Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập - Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a] Giới hạn của hàm số tại một điểm:
* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f[x] xác định trên K [có thể trừ điểm x0] có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số [xn] bất kì, xn∈K\x0 và xn→x0, ta có: f[xn]→L
Kí hiệu:limx→x0f[x]=L hay f[x]→L khi x→x0.
Nhận xét: Nếu f[x] là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.
* Giới hạn ra vô cực:
Hàm số y = f[x] có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số [xn]:xn→x0 thì f[xn]→+∞.
Kí hiệu: .
Hàm số y = f[x] có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số [xn]:xn→x0 thì f[xn]→−∞.
Kí hiệu: limx→x0f[x]=−∞.
b] Giới hạn của hàm số tại vô cực:
* Giới hạn ra hữu hạn:
- Ta nói hàm số y = f[x] xác định trên [a;+∞] có giới hạn là L khi x→+∞ nếu với mọi dãy số [xn]:xn>a và xn→+∞ thì f[xn]→L.
Kí hiệu: limx→+∞f[x]=L.
- Ta nói hàm số y = f[x] xác định trên [−∞;b] có giới hạn là L khi x→−∞ nếu với mọi dãy số [xn]:xna và xn→+∞ thì f[xn]→+∞ [hoặc f[xn]→−∞].
Kí hiệu: limx→+∞f[x]=+∞ [hoặc limx→+∞f[x]=-∞].
- Ta nói hàm số y = f[x] xác định trên [−∞;b] có giới hạn là dần tới dương vô cùng [hoặc âm vô cùng] khi x→−∞ nếu với mọi dãy số [xn]:xn2a x≤2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?
Lời giải
Ta có
limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1
limx→2−fx=a.
Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.
⇒a=1
Vậy a = 1.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x1 để hàm số để tồn tại limx→1fx.
Lời giải
Ta có limx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2
Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.
⇒m−3=−2⇔m=1
Vậy m = 1.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1 bằng:
A. -1
B. -∞
C. +∞
D. -3
Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2 bằng:
A. -2
B. 13
C. 23
D. 2
Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4 bằng:
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4x bằng:
A. -1
B. 54
C. 1
D. -54
Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1 bằng:
A. 13
B. 1
C. 12
D. 2
Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+x bằng:
A. 4
B. 3
C. 0
D. 1
Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:
A. -2
B. 1
C. 2
D. -1
Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:
A. -∞
B. +∞
C. 0
D. 4
Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7 là:
A. 0
B. +∞
C. -2
D. -∞
Câu 10. Tính limx→+∞x2−4x−x
A. -2
B. -∞
C. 0
D. +∞
Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:
A. 6
B. 10
C. -10
D. -6
Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1 bằng:
A. 34
B. 4
C. 43
D. 3
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. limx→−∞x4−x1−2x=0
B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞
C. limx→−∞x4−x1−2x=1
D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞
Câu 14. Cho fx=4−x2 −2≤x≤2x2−4x−2 x>2. Tính limx→−2+fx.
A. 0
B. 4
C. +∞
D. Không tồn tại
Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi x