- LG a
- LG b
Chứng minh các đẳng thức sau [với \[n \in N*\] ]
LG a
\[{1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left[ {2n - 1} \right]^2} = \dfrac{{n\left[ {4{n^2} - 1} \right]}}{3};\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Đặt vế trái bằng \[{S_n}.\]
+] Với \[n = 1,\] vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \[\dfrac{{1\left[ {4.1 - 1} \right]}}{3} = 1.\]
+] Giả sử đã có \[{S_k} = \dfrac{{k\left[ {4{k^2} - 1} \right]}}{3}\] với\[k \ge 1.\] Ta phải chứng minh \[{S_{k + 1}} = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 1} \right]}}{3}.\]
Thật vậy, ta có
\[{S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left[ {k + 1} \right] - 1} \right]^2}\] \[ = {S_k} + {\left[ {2k + 1} \right]^2}\] \[{\rm{ = }}\dfrac{{k\left[ {4{k^2} - 1} \right]}}{3} + {\left[ {2k + 1} \right]^2}\] \[= \dfrac{{k\left[ {2k - 1} \right]\left[ {2k + 1} \right] + 3{{\left[ {2k + 1} \right]}^2}}}{3}\]\[ = \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\left[ {k\left[ {2k - 1} \right] + 3\left[ {2k + 1} \right]} \right]}}{3}\] \[{\rm{ = }}\dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\left[ {2{k^2} + 5k + 3} \right]}}{3}\] \[ = \dfrac{{\left[ {2k + 1} \right]\left[ {k + 1} \right]\left[ {2k + 3} \right]}}{3}\]
\[\begin{array}{l}
= \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4{k^2} + 8k + 3} \right]}}{3}\\
= \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4\left[ {{k^2} + 2k + 1} \right] - 1} \right]}}{3}
\end{array}\]
\[ = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {4{{\left[ {k + 1} \right]}^2} - 1} \right]}}{3}\]
Suy ra đpcm.
LG b
\[{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}}}{4}.\]
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \[n \in {\mathbb{N}^*}\], ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \[n = 1\].
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \[n = k\left[ {k \ge 1} \right]\] và chứng minh rằng nó cũng đúng với \[n = k + 1\].
Lời giải chi tiết:
Đặt vế trái bằng \[{A_n}.\]
+] Dễ thấy với \[n = 1,\] hệ thức đúng.
+] Giả sử đã có \[{A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}{4},\left[ {k \ge 1} \right].\]
Ta cần CM \[{A_{k + 1}} = \frac{{{{\left[ {k + 1} \right]}^2}{{\left[ {k + 2} \right]}^2}}}{4}\]
Ta có \[{A_{k + 1}} = {A_k} + {\left[ {k + 1} \right]^3}\] \[ = \dfrac{{{k^2}{{\left[ {k + 1} \right]}^2}}}{4} + {\left[ {k + 1} \right]^3}\] \[= \frac{{{k^2}{{\left[ {k + 1} \right]}^2} + 4{{\left[ {k + 1} \right]}^3}}}{4}\] \[{\rm{ = }}\dfrac{{{{\left[ {k + 1} \right]}^2}\left[ {{k^2} + 4k + 4} \right]}}{4}\] \[ = \dfrac{{{{\left[ {k + 1} \right]}^2}{{\left[ {k + 2} \right]}^2}}}{4}\]
Vậy ta có điều phải chứng minh.