Cách chứng minh một số là số vô tỉ cực hay, chi tiết
Dùng phương pháp phản chứng.
Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:
- Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.
- Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết, để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Chứng minh là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ
Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b 0 sao cho
Như vậy có thể được viết dưới dạng phân số tối giản với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra a2 là số chính phương chẵn a là số chẵn [số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ].
Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k a2 = [2k]2 = 4k2 [2]
Từ [1] và [2] 2b2 = 4k2 b2 = 4k2:2 = 2k2
Suy ra b2 là số chính phương chẵn nên b là số chẵn
Mà a cũng là số chẵn
Nên phân số không phải phân số tối giản, mâu thuẫn
Vậy giả sử sai, do đó là số vô tỉ [đpcm].
Ví dụ 2: Chứng minh là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ, tức [m, n Z, n 0, [m, n] = 1]
Suy ra
Do đó m23, mà 3 là số nguyên tố nên m3
m = 3k m2 = [3k]2 = 9k2, thay vào [1] ta được: 9k2 = 3n2
n2 = 3k2, suy ra n2 3 n 7 [vì 7 là số nguyên tố]
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết [m, n] = 1
Nên giả sử sai.
Vậy là số vô tỉ. [đpcm]
Câu 1. Chứng minh là số vô tỉ.
Hướng dẫn
Giả sử là số hữu tỉ là phân số tối giản, m; n Z, m 0]
Điều này chứng tỏ m2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7
Đặt m = 7k [k Z], suy ra m2 = [7k]2 = 49k2 [2]
Từ [1] và [2] suy ra: 7n2 = 49k2 n2 = 7k2
n2 7 n 7 [vì 7 là số nguyên tố]
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.
Vậy giả sử sai nên là số vô tỉ [đpcm].
Câu 2. Chứng minh tổng quát rằng: Nếu số tự nhiên a không phải số chính phương thì là số vô tỉ.
Hướng dẫn
Giả sử là số hữu tỉ, nên có thể viết dưới dạng phân số tối giản
D. a không phải số chính phương, nên không phải số tự nhiên, nên n > 1
Giả sử p là một ước nguyên tố của n [vì n > 1, nên tồn tại các ước nguyên tố của n], suy ra n2 p m2 p m p
Do đó m và n đều cùng chia hết cho số p
Mà m và n là hai số nguyên tố cùng nhau [[m, n] = 1], dẫn đến mâu thuẫn
Vậy phải là số vô tỉ [đpcm].
Câu 3. Chứng minh rằng là số vô tỉ.
Hướng dẫn
Giả sử = m [với m là số hữu tỉ]
Suy ra
Vì m là số hữu tỉ nên m2 là số hữu tỉ, do đó m2 - 1 cũng là số hữu tỉ
Suy ra là số hữu tỉ [vô lý vì là số vô tỉ [ví dụ 1]].
Giả sử sai
Câu 4. Chứng minh rằng [m, n là số hữu tỉ, n 0] là số vô tỉ.
Hướng dẫn
Vì a, m, n là số hữu tỉ nên a m là số hữu tỉ
Do đó [a - m].n là số hữu tỉ
Suy ra là số hữu tỉ, vô lý [vì là số vô tỉ, đã chứng minh ở ví dụ 2]
Câu 5. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Hướng dẫn
Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c.
Ta có: a + b = c b = c a
Vì c và a số hữu tỉ nên hiệu c a cũng là số hữu tỉ, mà c a = b với b là số vô tỉ, vô lý.
Vậy c phải là số vô tỉ [đpcm].
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán 7 hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi