dfrac{3}{2}\\k < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\].
LG b
\[{[x + 1]^2}[2 - x] = k\]
Phương pháp giải:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \[y = {\left[ {x + 1} \right]^2}\left[ {2 - x} \right]\].
- Biện luận số nghiệm dựa vào tương giao đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {\left[ {x + 1} \right]^2}\left[ {2 - x} \right]\] ta có:
\[y = {\left[ {x + 1} \right]^2}\left[ {2 - x} \right]\] \[ = \left[ {{x^2} + 2x + 1} \right]\left[ {2 - x} \right] \] \[= 2{x^2} + 4x + 2 - {x^3} - 2{x^2} - x \] \[ = - {x^3} + 3x + 2\]
\[y' = - 3{x^2} + 3;\]\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra:
* \[k > 4\;\] hoặc \[k < 0\]: phương trình có một nghiệm;
* \[k = 4\] hoặc \[k = 0\]: phương trình có hai nghiệm;
* \[0 < k < 4\]: phương trình có ba nghiệm.