Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn kiến thức về lăng trụ tam giác đều bao gồm: định nghĩa, tính chất, diện tích xung quanh, diện tích toàn phầnvà thể tích giúp các bạn củng cổ lại kiến thức để vận dụng giải các bài tập
Lăng trụ tam giác đều là gì?
Lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.
Tính chất
Công thức tính diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều
Diện tích xung quanh lăng trụ tam giác đều bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
Sxq = P.h
Trong đó:
Công thức tính diện tích toàn phần lăng trụ tam giác đều
Diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều bằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy
Stp = Sxq + 2S = 3.a.h + a2 . [√3]/4.
Trong đó:
Công thức tính thể tích lăng trụ tam giác đều
Thể tích lăng trụ tam giác đều bằng diện tích khối lăng trụ nhân với chiều cao hoặc bằng căn bậc 2 của ba nhân với lập phương tất cả các cạnh bên, sau đó tất cả chia cho 4.
V = S.h = [√3]/4a3h
Trong đó
Tham khảo:
Các dạng bài tập về lăng trụ tam giác đều
Ví dụ 1: Tính thể tích khối trụ Δ đều ABCA’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 60 độ.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC ta có:
AI vuông góc BC [theo tính chất đường trung tuyến của một tam giác đều]
A’I vuông góc BC [Vì A’BC là tam giác cân]
Góc A’BC, ABC = góc AIA’ = 600
Diện tích tam giác ABC:
S = a2 . [√3]/4 = 82x [√3]/4 = 2√3 cm2
Thể tích khối lăng trụ tam giác đứng ABCA’B’C’ là:
V = S.h = 12 x 2√3 = 24√3 cm3
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4cm BC = 5cm, chiều cao h = 2,5cm. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là?
Lời giải
– Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ = p x h = [2[AB + BC]] x 2,5 = 45 [cm2].
– Diện tích đáy hình chữ nhật ABCD = 4 x 5 = 20 [cm2].
– Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ = Sxq + 2.S = 45 + 2 x 20 = 85 [cm2].
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3cm BC = 6cm, chiều cao h = 3,5cm. Diện tích xung quanh của hình ABCD.A’B’C’D’?
Giải
– Chu vi đáy hình chữ nhật ABCD= 2[AB + BC]= 2[3 + 6] = 18 [cm].
– Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ = p.h = 18.3,5= 63 [cm2].
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Tìm thể tích của khối chóp M.A’B’C’
Lời giải:
Do AA’ vuông góc với tam giác ABC nên suy ra
[A’C,[ABC]] = góc A’CA = 60º
Ta có AA’ = AC . Tan A’CA = a√3.tan60º = 3a
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn nắm vững được kiến thức lăng trụ tam giác đều trong suốt quá trình học tập.
5/5 - [1 bình chọn]
XEM THÊM
3 cách giải phương trình bậc 2 cực đơn giản, chính xác 100%
Công thức thể tích khối trụ, các dạng bài tập có lời giải chi tiết từ A – Z
$V=S.h$
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.
Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Bài tập trắc nghiệm thể tích khối lăng trụ có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng [A'BC] tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ D. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích đáy cùa lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Dựng $AH\bot BC,$có $BC\bot A{A}'\Rightarrow BC\bot [{A}'HA]$
Do đó: $\widehat{\left[ \left[ {A}'BC \right];\left[ ABC \right] \right]}=\widehat{{A}'HA\text{ }}=60{}^\circ $
Ta có: $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}'=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$ Chọn C
| Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng ${A}'C$ tạo với mặt phẳng $[BC{C}'{B}']$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{8}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng ${A}'H\bot {B}'{C}'\Rightarrow $H là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Mặt khác ${A}'H\bot B{B}'\Rightarrow {A}'H\bot [BC{C}'{B}']$.
Khi đó $\widehat{[{A}'C;[BC{C}'{B}']}]=\widehat{{A}'CH}=30{}^\circ $
Ta có: ${A}'C\sin 30{}^\circ -{A}'H-\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'C=a\sqrt{3}$
Suy ra $A{A}'=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}'=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Chọn D.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng$ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác vuông cân tại A có $AB=AC=a$. Biết diện tích tam giác ${A}'BC$ bằng $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $2{{a}^{3}}$ B. ${{a}^{3}}$ C. $\text{3}{{a}^{3}}$ D. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích đáy của lăng trụ là ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}.$
Dựng $AH\bot BC,$có $BC\bot A{A}'\Rightarrow BC\bot [{A}'HA]\Rightarrow BC\bot {A}'H.$
Mặt khác $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow {A}'H=\frac{2{{S}_{ABC}}}{BC}=\sqrt{\frac{3}{2}}a.$
Do $AH=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow A{A}'=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.$
Thể tích khối lăng trụ là: $V={{S}_{ABC}}.A{A}'=\frac{{{a}^{3}}}{2}.$Chọn D.
| Bài tập 4: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy ABC là tam giác cân với $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120{}^\circ ,$ mặt phẳng $[A{B}'{C}']$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{8}$ B. $V=\frac{9{{a}^{3}}}{8}$ C. $V=\frac{{{a}^{3}}}{8}$ D. $V=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}'$
Khi đó $\left\{ \begin{matrix} {B}'{C}'\bot {A}'M \\ {B}'{C}'\bot A{A}' \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {B}'{C}'\bot [{A}'MA]\Rightarrow \widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $
Ta có: $B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}\cos 120{}^\circ =3{{a}^{2}}\Rightarrow BC=a\sqrt{3}$
${A}'M=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left[ \frac{a\sqrt{3}}{2} \right]}^{2}}}=\frac{a}{2}\Rightarrow A{A}'=h={A}'M\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sin 120{}^\circ =\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow V={{S}_{ABC}}.A{A}'=\frac{3{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn A.
