Bài tập nguyên hàm khó có lời giải
|
Với Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Nguyên hàm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show
Bài tập trắc nghiệm
Cách tìm nguyên hàm của hàm sốA. Phương pháp giải & Ví dụI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Định lí:
Do đó F(x)+C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C. 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0. Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x) II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀMPhương pháp dùng định nghĩa vá tính chất + Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x. + Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản. Ví dụ minh họaBài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số Hướng dẫn: Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số Hướng dẫn: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến sốA. Phương pháp giải & Ví dụSTT Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng 1 t = f(x) Biểu thức dưới mẫu 2 t = t(x) Biểu thức ở phần số mũ 3 t = t(x) Biểu thức trong dấu ngoặc 4 Căn thức 5 t = lnx dx/x đi kèm biểu thức theo lnx 6 t = sinx cosx dx đi kèm biểu thức theo sinx 7 t = cosx sinx dx đi kèm biểu thức theo cosx 8 t = tanx đi kèm biểu thức theo tanx 9 t = cotx đi kèm biểu thức theo cotx 10 t = eax eax dx đi kèm biểu thức theo eax Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x) + n ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn. Ví dụ minh họaBài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
Hướng dẫn:
Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
Hướng dẫn:
Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
Hướng dẫn:
Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phầnA. Phương pháp giải & Ví dụVới bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)
Ví dụ minh họaBài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Hướng dẫn:
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C
F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1) Với G(x) = ∫ex cosx dx G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C'=ex cosx+F(x)+C' (2) Từ (1) và (2) ta có F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C' Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp. |
