Hướng dẫn giải Bài §9. Nghiệm của đa thức một biến, chương IV – Biểu thức đại số, sách giáo khoa toán 7 tập hai. Nội dung bài giải bài 54 55 56 trang 48 sgk toán 7 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.
Lý thuyết
1. Nghiệm của đa thức một biến
Nếu tại x=a đa thức P[x] có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.
Nhận xét:
Một đa thức [khác đa thức 0] có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào.
Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức [khác đa thức 0] không vượt quá bậc của nó.
2. Ví dụ minh họa
Trước khi đi vào giải bài 54 55 56 trang 48 sgk toán 7 tập 2, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:
Ví dụ 1:
Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là 1 nghiệm của đa thức \[f[x] = {x^2} – 3x + 2\] hay không?
Bài giải:
Ta có đa thức \[f\left[ x \right] = {x^2} – 3x + 2\]
Tại x=1 thì \[f\left[ 1 \right] = {1^2} – 3.1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\] nên x=1 là một nghiệm của đa thức f[x].
Tại x=2 thì \[f\left[ 2 \right] = {2^2} – 3.2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0\] nên x=2 là một nghiệm của đa thức f[x].
Tại x=-1 thì \[f\left[ { – 1} \right] = {[ – 1]^2} – 3.[ – 1] + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\] nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f[x].
Ví dụ 2:
Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.
- \[P[x] = {x^2} + 1\]
b.\[Q[x] = [2{y^4} + 5]\]
Bài giải:
- Vì \[{x^2} \ge 0\] nên \[{x^2} + 1 \ge 1\]. Do đó:
\[P[x] = {x^2} + 1 > 0\] nên đa thức P[x] không có nghiệm.
- Vì\[{y^4} \ge 0\]nên \[2{y^4} + 5 \ge 5.\]. Do đó:
\[Q[x] = 2{y^4} + 5 > 0\] nên đa thức Q[x] không có nghiệm.
Ví dụ 3:
- Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \[f[x] = {a^2} + bx + c\] có một nghiệm là x=1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \[f[x] = 8{x^2} – 6x – 2.\]
- Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a – b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \[f[x] = a{x^2} + bx + c\] có một nghiệm là x=-1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \[f[x] = 7{x^2} + 11x + 4.\]
Bài giải:
- Ta có: \[f[1] = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\]
Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f[x]
Ta có 8+[-6]+[-2]=0, nên: \[f[x] = 8{x^2} – 6x – 2\] có một nghiệm x = 1.
- Ta có: \[f[ – 1] = a.{[ – 1]^2} + b.[ – 1] + c = a – b + c = 0\]
Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f[x].
Ta thấy \[7 – [11] + 4 = 0,\] nên:
\[f\left[ x \right] = 7{x^2} + 11x + 4\] có một nghiệm x = -1.
Ví dụ 4:
Tìm nghiệm của đa thức:
- \[{x^2} – 2003x – 2004 = 0\].
- \[2005{x^2} – 2004x – 1 = 0\].
Bài giải:
- Đa thức \[{x^2} – 2003x – 2004\] có các hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004 và vì
a – b + c = 1 – [-2003] + [-2004]
\=1 + 2003 – 2004 = 0
Nên đa thức \[{x^2} – 2003x – 2004 = 0\] có một nghiệm là x = -1
- Ta có a = 2005, b = -2004, c = -1
nên a + b + c = 2005 + [-2004] + [-1]
\=2005 – 2005 = 0
Vậy đa thức \[2005{x^2} – 2004x – 1 = 0\] có một nghiệm là x = 1.
Ví dụ 5:
Cho đa thức \[f[x] = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\]
Tìm a biết rằng đa thức f[x] có một nghiệm x = -2.
Bài giải:
Đa thức f[x] có một nghiệm x = -2 nên f[-2] = 0.
Hay: \[\begin{array}{l}{[ – 2]^3} + 2.{[ – 2]^2} + a.[ – 2] + 1 = 0\\ = – 8 + 8 – 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\end{array}\]
Vậy \[ \Rightarrow a = \frac{1}{2}\] thì f[x] có nghiệm x = -2.
Ví dụ 6:
Cho đa thức \[f[x] = {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0}.\] Trong đó các hệ số \[{a_1},{a_2},…,{a_n}\] và số hạng độc lập \[{a_0}\] nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f[x] có một nghiệm \[x = {x_0}\] nhận giá trị nguyên thì \[{x_0}\] phải là một ước của \[{a_0}\].
Bài giải:
Giả sử \[x = {x_0}\] là một nghiệm nguyên của f[x]
Ta có: \[f[{x_0}] = {a_n}x_0^n + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0} = 0\]
Trong đẳng thức này, các số hạng của tổng là \[{a_n}x_0^n,{a_{n – 1}}{x^{n – 1}},…,{a_1}\]đều chia hết cho \[{a_0}\]. Vậy \[{a_0}\] cũng phải chia hết cho \[{x_0}\] hay \[{x_0}\] phải là một ước của \[{a_0}\].
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 48 sgk Toán 7 tập 2
\[x = -2; x = 0\] và \[x = 2\] có phải là các nghiệm của đa thức \[{x^3}-4x\] hay không? Vì sao ?
Trả lời:
Giá trị của đa thức \[{x^3}-4x\] tại \[x = -2\] là: \[{\left[ { – 2} \right]^3}-4.\left[ { – 2} \right] = -8 + 8 = 0\]
Giá trị của đa thức \[{x^3}-4x\] tại \[x = 0\] là: \[{0^3}-4.0 = 0-0 = 0\]
Giá trị của đa thức \[{x^3}-4x\] tại \[x = 2\] là: \[{2^3}-4.2 = 8-8 = 0\]
Vậy \[x = -2; x = 0\] và \[x = 2\] là các nghiệm của đa thức \[{x^3}-4x\]
[ vì tại các giá trị đó của biến, đa thức có giá trị bằng \[0\]]
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 48 sgk Toán 7 tập 2
Trong các số cho sau, với mỗi đa thức, số nào là nghiệm của đa thức ?
- \[P[x] = 2x + {1 \over 2}\] \[{1 \over 4}\] \[{1 \over 2}\] -\[{1 \over 4}\] b] \[Q[x] = x^2 – 2x – 3\] 3 1 -1
Trả lời:
- Tại \[x = \dfrac{1}{4}\] ta có:
\[P\left[ {\dfrac{1}{4}} \right] = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} \]\[\,= 1\]
Do đó \[x = \dfrac{1}{4}\] không là nghiệm của đa thức \[P[x]\].
– Tại \[x = \dfrac{1}{2}\] ta có:
\[P\left[ {\dfrac{1}{2}} \right] = 2.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\]
Do đó \[x = \dfrac{1}{2}\] không là nghiệm của đa thức \[P[x]\]
– Tại \[x = – \dfrac{1}{4}\] ta có:
\[P\left[ { – \dfrac{1}{4}} \right] = 2.\left[ { – \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{1}{2} \]\[\,= – \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0\]
Vậy \[x = – \dfrac{1}{4}\] là nghiệm của đa thức \[P[x]\].
- Tại \[x=3\] ta có:
\[Q\left[ 3 \right] = {3^2} – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0\]
Vậy \[x=3\] là nghiệm của đa thức \[Q[x]\].
– Tại \[x=1\] ta có:
\[Q\left[ 1 \right] = {1^2} – 2.1 – 3 = 1 – 2 – 3 \]\[\,= – 4\]
Vậy \[x=1\] không là nghiệm của đa thức \[Q[x]\].
– Tại \[x=-1\] ta có:
\[Q\left[ { – 1} \right] = {\left[ { – 1} \right]^2} – 2.\left[ { – 1} \right] – 3 \]\[\,= 1 + 2 – 3 = 0\]
Vậy \[x=-1\] là nghiệm của đa thức \[Q[x]\].
