Giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + m\sin x\cos x\\\,\,\,\,\, = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + m\sin x\cos x\\\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}m\sin 2x + 1\\\;\;\; = - \frac{1}{2}\left[ {{{\sin }^2}2x - m\sin 2x} \right] + 1\\\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}{\left[ {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right]^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8}\end{array}\]
Xét phương trình: \[\sin 2x - \frac{m}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{m}{2}\,\,\,\left[ 1 \right]\]
+] Nếu [1] có nghiệm tức là \[\left| m \right| \le 2\], khi đó \[y = - \frac{1}{2}{\left[ {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right]^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8}\]
Giá trị lớn nhất: \[1 + \frac{{{m^2}}}{8} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = \pm 1\]. Khi đó:
Với \[m = 1\] thì giá trị lớn nhất xảy ra khi \[\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right].\]
Với \[m = - 1\] thì giá trị lớn nhất xảy ra khi\[\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right].\]
+] Nếu [1] vô nghiệm, tức là: \[\left| m \right| > 2\] khi đó:
TH1: Nếu \[m > 2\]thì: \[0 < \frac{m}{2} - 1 \le \left| {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right| \le \frac{m}{2} + 1\], khi đó:
\[y = - \frac{1}{2}{\left[ {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right]^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8} - \frac{1}{2}{\left[ {\frac{m}{2} - 1} \right]^2} = \frac{1}{2} + \frac{m}{2}\]
Giá trị lớn nhất: \[\frac{1}{2} + \frac{m}{2} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\] [không thõa mãn]
TH2: Nếu \[m
\[y = - \frac{1}{2}{\left[ {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right]^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8} - \frac{1}{2}{\left[ { - \frac{m}{2} - 1} \right]^2} = \frac{1}{2} - \frac{m}{2}\]
Giá trị lớn nhất: \[\frac{1}{2} - \frac{m}{2} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = - \frac{5}{4}\] [không thõa mãn]
Vậy có \[2\] giá trị của m là: \[m = \pm 1\]
Chọn A.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\] là:
A.
B.
C.
D.
Tìm min: \[y=sin^4x+cos^4x+sinx.cosx\]
Thi đại học Toán học Thi đại học - Toán học
Đáp án B
Đặt
Tính được
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