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy ABC là tam giác cân tại A có $AB=AC=3a$. Biết rằng $A{A}'=a\sqrt{3}$và mặt phẳng $\left[ {A}'BC \right]$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. ${{a}^{3}}\sqrt{6}$ B. $6{{a}^{3}}\sqrt{6}$ C. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$ D. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của BC, ta có $AM\bot BC$
Mặt khác $BC\bot A{A}'\Rightarrow BC\bot \left[ A{A}'M \right]$
Do đó $\widehat{{A}'MA}=60{}^\circ $. Khi đó $A{A}'=AM\tan 60{}^\circ $
$\Rightarrow AM=a\Rightarrow BM=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}}=2a\sqrt{2}.$
Khi đó ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BC.AM=BM.AM=2{{a}^{2}}\sqrt{2}.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}.=a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{2}=2{{a}^{3}}\sqrt{6}$. Chọn C.
| Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác ABC vuông tại B có $AB=a\sqrt{3},BC=a.$ Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng ${B}'M$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ .$Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a$.
Do vậy $BM=\frac{AC}{2}=a$[tính chất trung tuyến trong tam giác vuông].
Lại có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Mặt khác: $\widehat{\left[ {B}'M;\left[ ABC \right] \right]}=\widehat{{B}'MB}=45{}^\circ .$
Suy ra $B{B}'=BM\tan 45{}^\circ =a.$
Vậy $V=B{B}'.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$Chọn A.
| Bài tập 7: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tam giác ABC vuông tại B có $BC=3a$. Gọi M là trung điểm của ${A}'{C}'$ và I là giao điểm của ${A}'C$và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $[ABC]$ bằng 2a và ${A}'B=5a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $6{{a}^{3}}$ B. $2{{a}^{3}}$ C. $9{{a}^{3}}$ D. $18{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Do $AM//AC$ nên $\frac{I{A}'}{IC}=\frac{M{A}'}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{{A}'C}{IC}=\frac{3}{2}.$
Do đó $d\left[ {A}';\left[ ABC \right] \right]=\frac{3}{2}d\left[ I;\left[ ABC \right] \right]=3a=A{A}'.$
Mặt khác $AB=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=4a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{ABC}}.=3a.\frac{4a.3a}{2}=18{{a}^{3}}$. Chọn D
| Bài tập 8: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác ABC vuông tại A có $AB=5a,AC=12a.$ Biết rằng mặt phẳng $\left[ {A}'BC \right]$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$. A. $\frac{800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ B. $\frac{3600{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ C. $\frac{900{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ D. $\frac{1800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $AH\bot BC.$ Mặt khác $A{A}'\bot BC.$
Do đó $\left[ {A}'HA \right]\bot BC.$
Khi đó $\widehat{\left[ \left[ {A}'BC \right];\left[ ABC \right] \right]}=\widehat{{A}'HA}=60{}^\circ .$
Mặt khác $AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{60}{13}a.$
Suy ra $A{A}'=AH\tan \widehat{{A}'HA}=\frac{60\sqrt{3}}{13}a.$
Vậy $V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=\frac{1800{{a}^{3}}\sqrt{3}}{13}.$ Chọn D.