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 54 55 56 trang 48 sgk toán 7 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 7 kèm bài giải chi tiết bài 54 55 56 trang 48 sgk toán 7 tập 2 của Bài §9. Nghiệm của đa thức một biến trong chương IV – Biểu thức đại số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 54 trang 48 sgk Toán 7 tập 2
Kiểm tra xem:
- \[x = \frac{1}{{10}}\] có phải là nghiệm của đa thức \[P\left[ x \right] = 5{\rm{x}} + \frac{1}{2}\] không?
- Mỗi số x=1; x=3 có phải là nghiệm của đa thức \[Q\left[ x \right] = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\] không?
Bài giải:
- Với \[P\left[ x \right] = 5{\rm{x}} + \frac{1}{2}\]
Thế \[x = \frac{1}{{10}}\] vào đa thức \[P\left[ x \right] = 5{\rm{x}} + \frac{1}{2}\] ta được:
\[P\left[ {\frac{1}{{10}}} \right] = 5.\frac{1}{{10}} + \frac{1}{2} = 1\]
Vậy \[x = \frac{1}{{10}}\] không là nghiệm của đa thức \[P\left[ {\frac{1}{{10}}} \right] = 5.\frac{1}{{10}} + \frac{1}{2} = 1\]
- Với \[Q\left[ x \right] = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\]
Thế x=1 vào Q[x], ta được: \[Q\left[ 1 \right] = {1^2} – 4.1 + 3 = 0\]
Vậy x=1 là nghiệm của đa thức \[Q\left[ x \right] = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\]
Thế x=3 vào Q[x], ta được: \[Q\left[ 3 \right] = {3^2} – 4.3 + 3 = 0\]
Vậy x=3 là nghiệm của đa thức \[Q\left[ x \right] = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\]
2. Giải bài 55 trang 48 sgk Toán 7 tập 2
- Tìm nghiệm của đa thức P[y]=3y+6
- Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm: \[Q[y]=y^4+2\]
Bài giải:
- Cho \[P[y = 3y + 6 = 0 \Leftrightarrow 3y = – 6 \Leftrightarrow y = – 2\]
Vậy y=-2 là nghiệm của đa thức P[y]=3y+6
- Chứng tỏ đa thức \[Q[y]=y^4+2\] không có nghiệm
Thật vậy, ta có \[{y^4} \ge 0\,\,\left[ {y \in R} \right]\]
Suy ra: \[{y^4} + 2 \ge 2\,\,\]với mọi \[y \in R\]
Điều này chứng tỏ rằng đa thức \[Q[y]=y^4+2\] không có nghiệm trong R
3. Giải bài 56 trang 48 sgk Toán 7 tập 2
Đố: Bạn Hùng nói: “Ta chỉ có thể viết được một đa thức một biến có một nghiệm bằng 1”
Bạn Sơn nói: “Có thể viết được nhiều đa thức một biến có một nghiệm bằng 1”
Ý kiến của em?
Bài giải:
Bạn Hùng nói sai
Bạn Sơn nói đúng
Có rất nhiều đa thức một biến khác nhau có một nghiệm bằng 1.
Chẳng hạn:
F[x] = x – 1;
H[x] = 2x – 2;
G[x] = -3x + 3;
Chú ý: trong các đa thức trên, đa thức x – 1 hoặc 1 – x là đơn giản nhất.
Bài trước:
- Luyện tập: Giải bài 49 50 51 52 53 trang 46 sgk toán 7 tập 2
Bài tiếp theo:
- Trả lời câu hỏi 1 2 3 4 trang 49 sgk toán 7 tập 2
Xem thêm:
- Các bài toán 7 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 7
- Để học tốt môn Sinh học lớp 7
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 7
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 7
- Để học tốt môn Địa lí lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 7
- Để học tốt môn GDCD lớp 7
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 54 55 56 trang 48 sgk toán 7 tập 2!