- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hai điểm \[A\left[ {1; - 1; - 2} \right]\,\,;\,\,B\left[ {3;1;1} \right]\]và mặt phẳng [P]: \[x - 2y + 3z - 5 = 0\].
LG a
Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua mp[P].
Lời giải chi tiết:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và [d] mp[P].
Đường thẳng [d] đi qua A[1, -1, -2] và nhận vectơ pháp tuyến của mp[P] là \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 2;3} \right]\] là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng [d] có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = - 2 + 3t\end{array} \right.\]
+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp[P]
Tọa độ của H là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = - 2 + 3t\\x - 2y + 3z - 5 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = - 2 + 3t\\1 + t - 2\left[ { - 1 - 2t} \right] + 3\left[ { - 2 + 3t} \right] - 5 = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = - 2 + 3t\\ - 8 + 14t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{7}\\x = \dfrac{{11}}{7}\\y = - \dfrac{{15}}{7}\\z = - \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow H\left[ {\dfrac{{11}}{7}; - \dfrac{{15}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right]\]
+ Vì A và A đối xứng với nhau qua mp[P] nên H chính là trung điểm của AA, ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{A'}} = \dfrac{{22}}{7}\\ - 1 + {y_{A'}} = - \dfrac{{30}}{7}\\ - 2 + {z_{A'}} = - \dfrac{4}{7}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_{A'}} = - \dfrac{{23}}{7}\\{z_{A'}} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\]
Cách khác:
Điểm \[A'\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\]đối xứng với A qua mp[P] khi và chỉ khi:
+] \[\overrightarrow {AA'} = \left[ {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right]\] là một vectơ pháp tuyến của [P]
+] Trung điểm \[I\left[ {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right]\] của AA nằm trên [P].
\[\left[ P \right]\] có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 2;3} \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {AA'} \] cùng phương \[\overrightarrow n \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_0} - 1}}{1} = \dfrac{{{y_0} + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{{z_0} + 2}}{3} = t\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 + t\\{y_0} = - 1 - 2t\\{z_0} = - 2 + 3t\end{array} \right.\]
Lại có \[I \in \left[ P \right]\] nên \[\dfrac{{{x_0} + 1}}{2} - 2.\dfrac{{{y_0} - 1}}{2} + 3.\dfrac{{{z_0} - 2}}{2} - 5 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t}}{2} - \left[ { - 2 - 2t} \right] + 3.\dfrac{{ - 4 + 3t}}{2} - 5 = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + t + 4 + 4t - 12 + 9t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_0} = - \dfrac{{23}}{7}\\{z_0} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[A'\left[ {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right]\]
LG b
Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp[P].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;2;3} \right]\]; mp[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} = \left[ {1; - 2;3} \right]\].
Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng AB và mp[P] ta có \[0 \le \varphi \le {90^0}\] và \[\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\].
LG c
Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua A, B và vuông góc với mp[P].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \] là vectơ pháp tuyến của mp[Q] thì \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \] \[\bot \] \[\overrightarrow {AB} \]; \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \]\[\bot \]\[\overrightarrow {{n_{[P]}}} \]nên chọn
\[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right] = \left[ {12; - 3; - 6} \right]\]
Phương trình mặt phẳng [Q] là:
\[12\left[ {x - 1} \right] - 3\left[ {y + 1} \right] - 6\left[ {z + 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\].
LG d
Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp[P]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] nằm trong [P], đi qua I và vuông góc với AB.
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 2t \hfill \cr
z = - 2 + 3t \hfill \cr
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left[ { - 1 + 2t} \right] + 3\left[ { - 2 + 3t} \right] - 5 = 0\cr & \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \]
Vậy \[I\left[ {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right].\]
Gọi \[\overrightarrow u \] và vectơ chỉ phương của \[\Delta \]thì \[\overrightarrow u \] \[\bot \] \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} \,\]; \[\overrightarrow u \bot \overrightarrow {AB} \]nên chọn
\[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{[P]}}} ;\overrightarrow {AB} } \right] \] \[= \left[ { - 12;3;6} \right] = - 3\left[ {4; - 1; - 2} \right]\].
Vậy \[\Delta \] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\]