| Bài tập 9: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác ABC có $\widehat{BAC}=60{}^\circ ,AB=3a$và $AC=4a.$Gọi M là trung điểm của ${B}'{C}'$, biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng $[{B}'AC]$ bằng $\frac{3a\sqrt{15}}{10}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. ${{a}^{3}}$ B. $9{{a}^{3}}$ C. $4{{a}^{3}}$ D. $27{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{BAC}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Dựng $BE\bot AC;BF\bot {B}'E.$ Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot {B}'B \\ BC\bot BE \\\end{matrix} \right.$
Suy ra $BC\bot BF\Rightarrow BF\bot [{B}'AC].$
Do vậy $d\left[ M;[{B}'AC] \right]=BF;BE=AB\sin A=\frac{3a\sqrt{3}}{2}.$
Mặt khác $d\left[ M;[{B}'AC] \right]=\frac{1}{2}d\left[ C;[{B}'AC] \right]$
$=\frac{1}{2}d\left[ B;[{B}'AC] \right]=\frac{1}{2}BF=\frac{3a\sqrt{15}}{10}\Rightarrow BF=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$
Mặt khác $\frac{1}{B{{F}^{2}}}=\frac{1}{B{{{{B}'}}^{2}}}+\frac{1}{B{{E}^{2}}}\Rightarrow B{B}'=3a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{ABC}}=27{{a}^{3}}$. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left[ AC{C}' \right]$ và $[A{B}'{C}']$ bằng $60{}^\circ $[tham khảo hình vẽ bên]. Thể tích của khối chóp ${B}'.AC{C}'{A}'$ bằng
A. $\frac{{{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$ D. $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Dựng ${B}'M\bot {A}'{C}'\Rightarrow {B}'M\bot \left[ AC{C}'{A}' \right]$
Dựng $MN\bot A{C}'\Rightarrow A{C}'\bot [MN{B}']$
Khi đó $\widehat{\left[ [A{B}'{C}'];\left[ A{C}'{A}' \right] \right]}=\widehat{[MN{B}']}=60{}^\circ $
Ta có: ${B}'M=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=\frac{{B}'M}{\tan \widehat{[MN{B}']}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Mặt khác $\tan \widehat{A{C}'{A}'}=\frac{MN}{{C}'N}=\frac{A{A}'}{{A}'{C}'\,}$
Trong đó $MN=\frac{a\sqrt{6}}{6},M{C}'=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {C}'N=\sqrt{{C}'{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow A{A}'=a$
Thể tích lăng trụ $V=\frac{A{{B}^{2}}}{2}.h=\frac{{{a}^{3}}}{2}\Rightarrow {{V}_{{B}'.AC{C}'{A}'}}=V-{{V}_{{B}'.BAC}}=V-\frac{V}{3}=\frac{2}{3}V=\frac{{{a}^{3}}}{3}.$ Chọn A.
| Bài tập 11: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=AC=a,\widehat{ACB}=30{}^\circ ,$đường thẳng ${A}'C$ tạo với mặt phẳng $\left[ AB{B}'{A}' \right]$ một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có tam giác ABC cân tại A do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=30{}^\circ $
$\widehat{BAC}=120{}^\circ .$ Dựng $CH\bot AB$, có $CH\bot A{A}'$ suy ra
$CH\bot \left[ AB{B}'{A}' \right]\Rightarrow \widehat{\left[ C{A}';\left[ AB{B}'{A}' \right] \right]}=\widehat{C{A}'H}=45{}^\circ $
Mặt khác $CH=AC\sin \widehat{CAH}=a\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $C{A}'\sin 45{}^\circ =CH\Rightarrow {A}'C=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow A{A}'=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{ABC}}$
$=A{A}'.\frac{1}{2}AB.sin120{}^\circ =\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.Chọn B.
| Bài tập 12: Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=a,AD=a\sqrt{3}.$ Mặt phẳng $\left[ {A}'BD \right]$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{3{{a}^{3}}}{2}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{3}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $AH\bot BD,$ta có $AH\bot A{A}'\Rightarrow \left[ {A}'AH \right]\bot BD$
Do đó $\widehat{\left[ \left[ {A}'BD \right];\left[ ABCD \right] \right]}=\widehat{{A}'HA}=60{}^\circ $
Mặt khác $AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra ${A}'A=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2},{{S}_{ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$ Chọn A
| Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình chữ nhật ABCD có $AB=3a,AD=4a.$ Đường thẳng ${A}'C$ tạo với mặt phẳng $\left[ {A}'{B}'BA \right]$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ B. $18{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ C. ${{a}^{3}}\sqrt{39}.$ D. $6{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot {B}'B \\\end{matrix} \right.\Rightarrow BC\bot \left[ AB{B}'{A}' \right]$
$\Rightarrow \widehat{\left[ {A}'C;\left[ AB{B}'{A}' \right] \right]}=\widehat{C{A}'B}=30{}^\circ $
Khi đó ${A}'B.\tan 30{}^\circ =BC=4a\Rightarrow {A}'B=4a\sqrt{3}$
Do vậy ${A}'A=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{39}$
$\Rightarrow V={A}'A.{{A}_{ABCD}}=6{{a}^{3}}\sqrt{39}.$ Chọn D.
| Bài tập 14: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ đáy là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=6a.$ Gọi M là trung điểm của AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng $\left[ {A}'BM \right]$ bằng $\frac{12a}{7}$. Thể tích khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là:
A. $24{{a}^{3}}$ B. $12{{a}^{3}}$ C. $3{{a}^{3}}$ D. $8{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $I=AC\cap BM$ta có $\frac{IA}{IC}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$
Do vậy $d\left[ C;\left[ {A}'BM \right] \right]=2d\left[ A;\left[ {A}'BM \right] \right]=\frac{12}{7}a.$
Dựng $AE\bot BM,AF\bot {A}'E$ khi đó
$d\left[ A;\left[ {A}'BM \right] \right]=\frac{6a}{7}=AF$. Mặt khác
$\frac{1}{A{{E}^{2}}}+\frac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}=\frac{1}{A{{F}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{A{{F}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{{{A}'}}^{2}}}$
$\Rightarrow A{A}'=a\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=12{{a}^{3}}$. Chọn B.